Optimal control of the model of dynamics of forest resources

Проблема рационального использования лесных ресурсов может быть интерпретирована как задача оптимального управления. В рассматриваемой модели предполагается, что жизненный цикл каждого дерева подвержен влиянию условий окружающей среды и зависит от общего объема деревьев на некотором пространстве вокруг него. Объем деревьев, в свою очередь, определяется их возрастом. Таким образом, динамика леса описывается следующей интегро-дифференциальной задачей с возрастной структурой:

x t + x s =- m ( p , s , t ) x ( p , s , t ) - u 1 ( p , s , t ) x ( p , s , t ) , x ( p , s , t 0 ) = x⁰ ( p , s ) ,                (1)

x ( p, s ₀, t) = u 2 ( p, t)

– в случае искусственных лесопосадок, p+P1 s 1

x ( p , s ₀, t ) = J J rx ( p , ^ , t ) d p d ^

p ^- P i sr

– если деляны зарастают естественным путем.

Здесь x ( p , 5 , t ) - плотность распределения деревьев с координатами на плоскости p = ( p 1, p 2), возраста 5 , на момент времени t , p е P = ( p1₀,p1 1 ) х ( p 2₀ ,p 2 1 ) , 5 е S = ( $ 0 , 5 1 ) , t е T = ( t 0 , t 1 ) , m ( p,5,t ) - коэффициент естественной смертности:

p + P 2

m(p,5,t)= j jC(£)x(p,^,t)dpd^/K, p - P 2 S где

p j ^P J C ( £ ) x ( p , ^ , t ) d p-u p - p ^s

- количество кубометров леса

на некотором пространстве

вокруг координаты p, K - максимально возможное количество кубометров на этом пространстве, C ( 5 ) - объем дерева возраста 5 , u 1 ( p , 5 , t ) - относительная скорость вырубки, u ₂( p , t ) - плотность лесопосадок, 5r - возраст, с которого у деревьев появляются семена, r - коэффициент прорастания семян в почве.

Будем искать управления и1 е [0,1], и2 е [u21,и22], доставляющие максимум функционалу jjj(f (и 1х) — си2 /(5 1 — 50))e-^dpdsdt,                                (2)

PST где f (и 1х) - прибыль от вырубки, с - стоимость высаживаемых деревьев, X - коэффициент дисконтирования.

• 1.    Постановка задачи

Задача (1)-(2) является частным случаем следующей задачи оптимального управления в общей форме

J ( и ) = jj ^ ( x (p, 5 , 1 1 ) ,p , 5 ) dpd5 + jjj Ф( x, y, z , r , и , v , p, 5 , t ) dpd5dt ^ min,

PS

п

x_t + x₅ = f ( x, y, z , r , и, p, 5 , t ),

• y ( p,5 , t ) = j j g ( x ( p , £ , t ) ,z ( p , ^ , t ) ,r ( p , ^ , t ) ,u ( p , ^ , t ) , p , p , 5 , £ t ) d p d ^ ,

• 2.    Необходимые условия оптимальности

PS z (p,5, t) = j q (x (p, ^, t),u (p, ^, t), p, 5, £ t) dd,

S

r ( p,5 , t ) = j k ( x ( p ,5 , t ) ,u ( p ,5 , t ) , p , p , 5 , t ) d p ,                        (4)

P аргументов в области их определения, l и x0 дифференцируемы по v и w , множества V, W выпуклы.

Интегральные компоненты позволяют учитывать влияние на динамику процесса общего состояния объекта по распределению характеристических признаков. Примерами различных приложений (3)-(5) служат модели в биологии, экологии, экономике [1-3]. В работе [4] для модификации данной задачи были получены необходимые условия оптимальности в формах вариационного и конечномерного принципов максимума.

В силу разрывности правых частей и начально-граничных условий классических (гладких) решений задачи (3)-(5) не существует. Под обобщенным решением (3)-(5) будем понимать измеримые, существенно ограниченные вектор-функции x, y, z, r, удовлетворяющие почти для всех (p,s,t)g П системе интегральных уравнений x (p, s, t) = x (p, s( s, t), F( s, t)) +

+ j f ( x ( p , Z,t ), y ( p , Z,t ), Z ( p , Z , T ), r ( p , Z,t ), u ( p , Z , T ), p , Z,t )        d T ,

‘(s, t)                                                                                                                Z=s -1+T где (?(s, t), t(s, t))- точка входа бихарактеристики Z = s -1 + T, p g P в область S x T. Если решение является гладким данная интегральная система эквивалентна исходной интегро-дифференциальной. На основе метода последовательных приближений были доказаны существование и единственность обобщенного решения. Вектор-функции x принадлежат пространству АС1(П) - измеримых и существенно ограниченных вектор-функций, абсолютно непрерывных вдоль бихарактеристик и имеющих почти всюду вдоль них производную:

Dx ( p , s , t ) =

d

— x ( p , s - 1 + T , T d T

T = t

Скорость роста решения удовлетворяет оценкам

II x ( p , s , t )|| <

< M ]

|| x ⁰( w , p , s - t + t ₀)||,

jj | l (0, u , v , p , p , Z , t - s

+ s ₀ )| \dpd^

^{s - s} о ^- t ^- t 0

+ s — s 0 < t — 10

I SP

t

+ j || x ⁰( w , p , Z )|| + j F (0,0,0,0, u , v , p,^,T ) dT d^ +

S

V

t 0

(                     t                                 ^

+

jj || x ⁰( w , p , Z )|| + j F (0,0,0,0, u , v , p , ^ , t ) dT dpd^,

^SP V

где

F=F ( x,y,z,r,u, v , p,s,t ) = jj 1 1 ( x,u,v,p,p,$,t ) | d p d Z + 11 f ( x,y,z,r,u,p,s,t )| | +

SP

+ j j|| g ( x,z,r,u,p,p,s,^,t )| d p d ^ + j|| q ( x,u,p,s,^,t )| d^ + j|| k(x,u,p,p(s,t))|dp , PS                            S                    P

|| y ( p , s , t )|| <  M jj (| g (0,0,0, u , p , p , s , Z , t )|| +1| q (0, u , p , s , Z , t )|| +

SP

+ || k (0, u , p , p , s , t )|| + | x ( p , Z , t )||) d p d Z ,

II z ( p , s , t )|| <  M J ( q (0, u , p , s , % , t )|| + || x ( p , § , t )| |) d ^ , S

|| r (p, s, t )|| < M J (|k (0, u, p, p, s, t )|| +1|x (p, s, t )||)dp, P константа M > 0 не зависит от входных данных x0, f, g, q, k, l задачи.

Получим для задачи (3)-(5) необходимое условие оптимальности управлений в форме конечномерного принципа максимума методом приращений. Прибавим к приращению функционала на двух допустимых процессах ( u , v , w; x , y , z , r ) и

(~ = u + A u , ~ = v + A v , w = w + A w ; x = x + A x , ~ = y + A y , z = z + A z , ~ = r + A r )

очевидные нули, учитывающие фазовую задачу. Получим dJ(u,v,w)= J J A^((x(p,s,t 1),p,s)dpds+ JJJ(^y,DAx+ (9,Ay++

SP

Π

+

^p,Az)+X^r^ \lpdsdl+ J J Y((p>)),Ax(p, s ₀ ,t)dpdt- JJJ A Hdpdsdt,

TP

Π

где V e ^С 1 ( П ) , 9 , X , p e L » ( П ) , Y ( p , t ) e L » ( P x T ) - пока произвольные вектор-функции, v ( p , s , t ) e R ^Nx ( П ) , 9 ( p , s , t ) e R Ny ( П ) , X ( p , s , t ) e R ^N ( П ) , p ( p , s , t ) e R N^z ( П ) , Y ( p , t ) e R ^Nx ( P x T ) , H = H\ р . 9 . p , X , Y , x , y , z , r , u , v , p , s , t )     - аналог функции

Понтрягина:

H = < V ( p , s , t ), f ( x , y , z , r , u , p , s , t ) > +

+ JJ < 9 ( p , £ , t ), g ( x , z , r , u , p , p , £ , s , t ) > d p d ^ + SP

+ J < p ( p , ^ , t ), q ( x , u , p , £ , s , t ) > d z + J < X ( p , s , t ), k ( x , u , p , p , s , t ) ) d p + SP

+ J < / ( p , t ), l ( x , u , v , p , p , s , t ) ) d p -Ф ( x , y , z , r , u , v , p , s , t ). P

В выражении (7) к слагаемому JJJ^,DJx^dpdsdt применим следующую формулу Π интегрирования по частям, которая справедлива в силу абсолютной непрерывности вектор-функций у и x,

JJJ < V , D A x ) dpdsdt = JJ ( < V ( p , s , 1 1 ), A x ( p , s , 1 1 ) > - (p , s , 1 ₀), A x ( p , s , 1 ₀) > ) dpds + Π                       SP

JJJ < D V , A x >  dpdsdt .

+ JJ ( < V ( p , s 1 , t ), A x ( p , s 1 , t ) > - < v ( p , s ₀, t ), A x ( p , s ₀, t ) > ) dpdt -

TP                                                                     Π

Проведем линеаризацию приращения функционала (7) по приращениям состояний и «удалим» слагаемые линейные относительно приращений посредством сопряженных вектор-функций, которые подчиним следующей задаче

D V = - H_x , ( p , s , t ) e П , v ( p , s , 1 1 ) = - ^ _x ( x ( p , s , 1 1 ), p , s ), V ( p , s 1 , t ) = 0,

9 ( p , s , t ) = H y , p ( p , s , t ) = H_z , X ( p , s , t ) = H r , ( p , s , t ) e П , / ( p , t ) = v ( p , s ₀, t ), ( p , s , t ) e П . Перейдем к формуле приращения функционала

A J ( u , v , w ) = - JJJ ( A ~ H + <  H_v , A v > ) dpdsdt -

Π

- JJ < x W ( w , p , s ) ‘ V ( p , s , 1 ₀), A w ( p , s ) > dpds + n ( A u , A v , A w ),

SP

7 ( A u , A v , A w ) = JJ o^ (|| A x ( p , s , 1 1 ), p , s )||) dpds - JJJ ( ~~ H x , A x > + ~~Hy, Ay> + _5?H^, Az> -PS                                   Π

+ - Oh (||(Ax, Ay, Az, Ar)||) - - Oh (||Av||) + ox0 (||Aw|))dpdsdt.

Нетрудно видеть, что оценками приращений состояний относительно приращений управлений являются оценки (6), в которых вместо нулей стоят соответствующие состояния, а вместо параметров F , x ⁰, f , g , q , k , l - их приращения по управлениям.

Из этих оценок следует, что на игольчатой вариации управления и и на вариациях управлений v , w, являющихся комбинациями игольчатой и слабой вариаций

Ли ( p,s,t ) = <

и-и ( p,s,t ) , ( p,s,t ) g П_е , _ и ( p,s,t ) ,    ( p,s,t ) g П \ П_е ,

Лv ( p,t ) = ♦

^{а (} v^{-v (} p,t )) ,   ⁽ p,t ^{)g P} e X T,

, v ⁽ p,t ) ,        ⁽ p,t ^)g( P X T ^)x( P _E X T_E ) ,

∆w ( p,s ) =

< a(w-w(p,s)), (p,s)g PEXSe, _ W ( P,S ),       ( P,S ЫP X S )x(PE X SE ),

Пe = PE x SE xT = (p - £, p)x (X - £, ^) x (t - £,t), £ > 0, ag [0,1], нормы приращений состояний имеют порядок £ + а для всех (p, s, t) g П. Поэтому на этих вариациях п(Аи, Av, Aw) ~ o(£) + o(a) + £а. С учетом того, что производная неопределенного интеграла Лебега почти везде равна подынтегральной функции, получаем выражение

A J ( и , v , w ) = - £ А ~ H (..., p , % , т ) + a ( J H_v (..., p , s , T ) ds , v - v ( p , T ) > -

S

• - a ( x W ( w , p , £ ) > ( p , £ , t o ), w - w ( p , £ ) > + o( £ ) + o( a ) + £a .             (8)

Для достаточно малых £, а знак приращения целевого функционала определяется знаками слагаемых линейных относительно них, поэтому справедлива

Теорема. Оптимальные управления    и * ( p,s,t ) , v * ( p,t ) , w * ( p,s ) почти для всех

( p,s,t ) g П являются решениями задач

H( у , 9 , p , XY , x *, У\z\r *, и\v *, p , S , t ) = max H(V ,9, p , XY ,x *, У *, z *, r *, и , v *, p , s , t ), u ∈ U

/Гтт * zi*  * 1*-.*  ******         *

( J H_v( V , 9 , p , Xy , x , y , z , r , и , v , p , s , t ) ds , v >  =

S * Tl* ..* 1*..* ****** = max ( H_v ( V , 9 , p , Xy , x , y , z , r , и , v , p , s , t ) ds , v > , v ∈ V _S

( x ° ( w *, p , s )' У *( p , s , 1 0 ), w * >  = max ( x ° ( w \ p , s )' y *( p , s , 1 0 ), w > . w ∈ W

x *( p , s , t ) , y * ( p , s , t ) , z * ( p , s , t ) , r * ( p , s , t ) , V (p , s , t ) , 9 *( p , s , t ) , p (p , s , t ) , X (p , s , t ) , Y (p , t ) - решения прямой и сопряженной систем при и = и * ( p , s , t ) , v = v * ( p , t ) , w = w ^* ( p , s ) .

В дополнительном предположении о дифференцируемости параметров задачи по и и выпуклости множества U справедлив дифференциальный принцип максимума, в котором, в отличие от конечномерного, условие для управления и имеет вид

( Н_и ( V , 9 , р , XY , x * , У * , z * , r * , и * , v * , p , s , t ), и * >  =

= max ( н_и ( У *, 9 *, p , XY , x *, У *, z *, r *, и *, v *, p , s , t ), и > .

и g U

Шаг 0. Выберем произвольные допустимые управления и ⁰ = u ⁰( p , s , t ) , v ⁰ = v ⁰( p , t ), w ⁰ = w ⁰( p , s ) , и положим k = 0 .

Шаг 1. По управлениям u^k ,

к к                                             к к к к v , w построим решения x , y , z , r и

V,9,Ц,X, Y прямой и сопряженной задач. Определим вспомогательные управления из условий uk (p,s,t= arg max-ueU

v ^k ( p,t = arg max< v e V

,

H k  kk kkkkkkkkk

= H(V , 9 , Ц , X , Y, x , y , z , r , u , v , p, s, t), wk (p,s= arg max/x°(wk, p, s)'yk (p, s, t0), w\ weW

Вычисляем функции tok(p,s,t'=Hkuk (p,s,t)-uk (p,s,t)), (p,s,t)e П, to2 (p,t = JHkds,vk (p,t^--vk (p,tУ,, (p,t)e PxT,

S tokk (p,s'=2xw(wk,p,s)' Vk (p,s,t0),wk (p,s)-wk (p,s)), (p,s)e S x T, и их средние значения:

9 ^ = JJJ ^to i ( P,s,t ) dpdsdt / mes П , 9 ^ = JJ ^ю k ( P,t ) dpdt /( P 1 - P ₀)( t 1

t o ) ,

Π

TP

9 ^ = JJ to ₃ ^k ( p,s ) dpds /( p 1 - p ₀)( s 1

s 0 )

Если 9 ^k = 0,    9 2 = 0,

SP

9 k = 0, то управления u^k ,

v^k ,

k w удовлетворяют

дифференциальному принципу максимума и подозрительны переходим на следующий шаг.

на оптимальность. Иначе

Шаг 2. Строим двухпараметрические управления u Ea , v Ea ,

k

W Ea по правилам:

u Ea ⁽ p , s , t ) = ^

u^k ( p , s , t ) + a ( u^k ( p , s , t ) - u^k u^k ( p , s , t ) ,

vEa (p , t ) = ’

vk (p, t) + a(vk (p, t) - vk (p, t)), . vk (p, t),

wEa ( p , s ) = '

w^k ( p , s ) + a ( w^k ( p , s ) - v^k ^ w^k ( p , s ) ,

П_к ( £ ) e П, PT k ( е ) e P x T , PS_k ( e ) e P x S - множества,

I),          (p, s, t )en к (е ),

( p, s, t ) еП \ П к ( e ) ,

( p , t ) e PT k ( e ) ,

( p , t ) e ( P x T ) \ PT k ( e ) ,

⁽ p , S ^{) e} PS k H

( p , s H P x S ) \ PS k ( e ) , мера которых линейно зависит от

E e (0,1) и которые удовлетворяют определяющим неравенствам

JJJtok (p,s,t)dpdsdt > N9E°e,   JJto2k (p,t)dpdt > N9kJE, nk (e )                                              PTk (e )

JJ to ₃ ^k ( p,s ) dpds >  N 9 ₃ ^k ' E N >  0, о >  1;

PS k ( e )

Шаги E _k , a _k определяются из условия

^{( £} k^{, a} k ) = argmin J ^{( u}ka ^,v£a ^,Wka J ^{E G} ^Л ^{a G ( 0,1 )}"

Полагаем ^ + ( p , s , t ) = v^ ^ ( p , s , t ) , v k + 1 ( p , t ) = v E ^ ^ ^ ₍ p , t ) , w k + ( p , s ) = w ^ ( p , s )_ k = k + 1 и переходим на шаг 1.

Π_k ( ε ) , PT_k ( ε ) , PS_k ( ε ) удовлетворяют определяющим неравенствам, если их построить в виде объединения подмножеств, вписанных во множества

M 1 ^k ( β )={( p , s , t ) ∈ Π : ω 1 ^k ( p , s , t ) ≥ βϑ 1 ^k }, M 2 ^k ( β )={( p , t ) ∈ P × T : ω 2 ^k ( p , t ) ≥ βϑ 2 ^k }, M 3 ^k ( β )={( p , s ) ∈ P × S : ω 3 ^k ( p , s ) ≥ βϑ 3 ^k }, β ∈ (0,1).

Данный алгоритм является релаксационным и сходится к управлениям, которые удовлетворяют дифференциальному принципу максимума, если помимо уже наложенных ограничений параметры задачи липшицевы по управлениям, производные параметров задачи по управляющим и фазовым переменным липшицевы по этим переменным, целевой функционал ограничен снизу. Обоснованием этого служит оценка

J ( u _ε ^k _α ,v _ε ^k _α ,w _ε ^k _α ) - J ( u , v , w ) ≤- α ∫∫∫ H_u^k , u ^k - u^k dpdsdt - α ∫∫ 〈 ∫ H_v^kds , v ^k - v ^k 〉 dpdt - Π k ( ε )                                          PT k ( ε ) S

- α ∫∫ 〈 x_w ⁰ ' ψ ^k ( p , s , t ₀), w ^k - w^k 〉 dpds + εα ². PS k ( ε )

Она следует из формулы (8) с учетом того, что II ∆ x^k ( p , s , t ) I ~ α + εα .

Если, как в рассматриваемой прикладной задаче, параметры линейны по u , приведенный алгоритм сходится и к конечномерному принципу максимума.

Для задачи (1)-(3) аналог функции Понтрягина и сопряженная система примут вид p + ρ ₂                                 p + ρ ₁

H( ψ , θ , γ , x, y,u₁,u₂,p,s,t) = - ψ yx - ψ u₁ x + ∫ ∫ θ ( ξ ) C ( s )/K d ρ d ξ x + ∫ γ ( ρ , t ) d ρ rx + p - ρ ₂ S                                p - ρ ₁

+ ( f ( u ₁x) - сu₂ /( s ₁ - s ₀) ) e ^{- λ t} , где

y( p , s , t ) = ^p ∫ ^{ρ 2} ∫ C ( ξ ) x ( ρ , ξ , t ) d ρ d ξ / K , p - ρ ₂ S

ψ t + ψ s = ψ y + ψ u 1 - ^{p +}∫ ^{ρ 2} ∫ θ ( ξ ) C ( s )/K d ρ d ξ - ^{p +}∫ ^ρ γ ¹ ( ρ , t ) d ρ r - p - ρ ₂ S                            p - ρ ₁

p + ρ ₂                              p + ρ ₁

• - ∫ ∫ θ ( ξ ) C ( s )/K d ρ d ξ - ∫ γ ( ρ , t ) d ρ r - f_x ( u ₁x) e ^{- λ t} , p - ρ ₂ S                             p - ρ ₁

ψ (p,s,t₁) = 0, ψ (p, s₁, t) = 0, θ (p, s, t) = - ψ x, в случае искусственных лесопосадок r = 0, если деляны зарастают естественным путем – u ₂ = 0 .