Оптимальное управление орбитальной ориентацией космического аппарата на основе алгоритма с прогнозирующей моделью

Во время полета космического аппарата (КА) систематически используется орбитальная ориентация. Она необходима для проведения некоторых научных экспериментов, осуществления сближения КА и выполнения ряда других задач. Многократность повторения этого режима при длительном сроке активного существования КА, ограниченные запасы рабочего тела на борту КА, высокая точность построения ориентации требуют исследования вопросов оптимизации данного режима. В данной статье продолжаются исследования, начатые в [1], которые основаны на использовании методов синтеза оптимального управления с помощью метода аналитического конструирования по критерию обобщенной работы в редакции с прогнозирующей моделью. Отличие заключается в том, что в описании вращательного движения КА используется форма записи уравнений, основанная на применении кватернионов вместо направляющих косинусов, и в качестве действия внешних моментов учитываются не только гравитационный и управляющий моменты, но и магнитный, аэродинамический, а также момент от светового давления.

II.    Уравнения движения космического аппарата

Для записи уравнений движения космического аппарата вокруг центра масс введем правые системы координат [1--3]:

Oxyz — система координат, жестко связанная с КА. Точка O — центр масс КА; оси Ox,Oy,Oz — главные центральные оси инерции КА.

OXY Z — орбитальная система координат. Ось OZ направлена вдоль радиуса вектора точки О относительно центра Земли, ось OX направлена по касательной к орбите в сторону движения КА, ось OY перпендикулярна плоскости орбиты.

OZ1 Z2Z3 — магнитная система координат, свя--— занная с вектором H напряженности магнитного поля земли в точке О. Оси магнитной системы координат относительно орбитальной определяются матрицей направляющих косинусов Dомрабг .

OZ _с 1 Z _с 2 Z _с 3 — солнечная система координат,

—— связанная с вектором S светового потока в точке O. Оси солнечной системы координат относительно орбитальной определяются матрицей направляющих косинусов Dосорлб.

Пусть система координат Oxyz вращается относительно инерциального пространства с угловой скоростью — ( ш = [ ш _х ,ш _y ,ш _z ] T ), а соответственно базис OXY Z — с угловой скоростью О = [ 9 x ,9 y ,9 z ] T .

Кинематическое уравнение, определяющее положение базиса Oxyz относительно базиса OXY Z с использованием параметров Родрига–Гамильто-на, в соответствии с [2, 3] будет иметь вид

2Л = Л О ш - О О Л,            (1)

или в виде скалярных соотношений запишется так:

2 А о = - [ А 1( шх - 9х) + А 2( Шу - 9у) + А з( шz - 9z)],

• 2 А1 = А о(шх - 9х ) + А 2( шz + 9z ) - А з(шу + 9у ), (2)

2А2 = Ао(шу - 9у) + Аз(шх + 9х) - А 1(Шz + 9z),

2Аз = Ао(шz - 9z) + А 1(шу + 9у) - Аз(шх + 9х).

Динамические уравнения пространственного вращательного движения КА имеют вид

Jx шх + (Jz - Jy ) шу Шz = M1,

Jy1шу + (Jx - Jz)шxшz = M2,         (3)

J z^^z ^{+ ( J} y ^- J x ) ^ш х ^ш у = M 3 ,

J _x , J y , J _z — момент инерции КА относительно осей Ox,Oy,Oz ; M 1 ,M 2 ,M 3 — проекции суммарного момента внешних сил на оси связанной СК, действующих на КА.

Матрица направляющих косинусов [ a j ] для пересчета вектора заданного в орбитальной системе координат в связанную выглядит так [2]:

D 0P ⁶ = [ a ji ] =

a 11   a 12 a 13

a 21   a 22 a 23

a 31 a 32   a 33

^А 1 ^{+ А} 0 - ^А 2 - ^А 3    ^{2( А} 1 ^А 2 ^{+ А} 0 ^А 3 )     ^{2( А} 1 ^А 3 - ^А 0 ^А 2 )

=    ^{2( А} 1 А 2 - А о А з ) А 2 + А 0 - А 1 - А 3    2( А 2 А 3 + А о А 1 )     .

^{2( А} 1 ^А 3 + ^А 0 ^А 2 )     ²( ^А 2 ^А 3 — ^А 0 ^А 1 )     ^А 3 + ^А 0 — ^А 1 - ^А 2

Из внешних моментов, действующих на КА, помимо управляющего момента M у , будем учитывать потенциальные составляющие магнитного M _m и аэродинамических M _a моментов, гравитационный момент M g , а также момент сил светового давления M _c . Тогда для проекций моментов можно записать:

M i = M gi + M i + M ai + M ci + M yi ( i = 1 , 3) . (5)

Гравитационное поле считаем центральным ньютоновским. Проекции гравитационного момента в связанной системе координат имеют вид [4]:

M g 1 = R 3 ⁽ J z - J y ) a ²³ a ³³ ,

M g 2 = R 3 ⁽ J x - J z ) a 13 a 33 ,          ⁽⁶⁾

M g 3 = R ⁽ J y - J x ) a 13 a 23 .

Здесь μ — гравитационная постоянная Земли; R — расстояние от центра притяжения.

Угловая скорость орбитального движения определяется соотношением θ =  ( m/R 3 ) ¹ / 2 .

В дальнейшем будем рассматривать случай движения КА по круговой орбите, что соответствует значению 9 = const.

Магнитный момент в проекциях на оси связанной системы координат будем вычислять по формулам [4, 5]:

M m 1 = H ( m 2 b 13 — m 3 b 12 ) ,

M m 2 = H ( m 3 b 11 — m 1 b 13 ) ,

M m 3 = H ( m 1 b 12 — m 2 b 11 ) ,         (7)

где m = ( m 1 ,m ₂ ,m 3 ) — дипольный момент спутника,

H = P m N/Г ³ — модуль вектора H ,

N = V1 + 3 sin2 и sin2 i, r — текущее расстояние от центра масс Земли до точки O, i —наклонение орбиты к плоскости экватора, u — аргумент широты, t0 — время прохождения КА через перигей для эллиптических орбит, bi,j — направляющие косинусы между магнитной и связанной системами координат. Для круговых орбит N = 1, и = 0. Переход от магнитной системы координат к связанной осуществляется матрицей

	b 11	b 12	b 13
маг D св	b 21	b 22	b 23	орб маг D св D °рб
	b 31	b 32	b 33
a 11	a 12	a 13	h	11   h 12 h 13
=    a 21	a 22	a 23	h	21 h 22 h 23     ,
a 31	a 32	a 33	h	31 h 32 h 33

, где hij определяются соотношениями

cos и sin i            cos и cos i

= N ,   ¹² =    NN 1

2 sin и          cos i          N1 sin i h 13 = "Nr, h21 = NT, h22 = ”^, h 23 = 0

2 sin и sin i          2 sin и cos i h 31 = N , h 32 =   NN1   ’ h33 = cosU, N1 = V1 + 3sin2 и.

N 1

При учете действия сопротивления атмосферы введем следующие предположения [4]:

• —    атмосфера неподвижна в абсолютном про-

• странстве;

• —    действие атмосферы на КА сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против вектора скорости центра масс КА относительно воздуха; коэффициент сопротивления не зависит от ориентации КА относительно набегающего потока;

• —    влиянием атмосферы на поступательное движение КА пренебрегаем.

Пусть Г а = ( Г а 1 ,Г а 2 ,Г а 3 ) — радиус-вектор центра давления относительно центра масс КА, V b = ( V b 1 , ,V b ₂ ,V b 3 ) — скорость центра масс КА относительно воздуха в орбитальной системе координат; ее проекции рассчитываются по формулам

V B 1 = V R, V B 2 = ⁰ ,

V b 3 = 0 .

Тогда проекции аэродинамического момента M a = ( M a 1 ,M _{a 2} ,M _a 3 ) в связанной системе координат имеют вид [7]:

M a 1 = Q ( Г а 3 a 12 - Г а 2 a 13 ) ,

M a 2 = Q ( Г а 1 a 13 - Г а 3 a 11 ) ,

M a 3 = Q ( Г а 2 a 11 - Г а 3 a 12 ) . (8) Здесь Q = pV B 2 Sc_x/ 2 — сила сопротивления, p — плотность атмосферы, S — площадь миделева сечения КА, с _x — коэффициент лобового сопротивления.

Несмотря на то, что орбиту КА считаем круговой, при вычислении плотности набегающего воздушного потока даже малую эллиптичность орбиты следует учитывать. Зависимость этой плотности можно представить следующим образом:

p = p p exp {n [1 - cos 9 ( t - 1 0 )] }.

Здесь n = 1 / 2ln( p _a /p p ), p _a , p p — плотность атмосферы в апогее и перигее соответственно.

Момент от давления солнечных лучей в проекциях на оси связанной системы координат будем вычислять по формулам [4]:

M с 1 = F c ( r 2 e 13 - r 3 e 12 ) ,

M c 2 = F c ( r 3 e 11 - r 1 e 13 ) ,

M c 3 = F c ( r 1 e 12 - r 2 e 11 ) ,            (9)

где r = (r 1 ,r2 ,r3) — радиус-вектор положения центра солнечного давления КА относительно центра масс, Fс = EcO(RR0)2S — модуль вектора силы от давления солнечных лучей, c — скорость света, E0 — величина потока энергии светового давления, R — расстояние от центра солнца до КА, R0 — радиус орбиты Земли относительно Солнца, S — площадь проекции поверхности КА, ei,j —направляющие косинусы между солнечной и связанной системами координат. Переход от солнечной системы координат к связанной осуществляется матрицей сол

D св

e 11    e 12    e 13

e 21    e 22    e 23

e 31    e 32    e 33

a11  a12

a21  a22

a31  a32

DсоврбD сол орб

d 11	d 12	d 13
d 21	d 22	d 23
d 31	d 32	d 33

где dij при угле θ между плоскостью орбиты и -→ вектором S определяются соотношениями cos 6 sin 6 0

d i,j

— sin 6 cos 6 0

0       0    1

Проекции управляющего момента M yi в общем виде могут создаваться как с помощью двигателей, создаваемое угловое ускорение которых или регулируется в некотором диапазоне, или является постоянным, так и другими исполнительными органами [2]. Назначение конструируемых управлений M yi заключается в оптимальном, в определенном смысле, гашении заданных угловых скоростей ω _x ,ω y ,ω _z и ориентации КА по орбитальным осям, то есть приведение его в положение, при котором имеет место: A 0 = 1, A 1 = A 2 = A 3 = 0, — x = — z = 0 ,Ш у = 6 .

Для определения управляющих моментов M yi воспользуемся принципом минимума обобщенной работы [6] и соответствующим ему алгоритмом с прогнозирующей моделью [1].

• III. Прогнозирование вращательного движения КА

Векторные дифференциальные уравнения процесса управления ориентацией КА запишем так:

x = F ( x,x _y ) , x _y = u,           (10)

x = [ ^A 0 ^,A 1 ^,A 2 ^,A 3 ] T ,

F = 0 , 5

^{( — A} 1 ⁽ Ш _х ^{— 6} _X ) ^{— A} 2 ⁽ Ш у ^{— 6} y ) ^{— A} 3 ⁽ Ш _х ^{— 6} z )) ^{( A} 0 ^{( Ш} х ^{— 6} x ) ^{+ A} 2 ^{( —} z + ⁶ z ) ^{— A} 3 ^{( Ш} у + ⁶ y )) ^{( A} o ⁽ — ^{— 6} y ) + ^A 3 ^{( Ш} х + ⁶ x ) ^{— A} 1 ^{( Ш} z + ⁶ z )) ^{( A} o ^{( Ш} z ^{— 6} z ) + ^A 1 ^{( Ш} у + ⁶ y ) ^{— A} 2 ( ^Ш х + ⁶ x ))

x y = [ ш _х ,ш _у ,ш _z ] T , u — вектор управлений.

Согласно общему алгоритму с прогнозирующей моделью [5], при прогнозировании и = 0 и, следовательно,

Ш _х = Ш _у = Ш _z = const ,          (11)

а уравнения (10) имеют вид

x: П = F ( x П ,x n ) , x П = 0 ,         (12)

где индекс «П» означает прогнозируемые значения компонент векторов состояния и управления КА.

В соответствии с условием (11) уравнения (10) представляют собой автономные линейные, а значит, имеют явное аналитическое решение. Аналитическое решение первого уравнения при условии (11) и 6 _х = 6 _у = 6 _z = const запишем в форме:

^A о ⁽ t ) A 1 ( t ) A 2 ( t ) A 3 ( t )

= (cos — cos ^t +   sin — sin ^t AB+ v 2     2 ш 6    2     2

+ 1 sin ^—t cos ^{6 t} A + - cos ^—t sin ^{6 t} B )

Ш 2     2     6     2     2   ’

A 0 (0)

A 1 (0)

A 2 (0)     ^,

A 3 (0)

где

^Ш = \) ^Ш Х ^{(0) + Ш} У ^{(0) + —} 2 ⁽⁰⁾ ,

6	=	у 6 X (0) + 6 y (0) + 6 z (0)
		0	-ω x	-ω y	—— z
A =		ω x ω y	0 -ω z	ω z 0	— Ш у ω x	,
		ω z	ω y	-ω x	0
B =		0 -θ x -θ y -θ z	θ x 0 -θ z θ y	θ y θ z 0 -θ x	6 z -θ y θ x 0
В соответствии		с тем, что x y П			= 0,	уравнения

(3) для прогнозирующей модели превращаются в аналитические соотношения, которые определяют значения внешних моментов Mx , My , Mz для обеспечения условия (11). Эти соотношения запишут- ся так:

М Х П ( t ) = ( J z — J y ) Ш у (0) — z (0) ,

M y ( t ) = ( J x — J z ) Ш х (0) — z (0) ,       (14)

М П ( t ) = ( J y — J x ) Ш у (0) — z (0) .

Формулы (13) — (14), (11) полностью решают задачу точного аналитического прогнозирования вращательного движения КА.

IV. Выбор минимизируемого функционала

Возможны два варианта построения орбитальной ориентации КА. В первом случае предъявляется требование выполнения маневра в заданный момент времени с заданным вектором состояния и с учетом затрат по расходу топлива. Во втором — требование к времени не предъявляется. При этом в соответствии с принципом минимума обобщенной работы, который положен в основу синтеза оптимального управления, задача ставится как задача минимизации функционала, «штрафующего» за ошибки ориентации, а не как задача точного выполнения граничного условия на правом конце [6]. Рассматривается задача построения орбитальной ориентации КА из любого текущего положения связанной системы координат КА относительно орбитальной в окрестность совмещения связанной системы координат с орбитальной. Если выполнение маневра построения орбитальной системы координат требуется осуществить за заданное время, тогда за выход в эту окрестность отвечает прежде всего терминальная часть функционала V _з к [6], которую зададим в виде положительно определенной квадратичной формы разностей фактических и заданных значений параметров углового положения и относительных угловых скоростей. В этом случае функция V _з к имеет вид

V = 0,б[ Г акц (АП(tк) - А.з)2+ μ=0

^{+ а} к ^{( Ш} П ⁽ t к ) ^- Ш х з ^{) 2} + ^а к ^{( Ш} П ⁽ t к ) ^- Ш у з ^{) 2} +

+ ак (ШП (tк) - ^3^ , где aj к (j = 0,6) — весовые коэффициенты.

Если требование по времени построения орбитальной ориентации не предъявляется или в случае поддержания орбитальной ориентации решается задача нетерминального управления [6] со скользящим интервалом оптимизации T , и функционал должен отражать качество переходных процессов построения ориентации и расход топлива, то эти требования можно задать с использованием интегральных функций Q _кач , Q р [6]. Данные функции будут иметь вид

Q кач = 0 , 5 £ в к ( А П ( t к ) -А у з ) ² + в к ( Ш   t к ) -Ш х з ) ² +

μ =0

^{+ в} к ^{( Ш} П ⁽ t к ) ^{- Ш} У з ^{) 2 + в} к ^{( Ш} П ⁽ t к ) ^{- Ш} г з ^{) 2 Q} p =

M у 1 J x

+

M у 2 J y

+

M у 3 J z

или

Qp =

M 1 J x

+

M 2 J y

+

M 3 J z

Поскольку для прогнозируемого движения Ш x = Ш _у = Ш z = 0, 6 _х = 6 _у = 9 z = const, то на основании выражений (14) с учетом аналитических соотношений (6) -- (9) можно записать алгебраические выражения, которые определяют проекции моментов M yi через параметры вектора состояния и управления КА:

M(у t) = ( Jz-Jy ) Шу (0) Шг (0)-Mg 1— Mm 1 -Ma 1 -Mc 1, M2 y t ) = ( Jx-Jz ) Шх (0) oz (0)-Mg 2 — Mm 2-Ma 2-Mc 2, M3(у t) = ( Jy-Jx)Шх (0)Шу (0)-Mg3-Mm3-Ma3-Mc3. Таким образом, главная часть функционала обобщенной работы, учитывающая указанные факторы и показатели, может быть назначена в виде tk

IГ = Узк(xП(tk),ХП(tk),tk) + I Qp(ШПШП,ШП)dt+ tk+T

+ j [ Q кач( x П (T) ,ХП( T),T) + Qp (ШП ШУП ,ШП )] dT tk или

τ + T

I Г = | ^[ Q кач ⁽ x П ^{( T} ) ^,Х П ^{( T} ) ^,T ) ⁺ Q p ^{( Ш} П ^Ш У П ^{,ш П )]} d ^T . τ

Компонентами вектора управления в данной задаче, согласно предыдущему, являются производные угловых скоростей. Принцип минимума обобщенной работы допускает использование в функционале различных норм вектора управления. В данной задаче можно использовать наиболее простую норму — квадратичную. Тогда полный функционал обобщенной работы запишется в виде

t

I = Iг + 0,51 [ u Т( т) K -1 u (т) + u Тп K -1 u оп (т)] dt.

Здесь K — диагональная матрица положительных коэффициентов, u _оп — неизвестный до решения задачи оптимизации вектор управления в оптимальной системе.

Итак, рассматриваемая задача оптимизации переориентации КА заключается в том, чтобы указать управления, доставляющие минимум функционалу (15), на решение систем (8) или (10).

V. Решение задачи оптимизации ориентации КА

В виду наличия аналитических решений (13) уравнений (12) свободного движения и в соответствии с выражением (11), решение задачи оптимизации естественно записать в виде аналитической формы алгоритма с прогнозирующей моделью [6].

∂ ^T

u = uоп = -K^z-IГ.

∂x

Здесь dx {...} — транспонированная матрица Якоби (матрица — столбец). С учетом вторых уравнений систем (8), (10) будем иметь

где

шО = шО, шО = шО, шО = шО, xyz шХу^ шху^ (t и) , шО ш(t и) , T t к t и,

∂ ^T

X y + K—I г = 0 .

∂x

Решение интегродифференциального уравнения (16) в реальном времени, синхронно с поступлением параметров векторов x ( 0), х _у (0) от бортовой аппаратуры, означает формирование оптимального, в смысле минимума, функционала обобщенной работы (15) управлений.

Уравнения (16) в скалярной форме зависят от вида функций функционала I Г . Для случая построения орбитальной ориентации за заданное время с минимизацией внешнего момента оно в скалярной форме запишется так:

^к μx,y,z

Д х Д Л *      0 , 5 ш 0_{U Z} TA 0\

= sin(2ш0T)cos(2eT) U^z - у ■ | + z 1 х /1    0,5шХ yzTA*У

+ cos( - шо T) cos(— ет)-----^

2          2

1 х zl х0 , 5 xy ^TA d

+ cos(- шоT) sin( - eT)-----^У-

2         2

+ sin(| ш о T )sin(2 eT ) A ;x,y,_z + Е ,     а у = А П ( t и ) ,

^х ^{+ к} к { ^ ^аУ B^U ) ^{[ А} П ⁽t к ) ^{- А}У з ^{] +} I у =о     ^дш х ( t и )

t к

+ а к ( ш П ( t к ) - ш х з ) + J[ Ф 1 ( т ) W z ( т ) + Ф к ( т ) ш у ( т )] d^ = 0 , t и

^У ^{+ к} к { ^ ^а У о ^У/, х ^{[ А} П ⁽ t к ) ^{- А} У з ^{] +}

I у =о     ^дш У ( t и )

t к

+ а к ( ш П ( t к ) - ш у з ) + J[ Ф з ( т ) ш _х ( т ) + Ф к ( т ) ш х ( т )] dx^ = 0 , t и

^z ^{+ к} к | ^ ^а У д^ ( t ) ^{[ А} П ⁽ t к ) ^{- А} У з ^{] +}

I у =0         ^z ( ^{и )}

t к

+ак(шП(tк) - шхз)+ J[Фз(т)шу (т) + Ф1(т)шх(т)]d^ =0, tи гдеФ1 = sign MП(Jx-Jz)/Jy, Фк = sign MП(Jy-Jy)/Jz, Фз = sign M П( Jz - Jу) /Jx, t и( t и E [0 ,tk ]) — момент времени поступления измерений компонент векторов состояния и управления КА от бортовой аппаратуры. Не представляет большого труда привести выражения для уравнений (17) при других видах функционала IГ .

Решения уравнений (17) имеют вид

ц = 0 , 3 , ∗    00   00   00

A о = ^-ш х ^А 1 ^{- ш} у ^А 2 ^{- ш} z ^А 3 ,

A 1 = A 2 =	= шо А о + ш о А о - ш о А о , xzy 00  00  00 - ш у А о - ш z А 1 + ш х А 3 ,
A 3 =	-ш У А о + ш у А 1 - ш Х А 2 ,
А* = ОХ	( -А о ш 2 - A 0 ш Х ) /ш Х /ш о 3
A 1 x	= ( А о ш 2 - A 1 ш Х ) /ш о 3 ,
A 2 x	= ( А 3 ш 2 - A 2 ш Х ) /ш о 3 ,
A∗ 3 x	= ( -А 2 ш 2 - A 3 ш Х ) /ш 3 ,
A o ∗ y	= ( -А 2 ш 2 - A о ш у ) /ш о 3 ,
А* A 1 y	= ( А 3 ш 2 - A 1 ш у ) /ш 3 ,
А* A 2 y	= ( А о ш 2 - A 1 ш у ) /ш 3 ,
A ∗ 3 y	= ( -А 1 ш 2 - A 3 ш у ) /ш 3 ,
A∗ oz	= ( -А 3 ш 2 - A 1 ш о ) /ш 3 ,
д* A 1 z	= ( А о ш 2 - A 1 ш о ) /ш 3 ,
A∗ 2 z	= ( -А 1 ш 2 - A 1 ш о ) /ш 3 ,
д* A 3 z	= ( А о ш 2 - A 1 ш о ) /ш 3 ,
∗ d A 0	= ш у А о - ш о А о + ш Х А 3 ,

∗ d        0 0     0 0     0 0

A 1 = ^—ш z ^А о ^{- ш} у ^А 1 ^{+ ш} х ^А 2 ,

ш _ж ( t ) ^ш у ⁽ t ) _ Шz ( t )

^ш Х ⁽ t и ) ^ш У ⁽ t и ) ^Ш Z ⁽ t и )

t £ а У [ А П ( t к )

μ =0

^А у з ^{] X}

	кк k 1 P xμ		k 1 к α 4 к	ш П ( t к )	- ш х з ]
X	кк k 2 P yμ	-t	k 2 к α 5 к	ш П ( t к ) ш П ( t к )	- ш у з ]
	кк k 3 P zμ		k 3 к α 6 к		- ш z з ]

-t(tk

■ к К [Ф 1 Ш z ( t и ) + Ф 2 ш у ( t и )] "  t и )    к К [Ф з ш _г ( t и ) + Ф 2 ш у ( t и )]

_ к К [Ф з ш у ( t и ) + Ф 1 ш у ( t и )] _

,

∗ d 0 0     0 0     0 0

A 2 = ^ш х ^А 1 ^{+ ш} у ^А 2 ^{+ ш} z ^А 3 ,

A ∗ 3 d	= ш о А о + ш о А о - ш о А о , xzy
∗ d ox	= ( А 3 ш 0 -	A 0 d ш 0 ) /ш о 3 ,
∗ d A 1 x	= ( А 2 ш 0 -	A 1 d ш 0 ) /ш о 3 ,
∗ d A 2 x	= ( А 1 ш 0 -	A 2 d ш 0 ) /ш о 3 ,
∗ d A 3 x	= ( А 0 ш 0 -	A 3 d ш 0 ) /ш о 3 ,
∗ d oy	= ( А 0 ш 0 -	A 0 d ш у 0) /ш о 3 ,
∗ d A 1 y	= ( -А 1 ш 2 -	- A 1 d ш У ) /ш 3
∗ d A 2 y	= ( А 2 ш 0 -	A 2 d ш 0 ) /ш 3 ,
∗ d A 3 y	= ( -А 3 ш 2 -	- A 3 d ш У ) /ш 3
∗ d A oz	=( -А 0 ш 2 -	- A 0 d ш 0 ) /ш 3
A ∗ 1 zd	= ( -А 0 ш 2 -	- A 1 dШ z 0 ) /ш 3

A 2 z — ( A 3 ш 2 - A M) /ш 3 , ∗ d 0 2       ∗ d 0     3

A 3 z — ^{( A} 2 ^ш 0 ^- A 3 ^ш z ) ^/ш 0 ,

B 0 — - 0,5 T sin(0,5 шT) sin(0,5 9T) шХ „ Ju о A 2, ,y,

B1 — 0,5 T sin(0,5 шT) sin(0,5 9T) шХ „ Ju о A 3, ,y,

B 2 — 0,5 T sin(0,5 шТ) sin(0,5 9T) шХ „ Ju о A 0, ,y,

B3 — -0,5T sin(0,5шТ) sin(0,59T)шХ u z/ш0A1. ,y,

Запишем уравнения системы (3) в виде, разрешенном относительно управляющих моментов:

M1 y (t) —

• ^—    J x ^ j x + ⁽ J z ^— J y ) ^ш у ^ш z ^— M g 1 ^— M m 1 ^— M a 1 ^— M e 1 ,

M2 У (t) —

• ^—    J y ^ш У ^{+ (} J x ^— J z ) ^ш x ^ш z ^— M g 2 ^— M m 2 ^— M a 2 ^— M e 2 ,

M3 y (t) —

• ^—    J z t^ z ^{+ (} J y ^— J x ) ^ш х ^ш у ^— M g 3 ^— M m 3 ^— M a 3 ^— M e 3 .

Подставим в выражения (19) значения Со_Х , Со_y , Со_z , ω x , ω y , ω z , определяемые согласно (17), (18). В результате уравнения (19) дают решение обратной задачи динамики вращения жесткого КА, в котором угловая скорость дается компонентами вектора x y , полученными в реальном времени в результате решения задачи текущей оптимизации вращательного движения КА. Последнее имеет принципиальное значение. Дело в том, что недостатком управлений, получаемых на основе обычного метода решения обратной задачи динамики, является высокая чувствительность к ошибке модели. Это делает невозможным применение этого метода для синтеза управлений. В данном случае этот недостаток теряет силу, так как, согласно (17), (18), величины ω _x , ω y , ω _z связаны с оценкой вектора состояния КА. Следовательно, получаем проекции управляющих моментов M у _x , M yy , M y_z как управляющие воздействия в системе с обратными связями, а системы с управлением по принципу обратной связи являются малочувствительными к ошибкам модели.

Проекции моментов M у _x , M yy , M y_z представляют собой непрерывные сигналы, а значит, они могут быть реализованы с помощью различных управляющих органов, в том числе и двигателями с регулируемым ускорением. В случае двигателей с постоянным ускорением необходимо входные непрерывные сигналы M у _x , M yy , M y_z преобразовать в дискретные, то есть надо сформировать последовательность импульсов, зависящую от входных сигналов. В каждом канале управления дискретный импульс должен иметь постоянную амплитуду, равную величине постоянного углового ускорения, создаваемого двигательной установкой, и длительность импульса T _u , зависящую от входного сигнала. Эту длительность определим из выражения

aiT — аД Tи.

Здесь T — заданный период повторения импуль-Д сов; ai — постоянное значение ускорения, создаваемого двигателем в i-м канале управления; ai — значение ускорения «условного» двигателя (двигателя, создающего изменяемое угловое ускорение) в i -м канале управления, равного в момент начала действия импульса:

M x,y,z a i — ₇ J x,y,z

Таким образом, управление орбитальной ориентацией КА сводится к последовательному выполнению следующих операций. По результату измерения векторов состояния и управления КА с использованием выражений (11) прогнозируется положение КА на момент t _к окончания режима ориентации. По результатам прогноза и измерений в соответствии с (17), (18) или других, не приведенных в рамках данной работы соотношений, и на основании выражений (19) определяются необходимые управляющие моменты, реализуемые двигательной установкой. Данный цикл вычислений повторяется, как только поступят новые значения параметров вектора состояния и управления КА от бортовой измерительной аппаратуры.

VI. Заключение

В работе получено аналитическое решение задачи управления орбитальной ориентацией КА. За полноту этого общего решения алгоритм с прогнозирующей моделью расплачивается условиями, накладываемыми на динамические свойства КА и на структуру критерия, отражающего предъявляемые к управлению требования.

Укажем эти условия:

• 1.    Уравнения движения КА (7) — (10) линейны относительно управляющих воздействий.

• 2.    Область возможных значений управляющих воздействий незамкнута.

• 3.    Минимизируемый функционал (15) является квадратичным относительно вектора управления.

Перечисленные условия практически не влияют на процесс управления КА. В большинстве случаев эти условия приводят к несильным ограничениям в практических задачах. Так, удовлетворение условия 2 при ограниченных управляющих воздействиях в реальной системе может быть обеспечено соответствующим выбором K в (15).

Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации в рамках контракта с Минобрнауки России № 13. G25.31.0028.