Оптимальное проектирование элементов конструкций лесозаготовительных машин с применением статистической катастрофы сборки

Процесс проектирования лежит в основе всей инженерной деятельности: с одной стороны, необходимо создавать новые, более эффективные и менее дорогостоящие машины; с другой – разрабатывать методы повышения качества их функционирования и конкурентоспособности.

Технологические процессы лесосечных работ являются потенциально опасными и требуют специальных защитных средств. Так, стандартом ИСО 8082, регламентирующим требования к безопасности операторов лесных машин, предписывается оснащать кабины устройствами защиты при опрокидывании (ROPS – Roll-over protective structures) для снижения риска травмирования оператора в случае возникновения аварийной ситуации.

Теория катастроф, интенсивно развивающаяся со второй половины ХХ века, основоположниками которой являются французский математик Р. Том [6] и российский математик В. И. Арнольд [1], дает возможность описания качественных (скачкообразных) изменений моделируемой системы при плавных изменениях параметров управления [10]. Одной из семи элементарных катастроф, по Р. Тома [6], является катастрофа сборки, потенциальная функция которой определяется

Vab (x) = "^x4 + "^ax2 + bx, где x – переменная состояния; a, b – переменные управления.

Многообразие M катастрофы задается уравнением

0 = — V 6 (x) = x3 + ax + b, dx ab которое имеет от одного до трех вещественных корней. Природа этих корней зависит от дискриминанта

D = 4 a ³ + 27 b ².

Катастрофа происходит, когда дискриминант D меняет знак с отрицательного на положительный [3], [4].

В статье А. В. Питухина [3] для оценки вероятности катастрофы сборки предложен метод статистической линеаризации для варианта, при котором переменные управления являются случайными величинами. В данном случае оценки математического ожидания и дисперсии дискриминанта D определяются

D = 4 a ³ + 27 b ²;

^o D =

fID pa j

^²a ⁺

l^d D 1 ‘

( j

ob = 144 a "4o2 + 2916 b 2o2b, где a,b – математические ожидания переменных управления; oa, ob - дисперсии переменных управления.

Оценка вероятности безотказной работы применительно к устройству защиты оператора при

опрокидывании лесозаготовительной машины была проделана в работе [4].

Таким образом, на следующем этапе возникает задача оптимизации параметров ROPS [5] путем поиска оптимальных значений переменных управления катастрофы сборки, что, во-первых, позволит обеспечить соответствие значений характеристик безопасности требованиям действующих стандартов при проектировании, во-вторых, снизить затраты при изготовлении и эксплуатации конструкции.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КАТАСТРОФЫ СБОРКИ

Постановка задачи оптимального проектирования включает: выбор целевой функции, определение системных ограничений, выбор оптимизируемых параметров. Как правило, невозможно обеспечить максимальную надежность и минимальную стоимость изготовления машины или отдельных ее частей. Следовательно, целесообразно выбирать такой показатель эффективности, который бы учитывал как надежность в период эксплуатации, так и стоимость изготовления [7].

Монокритериальная задача условной оптимизации может быть сформулирована в виде: минимизировать суммарные затраты, включающие стоимость производства металлоконструкции устройства защиты и потери от простоя лесозаготовительной машины в случае отказа ROPS [8], [9]

C_T ( X * ) = min C_T ( X )

T          XЕй T

при условиях

X _min <  X <  X max - областные ограничения;

F ( X ) <  0 - функциональные ограничения.

Здесь C_T – общие (суммарные) ожидаемые затраты;

X = X < n > = ( x 1 ,...,x n ) - вектор параметров проектирования;

X ^* – оптимальное значение вектора параметров проектирования, доставляющее минимальное значение целевой функции;

й - область допустимых значений вектора X .

В качестве параметров проектирования могут выступать размеры конструкции, механические свойства материалов, допуски на изготовление, величина дефектов и т. д.

Среднее значение суммарных ожидаемых затрат в общем виде может быть выражено [3] m ет ( x ) = с„ ( x ) + £ й-C,

= 1

где C_1T ( X ) - затраты на изготовление;

C , Q – соответственно стоимость и вероятность отказа -го вида;

m – общее число возможных видов отказов.

Переменные управления катастрофы сборки зависят от параметров проектирования a = L (X); b = fb (X).

В свою очередь, вероятность безотказной работы конструкции также может быть выражена через переменные управления катастрофы сборки

R ( a , b ) = 1 - Q ( a , b ) , где Q ( a , b ) - вероятность отказа (вероятность катастрофы сборки).

Таким образом, переменные управления ( a , b ) могут выступать в качестве оптимизируемых параметров. В качестве областных ограничений принимаются ограничения на размеры деталей; в качестве функциональных – ограничения на площадь поперечного сечения профиля, используемого при изготовлении ROPS.

При допущении о нормальном распределении параметров управления вероятность катастрофы сборки выразится [2]

Q = 2 + Ф ( t ),

D где t =—

^ D

4 a ³+27 b¹ j 144 a "0 2 + 2916 b ^c. ^

– значение

переменной в функции Лапласа.

Тогда вероятность катастрофы сборки запи- шется

Q ( a , b ) = 2 +^ф

4 a + 27 b

4 144 a "oa, + 2916 b ²о^т_ъ

.

В свою очередь, вероятность безотказной работы

R (a, b ) = 1 - Q (a, b ) =

¹ -Ф 2

(                        A

^{4 a + 27 b} ______

7144 a⁴ 0 2 + 2916 b ²o²_b

.

ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

В случае если преобладающим видом отказа является разрушение конструкции (когда имеет место катастрофа сборки), суммарные ожидаемые затраты, выступающие в роли целевой функции, могут быть выражены как сумма затрат на производство конструкции устройства защиты и стоимости ее отказа с учетом вероятности катастрофы сборки

C T (a,b)= C 1T + Q(a,b) · C 2T .

Здесь C 1T – затраты на производство устройства защиты;

C 2T – стоимость отказа.

Затраты на производство ROPS определяются

C1T = C11 + C12, где C11 – стоимость материала;

C₁₂ – стоимость изготовления.

Как первая, так и вторая составляющая затрат на производство могут быть выражены через массу металлоконструкции. Как правило, в прайс- листах, размещенных на сайтах заводов-производителей металлопроката, цены на изготовление металлоконструкций и цены на металлопрокат указаны в рублях за 1 тонну. Таким образом, суммарные затраты на производство можно определить, зная массу ROPS mROPS (кг), а также цену 1 т металлопроката С1 т м/п и цену изготовления 1 т металлоконструкции ROPS С1 т изг

C 1T = (С 1 т м/п + С 1 т изг ) · m ROPS / 1000 .

Стоимость отказа C_2T может быть выражена как сумма потерь от простоя лесозаготовительной машины в течение k машиносмен, затрат на перевозку лесозаготовительной машины в мастерскую C 2T2 , затрат на монтаж (демонтаж) кабины С 2T3 и затрат на производство нового устройства защиты оператора C 2T4

C2T = k ∙ С2T1 + C2T2 + С2T3 + C2T4, где С2T1 – потери от простоя лесозаготовительной машины в течение одной машино-смены.

Таким образом, необходимо найти оптимальное значение вектора параметров проектирования X ^*, которому при заданных ограничениях соответствует наименьшее значение суммарных ожидаемых затрат.

АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

Алгоритм метода случайного поиска с уменьшением интервала

• 1)    Методом статистических испытаний моделируется случайное значение вектора параметров проектирования X

X I = ( ^X 1 , x 2 ,..., xn )

в соответствии с заданными границами каждого из параметров

• 1 I                   I            I ,

i        i ùùùù i i             i где ri – случайные числа, распределенные равномерно на интервале (0,1);

x_i ¹ _min , x_i ¹ _max – наименьшие и наибольшие значения i -го параметра проектирования в первой серии случайных испытаний.

• 2)    Полученная точка X I = ( x j ,x 2 ,..., x П ) проверяется на принадлежность области допустимых значений вектора X по функциональным ограничениям, после чего определяются переменные управления катастрофы сборки

a I = f a ( X I ), b = f b ( X I ).

• 3)    Оценивается вероятность безотказной работы и вероятность катастрофы сборки

RI = R (a I, b), QI = 1 - RI.

• 4)    Вычисляется значение целевой функции в данной точке

CT = Ct (a I, bI).

Точка запоминается, если она дает наилучшее значение (наименьшее значение целевой функции).

• 5)    Вычисления по пунктам 1–4 проводятся в соответствии с заданным числом случайных испытаний N .

Xi2 ^ a2, bI ^ Ri2 ^ Qi2 ^ C ;

Xj ^ a, bj ^ Rj ^ QJ, ^ Cl

I I I I I T ;

XN ^ a”,bN ^ RIN ^ QN ^ CT.

Число случайных испытаний N можно определить, руководствуясь рекомендациями работы [3], в которой показано, что для получения 90%-го доверительного интервала величиной P i • ( x mx - x i min ) для параметра x, в пределах данной серии требуется число испытаний

n

N = 2,3 - П P i — 1 ,

= 1

где p i - величина, определяющая сужение интервала, 0 <  p i <  1.

• 6)    Точка X_I ^* , дающая наименьшее значение целевой функции C TI * = C T ( X I *) , запоминается и используется в качестве начальной точки следующей серии, при этом границы нового интервала сужаются

II                    I I *                I           I

i min              i min , i Pi i max i min ;

xIL == min XI , XI * + P '(XI — XI . i max              i max i i i max i min

• 7)    Вычисления повторяются, начиная с пункта 1. Производится k серий опытов. Определяются

X*n ^ CT * = Ct ( x|i ) ;

X* ^ CT* = Ct (Xk ).

• 8)    Вычисления заканчиваются по достижении заданной точности Δ определения значения целевой функции

| Ct (Xk ) — Ct ( Xk—i )|

ВЫВОДЫ

Рассмотрена постановка задачи оптимального проектирования элементов конструкций лесозаготовительных машин с позиций теории катастроф применительно к устройству защиты оператора при опрокидывании трелевочного трактора. В качестве целевой функции выступают суммарные ожидаемые затраты. Представлен алгоритм поиска оптимального решения на основе метода случайного поиска с уменьшением интервала при учете областных и функциональных ограничений.

* Статья подготовлена в рамках реализации комплекса мероприятий Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012–2016 гг.

OPTIMAL DESIGN OF FOREST MACHINE ELEMENTS BASED ON THE THEORY

OF STATISTICAL CATASTROPHE ASSEMBLY