Определение оптимальных конфигураций звезд, визируемых системой астроориентации космических аппаратов

В связи с повышением требований к точности ориентации целевой аппаратуры (ЦА) космических аппаратов (КА) находят широкое применение системы астроориентации КА, обеспечивающие в настоящее время наивысшую точность. При этом дальнейшее улучшение точности ориентации ЦА КА связано не только с повышением приборной точности астродатчиков системы астроориентации КА, но и с выбором оптимальных конфигураций звезд, визируемых АД, для заданных критериев наведения целевой аппаратуры КА.

В статье предлагаются методы повышения точности наведения ЦА КА, учитывающие характер решаемых с помощью ЦА задач, на основе выбора критерия точности наведения ЦА КА и определения оптимальных для этого критерия конфигураций звезд, визируемых системой астроориентации КА.

В работе [1] рассмотрен класс статистических критериев точности наведения ЦА КА, среди которых наибольший интерес представляют: обобщенный критерий Ко, учитывающий погрешности наведения ЦА относительно всех трех осей связанной системы координат (ССК) КА, и частный критерий К], применимый для ЦА, имеющей осевую симметрию (антенны, телескопы и т.д.), и учитывающий только модуль возможного откло нения ЦА от заданного направления. Формулы, определяющие данные критерии, записываются в следующем виде:

^o=Sp(PE); (1)

Ki = m[|AV|²] = V^T [Sp(P_E)I_3x3 -P_E] V, (2) где P_E - ковариационная матрица вектора e, определяющего отклонения ССК КА от своего истинного положения; Sp(-) - след матрицы; М[-] -математическое ожидание; |AV| - модуль вектора отклонения оси ЦА от истинного положения; V -вектор направляющего косинуса оси ЦА в ССК КА; 1_3х3 - единичная матрица размером 3x3.

В работе [2] для случая использования равноточных АД получено значение ковариационной матрицы РЕ в следующем виде:

РЕ =—(М3х3-ВВтГ1, (3)

где а - среднеквадратичное отклонение (СКО) погрешности измерения АД направления на звезду; N - количество визируемых звезд; В = [р^...р^с„] - матрица, составленная из векторов направляющих косинусов визируемых звезд;

Р? - направляющий косинус z-й звезды, визируемой АД, в ССК КА.

Как следует из рассмотрения формулы (3), значение ковариационной матрицы Р_Е и соответственно критериев К_о и К] зависят не только от приборной точности АД, определяемой о, но и от конфигурации визируемых системой астроориентации КА звезд, определяемой значением матрицы (М_3х3-ВВ^т). Осуществляя подстановку ковариационной матрицы P_g из (3) в формулы (1) и (2), решим задачу определения оптимальной конфигурации визируемых системой астроориентации КА звезд последовательно по отношению к критериям К_о и К,. Решение указанных задач позволит оптимальным образом расположить комплект АД на борту КА, а также назначить эффективный план астроизмерений в процессе определения ориентации целевой аппаратуры КА.

Сначала рассмотрим два важных частных случая компоновки системы астроориентации КА двумя и тремя АД, каждый из которых визирует одну звезду. Случай двух АД, визирующих по одной звезде, - это вариант минимального состава измерителей, при котором можно определить трехосную ориентацию КА. Случай трех АД соответствует варианту оценки трехосной ориентации КА на основе широко применяемых простых эвристических алгоритмов, например, таких, как TRIAD Algorithm [3].

Пусть система астроориентации аппарата оснащена двумя АД, каждый из которых визирует одну звезду. Определим значение критерия Ко. Для этого рассмотрим матрицы ВВТ и ВТВ . Ранг матриц ВВТ и ВТВ равен 2. Матрица ВТВ имеет размерность 2x2 и, следовательно, два отличных от нуля собственных значения. Матрица ВВТ имеет размерность 3x3, и поскольку её ранг равен двум, то одно из собственных значений матрицы ВВТ равно нулю. Известно, что не нулевые собственные значения матриц ВВТ и ВТВ всегда совпадают [4].

Проведем разложение матриц ВВТ и ВТВ по собственным векторам и собственным значениям:

BTB = US1UT; BBT=WS2WT, (4) где U, W - матрицы, составленные из собственных векторов соответственно матриц ВВТ и ВТВ, где

значения матрицы ВТВ, чем матрицы ВВТ. Кроме того, элементами матрицы ВТВ являются физически просто трактуемые величины - косинусы углов между визируемыми звездами:

втв=[1 С121

_с12 1 J

где с12 - косинус угла между звездами, визируемыми первым и вторым АД.

Найдем собственные значения ВТВ из характеристического уравнения det(BTB-XI2x2) = 0, где 12х2 - единичная матрица размером 2x2.

"1-х det-----

с12

сп

1-Х

= 0.

Решая (5), получаем:

X] = 1 — с12;

Х2 — 1 + С|2.

При N=2 с учётом того, что 2I_3x3 = W(2I_3x3)W^T, запишем значение критерия К_о в следующем виде:

_2 г

*о =

21зхз

В (7) учтено, что преобразование подобия W(2I_3x3-S₂)^-1 W^T не изменяет след матрицы. Подставляя в формулу (7) значения Х,,Х₂ из (6), получим окончательное выражение для критерия К_о в случае оснащения системы астроориентации двумя АД в виде:

к -du

° зЬ 1-4 j

о ~

о'

Из (8) следует, что значение Ко минимально при с12 = 0, что соответствует случаю, когда АД визируют звёзды во взаимно перпендикулярных направлениях.

Определим значение критерия Ко при оснащении системы астроориентации КА тремя АД. В этом

случае матрица ВТВ

ВТВ =

с12

С1з

с12

с23

запишется в следующем виде:

с13

с23 >

=1 =

"X! 0" 0 Х2

,=2 =

"X,   0   0 0  Х2  0 0   0   0

а след матрицы (313х3-ВВт) 1 составит:

Sp^I^-BB1)"*

------------------(---1--

3 —Х2 3-Х2 з-х3

представляют собой диагональные матрицы собственных значений матриц ВТВ и ВВТ.

Не нулевые собственные значения матриц ВВТ и ВТВ равны. Проще найти собственные

— (27- б(Х^ + Х2 + Х3)+(Х|Х2 + Х|Х3 + Х2Х3))х х(27-9(Х] + Х2 + X3)+3(XjX2 + Х^Х3 + Х2Х3) —

—Х^Х2Х3) ,

где Xj.X3.X3 - собственные значения матриц ВВти ВТВ.

Запишем характеристическое уравнение для определения собственных значений Хп Х2, Х3:

det	1 — X ] С|2	с13	= Х3-ЗХ2 +
	С|2   1 — X	с23
	с13 1 с23	1-Х

+Х(3 — Су — Су ^— С^з) + cf₂ + С₂₃ + Су — 2cj₂Cj3C₂₃ 1⁼ 0.

Используя известные зависимости между корнями полинома и его коэффициентами [4], имеем:

Xi + Х2 + Х3 = 3;

' Х|Х2 + Х2Х3 +Х|Х2 = 3 — С|2 — с2з — с^;    (16)

XjX₂X₃ = 1 + 2с₁₂с₂₃С]з — Су — с₂₃ - Су.

Используя соотношения (9) и (10), запишем значение критерия К_о в виде:

ст2     9 + Х|Х2 + Х]Х3 + Х2Х3

2 3(XjX2 + XjX3 + Х2Х3) X]X2X3

= —--12-^-^-^----.   (11)

2 8— 2(с₁₂ + с₂₃ + Су ) —2с₁₂с₁₃с₂₃

Взяв частные производные по переменным с_]2, с₁₃, с₂₃ от функции (11) и приравняв их к нулю, получаем систему нелинейных уравнений, решение которой составляет условие минимума критерия К_о в виде:

с12 = 0;

• <)з= 0;

С2з = 0.

Таким образом, в случае оснащения системы астроориентации тремя АД, каждый из которых визирует одну звезду, для обеспечения минимума критерия Ко, звезды должны визироваться АД во взаимно перпендикулярных направлениях.

Получим общее выражение для критерия К_о при оснащении системы астроориентации КА N астродатчиками.

Для этого случая характеристический полином матрицы ВТВ представляет:

dettXI^jv - В^ТВ) = X" - я^^-1 + о^"² -

-«зХ^3+... + (-1)"^ =0.

Поскольку коэффициент a_r характеристического полинома матрицы В^ТВ равен сумме всех главных миноров порядка г этой матрицы, значения коэффициентов я₁,я₂,я₃ могут быть представлены в следующем виде:

я, = Sp(B^TB) = N;

ЛМ N

«2 = И11^-С^                (12)

•        /=1 y=i+i

N-2 N-l N а3 — Е Е Е ^"^^ijCikCjfc — Су — Cj^. — Cj^. i=l y=i+l k=i+l

Используя известные зависимости между корнями Х₁,Х₂...Х_ЛГ характеристического полинома и его коэффициентами, с учетом того, что X, = 0, z = 4...N, имеем:

Xi + Х2 + Х3 = Яр

* XjX2 + Х2Х3 + Х|Хз = я2;                 (13)

XjX2X3 = я3.

Сравнивая (12) и (13), получим соотношения между ХрХ2,Х3 и косинусами углов су между/-й иу-й звездами в виде:

X, + Х₂ + Х₃ = N;

N-l N

Х]Х2 + Х2Х3 +Х]Х3 = ^ ^ (1-Су);

-                        ,=U=,+1                    (14)

Х1Х2Х3 —

N-2 N-\ N

= Z E E d+2cucikcjk -4-^-4=)• i=l i=i+lit=i+l

Используя формулы (1), (3) и (4), запишем значение критерия К_о в случае оснащения системы астроориентации А АД в виде:

v ст2 ( 1     ,     1     ,1 )

Кл----1---1—

° 2 ^-Xj А-Х2 А-Х3)

о2 А2+Х,Х2+Х,Х3+Х2Х3.

=---7-------~--- X ----•(15)

2 A(XjX₂ +XjX₃+ Х₂Х₃)— XjX₂X₃

Осуществляя подстановку из (14) в (15), получаем общее выражение (16) для критерия Кй при оснащении системы астроориентации КА N астродатчиками.

Подстановкой N = 2, N = 3 можно убедиться, что значение Ко, вычисленное по формуле (16), и соответственно формулам (8) и (11) идентичны.

_2 (     N-\ N

^2 + Z Zd-4)

21      1=11=1+1

N-\ N

,=1 j=,+i

N-2 N-l N                              '

~E E X O^CijCikCjk-Cy-C^-C²^ 1=1 1=1+1 X=1+1

Для исследования оптимальных свойств критерия Ко была разработана программа в среде MATLAB. В качестве алгоритма оптимизации использовался метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида. В качестве переменных опти- мизации были приняты угловые сферические координаты звезд, расположенных на сфере единичного радиуса. Для исключения неопределенности решения система звезд фиксировалась на сфере посредством приравнивания нулю двух угловых сферических координат 1-й звезды и одной угловой сферической координаты 2-й. В результате численной оптимизации при последовательно увеличиваемом количестве звезд было установлено, что минимальное значение критерия Ко, равное

9 ст2

К_о =--- , достигается при условии Х_х=Х₂=Х₃.

4N

Аналогичный результат получен в работе [2].

Отметим, что разработанная программа позволяет рассчитать оптимальные конфигурации произвольного количества визируемых звезд или бортовую конфигурацию произвольного количества АД каждый из которых визирует одну звезду. В таблице приведен пример рассчитанных оптимальных конфигураций визируемых звезд в количестве от 2 до 10. Конфигурация определяется сферическими координатами широты ф и долготы

0 направления визирования АД звезды в ССК КА.

Данные в таблице могут использоваться для оптимального размещения на борту КА нескольких АД участвующих в определении ориентации КА по критерию К_о, учитывающему погрешности наведения ЦА относительно всех трех осей ССК КА.

Перейдем к рассмотрению критерия К] и решим задачу определения оптимальной по отношению к критерию К, конфигурации звезд, визируемых системой астроориентации КА. Критерий К] равен дисперсии модуля вектора отклонения оси ЦА от истинного направления. Он полезен, как отмечалось ранее, для анализа задач, выполняемых широко распространенным классом целевой аппаратуры КА, имеющей осевую симметрию.

Запишем значение критерия К, в терминах собственных значений d_x,d₂, d₃ (d_x > d₂ d₃ > 0) матрицы ковариации P_E в следующем виде:

К,=¥т. V ^2 +^з 0 0 ^1 + ^3 0 " 0 Т V ■V, (17) 0 0 [ + 2 где ф - матрица, составленная из собственных векторов матрицы РЕ.

Поскольку критерий (17) представляет собой квадратичную форму, минимальное значение К!:

min{K₁} = d₂ +d₃                     (18)

и достигается, когда вектор направляющего косинуса V оси ЦА совпадает с направлением собственного вектора ф1, соответствующего наибольшему собственному значению dx матрицы ковариации РЕ. С другой стороны, минимальное зна чение критерия К; с учетом того, что РЕ = — f \ где f = (М3х3 -ВВТ), составляет:

minfK!} = Sp(PE)-—ф^/-^ =

2 ,

= Sp(PE)-^-^-,                    (19)

где ^3 = —— наименьшее собственное значение f.

Следовательно, критерий Kj минимален, когда ф] = V и при этом ф[ также является собст венным вектором, соответствующим наименьшему собственному значению матрицы f.

Поскольку аналогией матрице f в механике является матрица инерции системы материальных точек, расположенных на сфере единичного радиуса, и имеющих направляющие косинусы звезд, составляющие столбцы матрицы В, то вектор ф] совпадает с главной осью инерции, относительно которой момент инерции указанной системы материальных точек минимален.

Аналогия с механической системой материальных точек позволяет достаточно просто конструировать оптимальные по отношению к критерию К] конфигурации визируемых АД звезд. Введем ограничение на максимальное значение косинуса угла между визирными осями /-го и у-го АД в виде max |cyj <  с.

При этом в случае оснащения системы астроориентации, например, двумя АД, каждый из которых визирует одну звезду, оптимальной конфигурацией являются две звезды, косинус угла между которыми равен максимально возможному значению - с, а ось ЦА представляет ось симметрии для векторов направляющих косинусов этих звезд.

Определим min {К,} при N = 2. Как следует из (6), минимальное собственное значение матрицы f равно ^3 = 1-|с|. Поэтому минимальное зна чение критерия К, с учетом (8), (19) в случае оснащения системы астроориентации двумя АД, каждый из которых визирует одну звезду, составит:

тт{К,}=— — ч—^—-1 ° 2 (2 1-с2

а2 Г1 ! 1 ' 2(2 + l + kL

Пусть система астроориентации оснащена N АД каждый из которых визирует одну звезду. Снимем ограничение на максимальное значение косинуса угла между визирными осями АД и определим, в этом случае, минимальное значение критерия К;.

Обозначим щ, ц2, Из (Hi - Нг - Нз - ®) ~ собственные значения матрицы ВВТ.

Конфигурации звезд, оптимальные для критерия К_о

< о ч 5	ч о £	АД1	АД 2	АДЗ	АД 4	АД 5	АД 6	АД 7	АД 8	АД 9	АД Ю
2	ф	0	0	—	—	—	—	—	—	—	—
	е	0	90	—	—	—	—	—	—		—
3	ф	0	0	90	—	—	—	—	—	—	—
	0	0	90	90	—	—			—		—
4	ф	0	0	120	60	—	—	—	—		—
	е	0	109,47	109,47	250,53	—	—	—	—	—	—
5	ф	0	0	125,02	28,558	74,875	—	—	—	—	—
	е	0	66,549	90,484	131,53	254,8	—	—	—	—	—
6	ф	0	0	95,822	44,059	88,033	0	—	—	—	—
	0	0	90,299	77,271	159,42	269,14	74,134	—	—	—	—
7	ф	0	0	120,83	39,022	90,837	-0,002	69,135	—	—	—
	0	0	94,767	75,248	141,47	290,72	61,399	57,085	—	—	—
8	ф	0	0	129,15	25,322	94,901	0	52,939	77,674	—	—
	9	0	54,722	91,954	106,81	280,78	117,26	10,54	78,911	—	—
9	ф	0	0	121,49	122,2	77,072	0	10,429	56,201	53,911	—
	6	0	98,15	105,21	112,76	282,17	108,32	-26,298	55,796	45,085	—
10	ф	0	0	133,62	157,45	43,587	-0,018	-53,68	60,277	71,009	95,382
	9	0	135,69	116,13	117,58	294,92	115,1	54,842	65,609	73,114	46,774

Поскольку щ + р₂ + Из = N и р^ р₂, р₃ ~ ^п0" ложительные числа, собственные значения матрицы ^f- ^р ^2- ^з (£1 ^ ^2 ^ ^з ^ °)> равные ^ = А-р₃, £₂ = А-р₂, £₃ = А-р,, изменяются в диапазоне от 0 до N в зависимости от конфигурации визируемых системой астроориентации КА звезд. При этом ^₃ будет минимально, когда pj -> N , а р₂ -> 0, р₃ -> 0. Это имеет место, когда визирные оси всех АД близки к совмещению с осью ЦА. Собственные значения матрицы f в этом случае составляют:

"^ = Н*ЬМг;

.Ь>_г=Н4-ЬН_г;                       (20)

Лз=А^з, где ДА,, / = 1,2,3 - бесконечно малые числа.

Поскольку между собственными значениями матриц РЕ и f существуют следующие соотношения:

то минимальное значение К, с учетом (18), (20) при ДА, -> 0 :

min{K1}

ст2 (     !            1

Itoi--+----------

ДАГ^о 2 I А + ДА, А + ДА, длг2-»о v                          •

А’

Таким образом, при оснащении системы астроориентации КА А астродатчиками, минимум дисперсии модуля вектора отклонения оси ЦА от истинного направления достигается, когда все АД визируют звезду в направлении, противоположном или совпадающим с направлением оси ЦА КА.