Определение основной частоты колебаний трехслойной пластины, шарнирно закрепленной в четырех углах

Трехслойные пластины со свободными краями широко применяются в конструкциях современных космических аппаратов, составляя силовую основу корпусов негерметичного исполнения. Основная частота колебаний трехслойной пластины используется для оценки весовой эффективности конструкции, что важно при проектировочных расчетах. Рассматривается задача определения основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины со свободными краями, у которой все четыре угла шарнирно закреплены. Пластина имеет симметричную структуру пакета, состоящего из одинаковых несущих слоев и ортотропного заполнителя. В такой постановке задача не имеет до настоящего времени аналитического решения. Это связано с необходимостью точного удовлетворения статических граничных условий на свободных краях пластины, что крайне затруднительно. Дается аналитическое решение поставленной задачи с использованием модели трехслойной пластины на основе теории слоистых композитов типа Рейсснера. Свободные колебания трехслойной пластины описываются вариационным уравнением, полученным на основе принципа Гамильтона. Для решения вариационного уравнения использован обобщенный метод Галеркина. Метод позволяет использовать аппроксимирующие функции, не обязательно точно удовлетворяющие статическим граничным условиям на свободных краях пластины, так как эти граничные условия удовлетворяются интегрально. В работе в качестве аппроксимирующих выбраны тригонометрические функции. Эти функции позволяют с высокой точностью представить изменения прогиба и угла поворота вдоль соответствующей координаты трехслойной пластины с рассматриваемым закреплением. В результате реализации обобщенного метода Галеркина задача сведена к однородной системе линейных алгебраических уравнений, из условия существования нетривиального решения которой получена аналитическая формула для основной частоты колебаний. По формуле вычислены частоты для нескольких вариантов пластин с различными сочетаниями размеров в плане и толщин слоев. Верификация полученных результатов аналогичным расчетом в конечно-элементном пакете показала высокую точность полученной формулы и возможность ее использования в проектировочных расчетах при минимальных вычислительных затратах.