Определение перерывов наблюдений в многоспутниковых системах бокового обзора

Теория спутниковых систем непрерывного обзора ведёт свое начало с 1960-х гг. [1]. Значительным достижением стали кинематически правильные системы, предложенные Г.В. Можаевым [2] и, независимо от него, Дж. Уолкером [3]. Дальнейшее развитие теория спутниковых систем получила в многочисленных работах [4–8]. Обзор развития этого направления представлен в работе [9].

Другой разновидностью спутниковых систем являются системы периодического обзора [10–18]. Как правило, проектирование и анализ таких систем носит более сложный характер, поскольку необходим учёт вращения Земли. Ряд разработанных в России методов проектирования таких систем на круговых орбитах базировался на так называемых «следограммах» — наборе интервалов времён видимости и анализе их взаимных расположений на некоторых двумерных диаграммах. Методы, предложенные в США, использовали, как правило, специальные вычислительные процедуры и генетические алгоритмы [14].

Значительные различия в поле обзора имеются при учёте характеристик аппаратуры наблюдения. Большинство методов ориентировано на простейший конический обзор — поле обзора представляет собой конус с осью, направленной в надир, образующий на поверхности

Земли сферический сегмент. Это характерно для систем, связанных с дистанционным зондированием Земли (ДЗЗ) и космической связью. Более сложными являются системы с радиолокационным обзором. Поле обзора в этом случае — проекция конуса с осью, смещённой вбок от трассы полёта.

Для спутниковых систем с коническим обзором разработаны различные регулярные методы анализа и проектирования, не требующие крупномасштабного моделирования. Для систем с боковым обзором подобные методы практически отсутствуют.

В статье представлено решение, позволяющее численно-аналитически определять интервалы перерыва наблюдения для систем с условием по минимальному количеству спутников в плоскости. Рассматриваются системы с перерывами наблюдения, сравнимыми по длительности с орбитальным периодом.

Геометрия обзора

При баллистическом проектировании космических спутниковых систем ДЗЗ основным параметром является поле обзора. Геометрическое определение поля обзора осуществляется на основе проекции рабочей области бортовой аппаратуры на поверхность Земли.

Выделяют два основных вида полей — это сферический и щелевой (рис. 1). Сферический обзор на поверхности Земли представляется в виде сечения конуса обзора, в то время как щелевой — в виде полосы, которая имеет небольшую длину вдоль трассы. В дальнейшем для щелевого обзора будем пренебрегать длиной поля. Проекцию на поверхность Земли щелевого обзора будем называть мгновенной поло сой обзора.

Рис. 1. Геометрия полей обзора: О — центр геоцентрической системы координат; Ѳ — геоцентрический угол (рисунок создан авторами)

Радиолокационные системы наблюдения относят к щелевому виду обзора. В таких системах часто используется метод обзора «вбок» (рис. 2). В таком случае, в отличие от обычного щелевого обзора, мгновенная полоса обзора направлена не в надир спутника, а вбок (обычно

Рис. 2. Боковой обзор : О — центр геоцентрической системы коорди нат; Ѳ — геоцентрический угол; δ ₁ , δ ₂ — углы полураствора конуса обзора; γ ₁ , γ ₂ — углы между границей полосы обзора и верти калью к поверхности; Ѳ₁, Ѳ₂ — геоцентрические углы бокового обзора для δ ₁ и δ ₂ соответственно (рисунок создан авторами)

под прямым углом) от трассы полёта. Такой вид обзора будем называть боковой обзор , а мгновенную полосу обзора — ширина бокового обзора .

Все показанные виды обзора задаются геоцентрическим углом Ѳ (рис. 3). Соотношение между углом Ѳ, высотой орбиты h , радиусом Земли R _E и углом возвышения границы конуса обзора над местным горизонтом α имеет следующий вид:

= cos^–1 ( ^{R E} cos α ) – α . R E + h

Рис. 3. Геоцентрический угол обзора: α — угол возвышения границы конуса обзора над местным горизонтом; Ѳ — геоцентрический угол; R E — радиус Земли; h — высота орбиты [17]

При движении спутника по трассе полёта мгновенное поле обзора формирует полосу обзора на поверхность Земли (рис. 4). Введём понятие покрытия полосой обзора сегмента параллели Δ λ с заданной широтой ϕ (широта наблюдения). В случае невращающейся Земли сегмент покрытой параллели Δ λ зависит от геоцентрического угла Ѳ и широты ϕ как для сферического, так и для щелевого обзора [19].

Рис. 4. Ширина покрытия параллели полосой для бокового обзора: Ѳ₁ и Ѳ₂ — геоцентрические углы бокового обзора для δ ₁ и δ ₂ соответственно; ∆λ — покрытый полосой бокового обзора сегмент параллели (рисунок создан авторами)

№ 4(51)/2025 КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ

Покрытый полосой бокового обзора сегмент параллели Δ λ рассчитывается по следующей формуле:

Δλ = 0,5 ( sin^–

cos sin φ + sin ₂ sin cos φ

–1 cos sinφ–sin 2 – sin sin cos φ

) – 0,5 ( sin^–1

).

За перерыв наблюдения будем считать разницу между двумя смежными моментами времени, которые соответствуют попаданию в поле обзора одной и той же географической точки С на заданной широте наблюдения ϕ _C .

Часто перерывы наблюдения для спутниковых систем являются неоднородными. Поэтому главным критерием при проектировании спутниковых систем выбирается максимальное время перерыва наблюдения на длительном интервале.

Описание аналитического решения

Описание предлагаемого решения для определения перерывов наблюдения рассмотрим на примере кинематически правильных систем на круглых орбитах, предложенных Г.В. Можаевым [8] и Дж. Уолкером [3]. Такие системы показали высокую эффективность для решения задачи непрерывного обзора при баллистическом проектировании.

Структура кинематически правильных систем определяется смещением долгот восходящих узлов Ω j орбит системы и аргументов широты u j спутников в одной плоскости относительно заданного базового спутника {Ω₁, u ₁}:

Q j = Q 1 + ( j -1) N ; (3)

U j = u i + ( j -V^NF , ⁽⁴⁾

где N — количество спутников в системе; j = 1, N ; S — количество спутник ов в од ной плоскости, причём S выбирается из 1, N /2 и N / S — целое число; F — задаёт расположение спутни ков в плоскостях орбит системы и принимается из 1, N / S .

Рассмотрим систему с выбранным количеством плоскостей P = 8 в инерциальной полярной системе координат (рис. 5). Предлагаемое решение основывается на разделении всей области на пояса наблюдения, границы разделения которых находятся на широте пересечения трасс системы. Получаем некоторые симметричные области в каждом поясе, отмеченные на рис. 5 цифрами 1 и 2.

Каждый пояс имеет две области, которые определяют два угловых интервала ΔΩ 1 и ΔΩ 2 между смежными трассами полёта (рис. 6) для выбранной широты наблюдения ϕ _С (за исключением широт пересечения трасс). Инерциальная долгота пересечения трассы Ω* с параллелью

cos sin φ + sin ₁ sin cos φ

–1 cos sin φ – sin 1 – sin sin cosφ

Границы поясов

Рис. 5. Пояса наблюдения: 1 и 2 — симметричные области в каждом поясе (рисунок создан авторами)

Пояс наблюдения

Рис. 6. Угловые интервалы в поясе наблюдения: ϕ С — заданная широта наблюдения; Ω * — долгота пересечения трассы полёта и параллели; ∆Ω ₁ и ∆Ω ₂ — угловые интервалы между смежными трассами полёта (рисунок создан авторами)

с широтой ϕ С (ближайшая к восходящему узлу) определяется следующим образом:

„ 0=0

Ω* = cos–1         sini cosφC

где i — наклонение орбит системы, причём ϕ С ≤ i .

Количество поясов наблюдения и границ разделения поясов зависит от количества плоскостей P системы. Количество границ разделения поясов k находится по следующим формулам:

p k = - — 1;

k = P P1                    (7)

где формула (6) — для чётного числа P , а формула (7) — для нечётного.

В свою очередь, показанные угловые интервалы зависят от колич ества плоскостей P и номера пояса j = 1, k +1, в котором находится параллель с широтой наблюдения ϕ С . Первый интер вал между l и P – ( k – j + 1) + ( l – 1) плоскостями, где l = 1, P , определяется следующим образом:

A Q i =2Q*-( j -1)2 П _;                 (8)

A Q 1 =2Q* + (3-2 j ) P,                 (9)

где формула (8) — для чётного числа P , а формула (9) — для нечётного.

Второй интервал между l и P – ( k – j ) + ( l –1) плоскостями определяется следующим образом:

A Q ₂= j 2П- —2Q*,                         (10)

P

A Q 2 = ( 27-1 ) P -2 Q*,                   (11)

где формула (10) — для чётного числа P , а формула (11) — для нечётного.

Далее будем рассматривать предлагаемое аналитическое решение для анализа периодических систем на примере радиолокационных систем с боковым обзором справа от трассы полёта (рис. 7).

Радиолокационные системы представляют особый интерес в вопросе анализа спутниковых систем периодического обзора. Во-первых, потому что такие системы особо актуальны для ДЗЗ. Во-вторых, они имеют щелевой обзор и не могут рассматриваться как системы непрерывного обзора. В связи с этим, а также со сложными геометрическими особенностями бокового обзора (его несимметричностью относительно трассы полёта в сравнении со сферическим или щелевым обзорами), становится затруднительным применение и без того немногочисленных методов анализа периодических систем. Задача анализа периодичности наблюдения радиолокационных систем с боковым обзором практически не изучена.

Чтобы получить интервалы прерывания наблюдения, в полученные угловые интервалы (8)–(11) необходимо добавить дополнительные слагаемые Δ λ — сегмент параллели с широтой ϕ С , покрытый полосой обзора, который

Рис. 7. Полоса бокового обзора относительно трассы полёта: ϕ С — заданная широта наблюдения; ∆ λ — сегмент параллели с широтой ϕ С , покрытый полосой обзора; ∆ λ_θ — сегмент параллели с широтой ϕ С между трассой и боковой полосой обзора (рисунок создан авторами)

рассчитывается по формуле (2), и Δ λ _θ – сегмент параллели с широтой ϕ _С между трассой и боковой полосой обзора, который определяется вторым слагаемым формулы (2):

Δ λ = 0,5 ( sin^–1

cos sin φ + sin ₁ sin cos φ

–1

– sin

cos sin φ –sin 1 sin cos φ ^.

Тогда для чётного числа P получим:

AQ !=2Q*-( j -1У2Р + A X + 2AX(,;

AQ2= j p -2Q’- AX — 2AXe, а для нечётного числа P:

AQ t= 2Q*+ (3-2j) -P- + AX + 2AXe;

AQ2 = (2j-1) P -2Q*-AX - 2AX9.

Знак при введённых слагаемых соответствует положению полосы относительно трассы полёта и движению наблюдаемой точки С по параллели (угловой интервал либо увеличивается, если полосы обзора находятся с внешней стороны, либо, в противном случае, уменьшается).

Для точного определения интервалов необходим учёт не всей покрываемой параллели Δλ, а лишь той части, которая соответствует моментам нахождения наблюдаемой точки C в полосе обзора 1 во время пересечения мгновенной полосы обзора параллели с широтой ϕС и такой же момент для той же точки C в полосе обзора 2 (рис. 8).

Рис. 8. Доли сегментов покрытия параллели на широте наблюдения: ϕ _C — заданная широта наблюдения; C — наблюдаемая точка; ∆ λ 1 и ∆ λ 2 — доли сегмента параллели от момента наблюдения на полосе обзора 1 до внутреннего края полосы и от внутреннего края полосы обзора 2 до момента наблюдения соответственно (рисунок создан авторами)

Тогда слагаемое Δ λ в формулах (13)–(16) будет учитываться не полностью, а складываться из двух долей Δ λ ₁ и Δ λ ₂ — от момента наблюдения на полосе обзора 1 до внутреннего края полосы и от внутреннего края полосы обзора 2 до момента наблюдения. На рис. 8 показано направление движения наблюдаемой точки C и доли Δ λ ₁ и Δ λ ₂ покрытых полосой обзора сегментов параллели между смежными моментами наблюдения, которые необходимо учесть.

Определение таких моментов нахождения наблюдаемой точки C во время пересечения параллели мгновенной полосы обзора является отдельной сложной задачей и в данной работе не рассматривается. Далее в результатах расчёта все приводимые значения для Δ λ были определены численным способом.

Таким образом, формулы (13)–(16) описывают угловые интервалы прерывания наблюдения ΔΩ1 и ΔΩ2 для спутниковых систем с боковым обзором справа от трассы.

Результаты расчёта

Рассмотрим следующий вариант определения количества спутников в плоскости при построении спутниковой системы. Для того чтобы гарантировать хотя бы один захват мгновенной полосой обзора наблюдаемой точки C в момент её прохождения по полосе обзора, будем рассматривать системы, которые удовлетворяют следующему условию для минимального количества спутников в одной плоскости:

З

AX

где T — орбитальный период;

ω З = 7,292115∙10^-5 рад/с — угловая скорость вращения Земли.

В неравенстве (17) количество спутников S для одной и той же орбиты будет зависеть от значения покрываемого полосой обзора сегмента параллели Δ λ , которое, в свою очередь, зависит от выбранной широты ϕ _С (рис. 9). Следовательно, в таком способе построения системы количество спутников для одной плоскости будет зависеть от ϕ _С . Данная зависимость S ( ϕ _С ) для орбиты с высотой h = 650 км, наклонением i = 80 ° , углами λ ₁ = 20° и λ ₂ = 40° представлена на рис. 10.

Рис. 9. Величина покрываемой параллели ∆ λ в зависимости от широты наблюдения (рисунок создан авторами)

Рис. 10. Зависимость количества спутников S в плоскости от широты наблюдения (рисунок создан авторами)

Приведём пример сравнения предлагаемого решения с численным моделированием для нечётного числа P и количеством спутников S в плоскости согласно неравенству (17). На рис. 11 показано время перерывов наблюдения τ, рассчитанное с помощью численного моделирования для системы {N; P; F} = = {77; 7; 0} и {h; i; γ1; γ2; Ѳ} = {650 км; 60°; 20°; 34°; 1,58°(353 км)}, широта наблюдения ϕC = 30°.

Рис. 11. Перерывы наблюдения τ ₁ и τ ₂ для нечётного числа P, полученные с помощью численного моделирования (рисунок создан авторами)

Данная система имеет два временных интервала перерыва наблюдения τ 1 и τ 2 , которые с периодом ~0,6 сут смещаются со значений τ 1 = 1 ч 17 мин 40 с; τ 2 = 2 ч 6 мин 36 с на τ ₁ =1 ч 26 мин 53 с; τ ₂ = 1 ч 57 мин 23 с и наоборот. Этим интервалам соответствуют следующие доли Δ λ сегмента покрытия параллели полосой обзора: для τ 1 — 1,49Δ λ и 0,52Δ λ ; для τ 2 — 1,58Δ λ и 0,61Δ λ , где Δ λ — полное покрытие сегмента параллели с широтой ϕ _С полосой обзора. Номер пояса наблюдения j = 2.

Подставляя значения в формулы (15), (16) и переводя угловые интервалы в интервалы времени τ = ΔΩ/ ω _З, получаем следующие значения: τ ₁ = 1 ч 17 мин 58 с; τ ₂ = 2 ч 6 мин 21 с и τ ₁ = 1 ч 26 мин 51 с; τ ₂=1 ч 57 мин 28 с.

Рассмотрим пример сравнения результатов для чётного числа P . На рис. 12 представлены

Время, сут

Рис. 12. Перерывы наблюдения τ ₁ и τ ₂ для чётного числа P, полученные с помощью численного моделирования (рисунок создан авторами)

перерывы наблюдения τ , рассчитанные с помощью численного моделирования для системы { N; P; F }={64; 8; 0} и { h ; i ; γ ₁; γ ₂; Ѳ}={650 км; 80 ° ; 20 ° ; 40 ° ; 1,4 ° (415 км)}, широта наблюдения ϕ _C = 40 ° .

В отличие от системы, представленной на рис. 11, система с чётным числом P на рис. 12 имеет два чередующихся временных интервала перерыва наблюдения τ 1 и τ 2 со значениями τ 1 =1 ч 48 мин 3 с; τ 1 = 1 ч 35 мин 39 с и τ ₂ =1 ч 27 мин 36 с; τ ₂=1 ч 15 мин 12 с. Им соответствуют следующие доли Δ λ покрытого полосой обзора сегмента параллели: для τ 1 —1,54Δ λ и 0,59Δ λ , для τ 2 — 1,25Δ λ и 0,31Δ λ . Номер пояса наблюдения j = 1.

Подставляя значения в формулы (13), (14), получаем следующие значения: τ ₁ = 1 ч 48 мин 4 с; τ 1 = 1 ч 35 мин 51 с и τ 2 = 1 ч 27 м 22 с; τ ₂ = 1 ч 15 мин 9 с.

Как видно из результатов расчёта по представленным аналитическим формулам с учётом полосы обзора, длительность перерывов наблюдения показанного решения с высокой точностью совпадает с результатами численного моделирования.

Заключение

Описано новое численно-аналитическое решение для анализа многоспутниковых систем периодического обзора. На основе геометрических соображений получены формулы угловых интервалов перерыва наблюдения для кинематически правильных систем.

Представленный способ позволяет получить точные результаты перерывов наблюдения, отличающиеся от результатов численного моделирования на десятки, а иногда и единицы секунд. Такая точность при существенно сниженных вычислительных затратах, а следовательно, и временных затратах (сравнение множества вариантов систем при расчёте численным методом может занять десятки минут, аналитическое решение с численным учётом полосы обзора позволяет провести сравнение за несколько секунд), является значительным преимуществом данного решения.

Точное определение длительности перерывов наблюдения невозможно без определения значений Δ λ , поэтому дальнейшее развитие способа может быть направлено на формирование методики определения моментов нахождения наблюдаемой точки C во время пересечения мгновенной полосы обзора параллели с широтой ϕ _C , а также, в общем случае, обобщённой аналитической методики анализа спутниковых систем периодического обзора.