Определяющие соотношения новой линейной теории термоупругих оболочек класса TS

1. Определяющие соотношения новой линейной теории термоупругих анизотропных оболочек

Как известно [1], эти соотношения имеют вид ooo

^{( - )} Ik °,IkMn ⁽")         ° IkMn ⁽⁺⁾         °

^{M -} A    И й,⁺ B    И й,⁺ D

o

o

oo

Ikm 1 °       "Ik ° Ik (+)

M m - H O ^- J O ,

o

^{( + )} Ik    ° IkMn ⁽")        ° IkMn

^M - B M ms⁺ E

o

^° k ^° kMn ^{( - )        °}

T ^- D    M m, ⁺ F

Г (+)               °

^M Mn ⁺ F

o

o

o

oo

Ikm 1 °      ° Ik (->    ° Ik _

M m ^- J O ^- K O ,

oo

1 kM ⁽⁺⁾        " 1 km 1 °      ° 1 k <—> ° 1 k <+>

M m,⁺ G    Mm - L ^O- N e -

o

o

где

".IkMn   "PkQn r^(-) ° 1 ° М,_л   3,2.3     ° Ik   nPk r⁽’) ° I 3,2.3

A    = C      j^ g p ^ Q ^{(1 - x ) dx} , H = в jn g_P ^{(1 - x}^^dx-

”IkMn "PkQn 1^{( -} ) ° I ° M ₃   .   °_TIk   °_oPk 1⁽-) ° I

B     = C      jn S p g Qx ^{(1 - x} ) ^dx , J = в jn gpx ^{(1 - x} ) ^dx ,

o

° Ikm1 °1mIk °Pkmq r⁽"⁾ ° I ° 1     _{3     3}

D ^- D ^- C   ⁴\ngpg .^{(1 -} x ^) dx ,

0 Pq

o

o

° Ik ° Pk 1^{( - )} ° I

K ^- в  jn g p⁽ x ) dx ^{3 -}

0 P o

E⁶ ” = ^Q j« • ^ ( x, _y d, ,, L 3 k = р^ n g¹ (1 - x ■ d ■• 0 PQ             0 p

o

o

^o Ikm 3 ^o 3 mIk

F ^- F

°              1^{( - )} °      °                  °            ° к -⁽~ ^} °

- C ^Pkmq jn g I g,- x'dx ", N k - e pk jn g¹

0            q                         0 p

x ³ dx ³ ,

а

o

" 1 km 1 "pkmq I*’) ° I ° 1     ₃ ^m,

G ^- C^ 4 n g_Fg. ^{x 1 dx}^, P

0 pq o m n pq o m o n o p o q oˆ ijkl

C =g ig jg kg kC ,

oo

°       °            °                   ^{( - )         ( + )}

- g m p k , e - (i - x ³) e + x ¹ e ,

⁽ ) ( - ) °     ^{( - )}       ° |            °              °           (- )       Io (-) - 1

^{n -} 3 h,g ^- gL -o , g ^-de ^t( g..)’ з ^- ggg

ol                  ol ol gt -(1 -x) g-г xgf

o

o

s-г ⁽¹" ■ 3) g- ki* x¹ g + l

o o 2

, ^g 11 ^- h ,

o

,

o ok 1 ,. - 1 kmn ° p ° q o kl gl= 25 G  Gipqgmgn ’ g

o

1 ( - ) - 1   kmn o p o q o si

= 2 ⁵ G   ^G spq ^g m g n g ’

0                          (-)                 (+)              (- ) 0 0          0 ^{0              0}             o - 1

^ MN ~ " x ) ^ MN ⁺ x ^ MN ^V M u N ~ w ^{( g} MN ~ ^g M N) h

^{0                    ( - )            ( + )}                 0     0 N ^{0             0} o - 1

Vm = (1 -x3)MM+x3Mm-8mW+u (gMN-g^N>h

( ± )            ( - ) 0 ( ± )       ( ± )    ^{0            0}           ° - 1       ⁽ ± ⁾             ( ± )   ( ± ) N   ^{0             0}           ° - 1

MMn”VMuN w(gMN gMN)h  ’ Vm dw + u (gMN"gMN)h oo

0                 o 0            (±)               ° (±)

M 2 = W w ’ M = ⁼ Ww

M 3 M M 3 M

0                    ( - )         ( + )         0           ( - )

W = ^{(1 -} x ^{3 )} w ⁺ x ³ w , w = u - П ’

0         (+)       (-)          0                     (-)

’ M = u -^- U- ’ U- = (1^- x ³⁾ u - ⁺ x nnn n   n

o

(+)

un

o oo     _o

(±)    (±) M (-) o -1 o o w = u • n ’ n = h h ’ h =

o

h

o ^o (

Здесь n- нормаль к внутренней базовой поверхности с т , а

o w 0 - (°-)

V к    c o -оператор

ковариантной производной [2].1

2. ОС новой линейной теории термоупругих анизотропных однородных оболочек класса TS

В рассматриваемом самом деле, в случае условия:

случае на основании (1) легко оболочек класса TS [6] имеем

получить искомые ОС. В следующие упрощающие

oo g IJ ~ gIJ ’ o 3J      o 3

oJ oJ gI ” gj’

( - )       ° ^{( -} ) - 1

5 =1 gg

1 IJ

= — G

G

MN

g "  g^gM^g

oMJ

o

=^- x ³ g

3 ^oMJ

+ g ’

M g

° 3     ( - ^° )

g j = ⁵ g

o

G

M

oMoN gigj " 1’

MN o P

G g

PJ g N

o IJ o IJ g ” g ’

~

o

^- x g j ’

oo o      (-)      I o (-) _ 1 o

° 3 o - 1                                , gj = h d I Inh ’ n = ^ gg g 33" h ’

o

o

на основании которых из (2) получаем o IkMn o IkMn o IkMn 1 o o IkMn o

A = ² B = E «₃ hC ’ H

Ik

o Ik

Ik Ik 1 ^{o o} Ik

= ² J = K » ₃ h e ’

o

^o Ikm 3 ^o 3 mIk 1 ^{o o} Ikmn

D = D ^ 6 hC

° Ikm 3 ° 3 mIk 1 o ° Ikmn f

F   = F   ~y hC I

6 I

,

Г ° 3 ° 3 )    ° 3 k   1 ° on pk Г ° 3 ° 3 )

I ⁴ g -^- g ⁺ l ’ L ^ -;h p I ⁴ g -^- g ⁺ l

( ° n ° n)        6  ^z ^ ° p ° p)

. ° 3 . ° 3 )    °T 3 k 1 ° npk L ° 3 . ° 3 )

⁵ g -^-2 g ⁺ l ’ N ^ h hв I ⁵ g -^-2 g ⁺ l ’

° n ° n J           6 ' I ° n ° n J

^o 3 km 3

G

1 ^o

o

o

3 ^o

6h [2 gpgQc

PkmQ

^o 3 ^o Pkm 3

3 gP C

_n ^o 3 ° 3 kmQ ° 3 km 3 )

3 gQC   +C6 C j

o pk o pkm n e C

o            o 3

a ^’ g ⁺ =9p In h .

mn p P

o

o

Теперь легко усмотреть, что из (1) с учётом (4) искомые ОС будут иметь вид

o

<^-> Ik

M

1 ^o

o

= 6 h 1 ^C

I kMn

oo

^{( - )         ( + )}          7 о 3 о 3 Л о

• ²    ^ Mn ⁺ ^ Mn ⁺l 4 ^g n ” ^g n I ^ M

^o Ik 3 n

⁺ C

o

( - )

+

o

( + )

o oo o

• ⁴    g -^- g ⁺ | ^ ^- в  ² 0 + 0

^{n n} 7    ³

У ,

V

o

( + ) I k

M

1 ^o

o

= 6 h C

I kMn

oo

( - )                ( + )

3 o 3

И— + 2 и — +1 5g - 2g +\ц— + ^ Mn ^ Mn I gn gn l ^M

o

o

o

^o Ik 3 n

⁺ C

o ooo

• 5    g -— 2 g + 1 ^ —

n        n ^\ 7 3

oo

( — )        ( + )

в " 0 + 2 0

У ,

o ³ k =

T 6 h C

1 ^o

o

pkMn

o о о       (-)               о

⁴ g -- g + I ^ -^ + 1 5 g -

® p p p)' Mn V p

V о з Л (+)

• 2    gp j ^ Mn

+

^o 3 k m 3 ^{o o} pk

⁺ S   ^ ^- в

m

o 3 o 3 Л ( — ) 7 o 3 o 3 Л ( + )

⁴ g _^- g ⁺ \ 0 ⁺ | ⁵ g _^{- 2} g ⁺ \ 0

p p 7 V p     p 7

У ^,

где введено обозначение o 3km3    o 3 o 3 o PkmQ

S    =2gpgQC

^o 3 ^o P km 3

3 gpC

^o 3 ^o 3 kmQ    ^o 3 km 3

3gQC  + C6C

.

В случае оболочек класса TS

постоянной толщины легко усмотреть,

что

o g3

p

o

= d ln h = 0, и из (5) получаем p o ilfIk M

1 ^o

o

= 6 hC

I kMn

o

( - )

o

( + )

л

o

² ^ Mn ⁺ ^ Mn ^{+ 3 C}

I km 3 ^o

Ц-m

oo

( - )        ( + )

в 2 0 + 0 ■

o

( + ) I k

M

1 ^o

o

= 6 hC

V

I k Mn

o

( - )

o

( + )

V

o

^ M ^{+ 2} ^ M ^{+ 3 C}

Mn

Mn

I km 3 ^o

Ц- m

^o 3 k

T

1 ^o

= 6 hC

^o 3 kMn

V oo

( - )           ( + )

л

o

^ Mn ⁺ ^ Mn ⁺ 2 ^C

3 km 3 ^o

Ц-m

V

7_ o (+)

o в" 0 + 20 ,

V

o

( + )

o o          ( - )

в k 0 + © ^.

V7

Далее не представляет большого труда на основании (5) и (6) получить соответствующие им ОС новой линейной теории термоупругих оболочек класса TS для частных случаев анизотропии. Однако, не останавливаясь на их подробном рассмотрении, мы выпишем только лишь обратные ОС в случае изотропного материала, т.е. компоненты линейного тензора деформаций представим через компоненты тензоров внутренних усилий.

3.Обратные ОС новой линейной теории термоупругих изотропных оболочек класса TS

Не представляет большого труда получить эти соотношения. В самом деле, например, записывая (5) для новой линейной теории термоупругих изотропных оболочек класса TS, а потом, разрешая их относительно кинематических характеристик и учитывая, что в рассматриваемом случае компоненты линейного тензора деформаций представляются в виде [7]

о

e

o

o

o

o

o

o ^o

1 f ^о K ^о L ^о K ^о L ) ^о 1 f ^о K ^о 3 ^о K ^о 3

PQ ~ 2 k ^g P ^gQ ^{+ g} Q ^g P ) ^K KL ⁺ 2 k ^g P ^gQ ^{+ g} Q ^g P J ^h ^ K ’

e

oo

3 o

oo

( + )     ( ^- )

o ^o

p 3 = ¹ K p + ^gp h w ^- w ⁺ h V p '

k7

осуществляемыми легко выкладками получаем

o

o

где

- o e 33

o

oo

( + )     ( ^- )

h w ^- w ^,

k

o

^{( + )} KL

⁺ M

' ^{( -} ) KL

M

k

1 о

KL

o

e, 7 = 2 h JUKI3 M 1 J           1 J K L

2(1 + v) ^{о о} 3 ^о K ^о 3 ^о K ) ^о

⁺ E ^h I ^g I^g J ⁺ g J g l l ^gKL

°h f ^о 3 ^о 3 ⁺ E I ^g i^gJ

o

2 ^о

о

vh 8 J T

k

33 ^о

+

o

o

oo

( ^- )      (+)

^о L 3

³ M

^{( -} )

M

k

o

L 3    ^{( + )}

+ M

L 3 )

+

o

3 <⁺> K 3 ⁰ 2

+ g +K M

K

о 2 o

o

o

o

^h - ^V g KL ^M

^{( - )} KL

o

^{( + )} KL

⁺ M

+

o

3 £

o

(+)

+ 2 " j g /J ² * ^{1 + v} >®^{- v}® ⁺ ® ⁺ hg ^j©*©

k

k

\

г ,

о el 3

= 2(1 + v)

o

⁰ = h e 33 E

E

o ^o

^о J 3

hg /J 3 ^M

⁽ 33

T

k

7_

o

^{( - )} J 3

M

k

o

⁺ M ^{J 3}

o

k

o

o

3 l h I

o

+ g , E T

k

33 ^о 3 (+)

+g*K m

к 3 ) 0 2

h

VgKL M

oo

^{( - )} KL   ^{( + )} KL

+ M

+ — a 2

o о1 2 У

o

( ^- )

h 0 + 0 ,

o

* 3 ;•; k 3 • г

+gKM  h

h

o

^V g KL ^M

k oo

^{( - )} KL   ^{( + )} KL

+ M

o о 2 У

k

o

( ^- )

k

o

o

о KI             ^{( - )} к /        ^{( + )} к /

M   = (1 - ^ ³) M  + ^ ³ M

,

o

0 = (1

- x

+ 2 a h 0 + 0 ,

o

( - )

o

( + )

k

³) 0 + x ³ 0 ■

Легко усмотреть, что в случае оболочек соотношения (7) преобразуются к виду

класса TS постоянной

толщины,

o

o

o

^{( + )} KL

⁺ M

' ^{( -} ) KL

M

k

^о 2 ^о

1 ^о

1 ^о

KL

ν

+ E

o

o

e.7 =2h J ■'M

1 J           1 J K L

h g/J h T

o

o

( ^- )

vgKL M

k

KL

o

^{( + )} KL

⁺ M

1 ^о

o

( - )

+ — a 2 - -

2 gIJ

- 2 ( 1 + V ) 0

oo

^{( - ) ( + )}

V 0 + 0 ,

k

о el 3

2(1 + v)

o ^o

o

E

hg /J 3 ^M

J 3

o о h ° 2 ° 3 3 e33 = E h T

o

vgKL M

o

¹ ' KL

oo

<^-> J 3     <+’ J 3

M ⁺ M k (+> KL J

+ M

,

7_

o о 2 у

o

( ^- )

^{+ 1 a h 0+0} ■

k

k