Оптимальное распределение узлов кубатурных формул

Возможные постановки классической задачи рассматривались многими математиками.

В работах Н.С. Бахвалова [1], Л.В. Войтишек [2] предложены схемы об оптимальном распределении узлов, близкие к нашей схеме.

В одномерном случае в работе Н.С. Бахвалова вычисляется интеграл

J (f ) = J f (x) dx и подынтегральная функция удовлетворяет следующим условиям:

If'(x )s Mj

на отрезках Qj =aj—1=a j)=j 1,2, .., k, 0 a0 < a1 < ... < ak = 1.

Интеграл по всему отрезку [ 0,1 ] вычисляется по формулам с переменным шагом интегрирования

J (f (x )) = J f (x) dx= Z j f). 0                  j=1

В работе С.Л. Соболева [3] построены формулы с пограничным слоем для рациональных многогранников.

В работе Л.В. Войтишек [2] исследуются кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования в n — мерном пространстве E n для рациональных многогранников M сА .

Сначала рассматривается функционал l A h с регулярным пограничным слоем для n — мерного куба с узлами на решетке с шагом A , затем строится функционал для рационального многогранника M сА с вершинами в узлах решетки с шагом A 1 вида

/ , ( x ) = Z C / A X x — A y ) — Z с^ Х x — A y ) ,

A1 ,e M где коэффициенты с, = C/1, С, 2,     C/n

A/eM определяются из системы a+1

m

Z ( с , — 1 ) / , ■

/ , = 0

¹ "( Г 1

—^{4 1 7} = , a 0,1, к , m .

a + 1

Искомый функционал lA(x) определяется равенством lA(x) = 8a(x)— Z AnC/(x — A/)— Z AC/(x — A/)•

A / e M

A / eA \ M

Функционал l 1 ( X ) аннулирует точечную часть функционала l Д ( X ) , относящуюся к внутренней области M , и заменяется функционалом с шагом h 1 .

В данной статье строятся кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования □ с кусочно-гладкой границей.

Построим кубатурные формулы, используя идею из монографии Ц.Б. Шойнжурова ([4], с.188-192) и схемы из работ С.Н. Бахвалова [1] и Л.В. Войтишек [2] по теории кубатурных формул.

Пусть область Q с кусочно-гладкой границей разбита на к частей    Q j , j = 1, 2, к , к .

Введем класс функций B 1 :

B 1

фе C m / max л еО j | a | <  m

1В ф <  M j .

j = 1, 2,

тей

Лемма 1. Пусть Ω - область определения с кусочно-гладкой границей и разбивается на k час- o                    v I z M        I Q , l            к                   f^( 2 n i p ) “ e^{2 n i p X} ,

^Q j ’ j  1’ ² ’ K ’ k ’    max ^П “ ф ^{( x} ) = M j , У = j   Z ^N j = ^N ’    B 0 = [E ¹  |    |2 m---^dX ,

X eQj                   Nj           j=1                  д a < m     2 in al < m lq (x) = ZlQj (x), где lh. (X) - функционалы погрешности с пограничным слоем для Q j и ф е B1.

j =1 j

Тогда имеет место при N ^^ асимптотическое равенство

k

II1Q L; = B0j + о(*))- j=1

Теорема 1. При выполнении условия леммы лучший размер сетки в классе функций B1 определяется равенством m+n

1 k            m + n hj =

—-— Mm Q I~ m + n                     i | i|

N ⁿ M j i ^{= 1}

Отсюда видно, что размер сетки области меньше там, где норма больше.

Поскольку N j должны быть целыми, поэтому в формулах берем целую часть N j , т.е. [^ N j ^|. Рассмотрим одномерный случай.

^Q       h

Пусть = h и lА (X) — функционал с симметричным пограничным слоем с узлами на решетке с шагом h , Д = [0,1].

Разобьем А на непересекающиеся интервалы Q j , j = 1, 2, к , к с концами в узлах k

hp е [0,1], А ]=Q j» Q j| > 0.

j = 1

Функционал с переменным шагом интегрирования представим в виде k

lh0,1)( X) = Z lAj (x ).

j = 0

Сначала построим вспомогательный точечный функционал для построения функционалов l S, ( X ) , l s ( x ) = h 8 ( x — hs ) — jZ C s ( j ) ^ ( X — h j Y ) h j ’ s = 0, 1, 2, к , k j — 1, у = 0

удовлетворяющих условиям:

l p, xaj = 0, a = 0,1, k, m.

Отсюда коэффициенты С у ( j ) определяется из систем:

m

Z c; (j r =a

Y = 0

Вычисление показывает, что

h h

x a +1

, a 0,1, . k, m = s 0,1, . k, k j — 1

C ( j ) = h

j

k j — 1.

(-1)m-Yn(n^1).(n—m)

Y (m — у )!(n — Y) , hs

где n = s— — hjk

Обозначим через t ^) и t j ²) соответственно левые и правые концы интервалов, j = 1, 2, .„, к .

Суммируя функционалы по h j P gQ. и s , где

m

ss (j) = Z CY (j)5(x — hj (P + Y)) hj, имеем

у = 0

t ^{( 2 )} m k j — 1

. ⁽²⁾_l»m 1

t j + m —1

Z hjDp =j)5 (x — hjP), hjP=t^

lj( x )= Z ZZ C( j) 5( x—jp+y ) h) hjP=tW 7=0 s=0

где п / Л

D e ⁽ j М

m k j ¹

ZZ CS( j). t У< hjP <( m

у = 0 s = 0

1, tj 2)+ m-1-p

Z у=0

— 1) hj +t ^j.),

tj1 + mhj < hjP < t(p,

Z Cm—, (j \ 112|< he < t■ mhj.

Искомый функционал (1) построен.

Особенность этого функционала заключается в том, что он аннулирует точечные функционалы по малым участкам t j1^, t j2^

и заменяет их функционалами с шагами h j .

Рассмотрим одномерный случай.

Пусть F ( x )

—

модельная функция, характеризующая свойства подкласса функций

B F = { f G C m } , удовлетворяющая для всего подкласса B F условиям | f^(m )|< F ( x ) на отрезке [ 0,1 ] ,

X = ф ( t ) непрерывная, дифференцируемая функция

ф(0) = 0 и ф(1) = 1

и t = t ( X ) обратная функция к функции X = ф ( t )

t ( 0 ) = 0 и t (1) = 1

Пусть отрезок [0,1] разбит x0 = 0 < X1 < x2 < k. < xN = 1.

Очевидно,

на части

■,„ ],    p = 0,1, ., N,

x p + 1

—

' p Ф

: — Ф I Ф'

V

r p +1) 1 —- —

V N IN

VN

при N >да

и

max

[ x, x + i ]

f1"'( x)

< max F (x)

^A в

F =xp+i) + o (1)

F ф

P=+1

N

+ o(1).

Рассмотрим интеграл и квадратурную формулу

1                  N -1               N -1 ^x p +¹

J (f )=J f (x) dx=Z Jj (f )=E J f (x)dx

0                  j =¹                j =0 x p

N - 1

и s (f )=£ Sj( f)

j = 1

с остаточным членом

N - 1

J (.f)-s (f )=£ B0 j=1

max xeAp

f ⁽ m ) ( x ) h^m , где h = -.

N

В результате преобразований получаем

d_ (     1

dt l( t '(ф)) m+1

)

F (ф)

J

= о или

F (ф )(ф'( t))   = const.

Общее решение этого уравнения зависит от двух произвольных постоянных C о и Q.

В формуле (3) переходим к старым переменным x : [ t '( x ) ] ⁽ m ' F ( x ) = C ₀ или t '( x ) = C ₀ F^{m + 1} ( x ) . Отсюда имеем x 1

t ( x ) = C ₀ J F^{m + 1} ( x ) dx + C ₁.

Значения постоянных C0 и C определяются из начальных условий t (0) = 0 и t (1) = 1.

Решение уравнения (3) принимает вид:

jFm+1 (x) dx t(x ) =       -------

J F^{m + 1} ( x ) dx

Из приведенных выше рассуждений следует следующая теорема:

Теорема 2. Если f e B_F с W ™ , x = ф ( t ) - непрерывная дифференцируемая функция,

ф(0) = 0 и ф(1) = 1 и t = t(x) обратная функция к ф(t), t(0) = 0, t(1) = 1

N - 1

“ s ( f ) = £ s , ( f ) ^-.j = 1

квадратурная формула с остаточным членом

R=Nn J[ф'( t Я™+1B 0F Mt)]dt+o (1), то при N ^^ асимптотически оптимальное распределение узлов xp формулы (2) выражается формулой (4).

Формула (3) дает равенство оценок погрешностей на элементарных отрезках интегрирования при оптимальном распределении узлов.

Такой подход позволяет оценить функционалы погрешности на малых участках, в этом заключается отличие от работы Л.В. Войтишек [2].

Рассмотрим n - мерный случай.

Построенные функционалы используются для вычисления n - кратных интегралов для П - мерного куба и в этом направлении вычисления интегралов обобщают исследования Л.В. Войти-шек.

Интеграл по кубу А сводится к вычислению интегралов i i                      1

x n ) ^dx n

J ф ( x ) dx = J dx i J dx 2 .k J ф ( X i , x 2,.

А                 0     0          0

По индукции имеем

NNN

J ф ( ^x de = S S ...S h^h h ^p _v h ^p„. ^{h p} . ) .

А             Д= 0 в 2 0 = в . 0 =

Пусть -- = h и N

J ф( x) dx sg hDвф( hp ) + N—^( he)+  S hDвф( hp ), о             в =0 = =           в m             в N—(m-1)

P где Dp = S C и Cy определяются из системы у =0

m

S C /" =--- 7, a =0, i, K , m + i.

a +1

По методу С.Л. Соболева построим кубатурную формулу с симметричным пограничным слоем для куба А :

NNN

J ф ( xdx = S S k S D « D » , k D ». h" » ( h P i ,hp^ . h p . ) .

А              p = 0 в , 0 = в . 0 =

Приступим к построению кубатурных формул с переменным шагом интегрирования для n — мерного куба.

Пусть А - n — мерный куб, 1 = h а е А — прямоугольные n — мерные параллелепипеды, N ’ j j = 1, 2, ..., k, с вершинами в узлах решетки с шагом h с длинами ребер b — a, j = 1, 2, ., k, где Qj и bj принадлежат решетке с шагом hj.

Пусть а= А \ иА_; и l A h ( x ) _— функционал с симметричным пограничным слоем для А .

Построим точечный функционал с пограничным слоем путем суммирования точечных функционалов, построенных выше, с шагом h j вдоль положительных направлений осей координат. В результате получаем односторонний пограничный слой вдоль A j - n — мерного параллелепипеда.

Тогда искомый функционал l А ( x ) имеет вид

k

lAh (x )=е а( x)—SlAj( x ), j =0

где l A j ( x ) - функционал с шагом h j с точечным пограничным слоем вдоль координатных осей для области A j .

Минимизируя норму этого функционала в пространстве W ^ ( E . ) при определенных условиях, указанных в лемме 1, находим лучший размер сетки.

Результаты вычисления интеграла J ф ( x ) dx

ф ( x )	x 160	e sin x
аналитически	— » 0,0062111801242236024845 161     ,	-
метод Симпсона	0,0062111801264566040428	1,6318696084180513458
по формуле	0,0062111801242236032809	1,6318696084180513475

Статья выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы), регистрационный номер: 2.1.1/1533.