Оптимизация процесса газоэлектрической наплавки деталей лесных машин в среде пропан-бутана

Hа ремонтных предприятиях лесной промышленности и лесного хозяйства при восстановлении деталей наибольшее распространение нашли дуговые способы наплавки: ручная наплавка покрытыми электродами, наплавка под слоем флюса, наплавка в среде углекислого газа и вибродуговая наплавка. Эти способы восстановления не всегда позволяют получить необходимую твердость поверхности, и детали требуется дополнительная термическая обработка, которая обычно возможна на крупных ремонтных заводах.

Внедрение на малых предприятиях дорогостоящих и энергоемких установок, например, таких как плазменная наплавка, нанесение твердых покрытий в высоком вакууме или детонационного напыления, требует больших капитальных вложений, что целесообразно только при больших программах или номенклатурах ремонтируемых деталей. Новые способы восстановления требуют также и более высокой культуры производства. Здесь целесообразны способы

воcстановления деталей, которые устраняют недостатки широко распространенных способов, могут быть внедрены на имеющемся оборудовании с незначительными изменениями и не требуют дорогостоящих расходных материалов [4].

Целью данной работы является выбор оптимального режима нанесения покрытия газоэлектрической наплавкой в пропан-бутане для повышения эксплуатационных свойств деталей при ремонте лесных машин. В работе определяются условия протекания процесса, при которых ее технологическая производительность оптимальна. В этом смысле выявляется также взаимосвязь качественного формирования шва с технологическими параметрами [2].

В качестве управляемых факторов (контролируемых переменных) используются только взаимно независимые параметры наплавки: х 1 – мощность электрической дуги, х 2 – скорость наплавки, х 3 – расход пропан-бутана, х 4 – расход кислорода, х 5 – расстояние до среза газовой горелки.

Поставленная проблема оптимизации решается на основе методов планирования эксперимента.

В полном факторном эксперименте (ПФЭ) типа 2k число опытов N = 2k. С ростом k число опытов N быстро растет. Поэтому при больших значениях k реализация ПФЭ типа 2k становится сложно осуществимой. Одномерная функция отклика имеет вид [1], [7].

к

У=ao+Z aixi+Z a ^2 + Z w+у * ,w i=1 1< i < j < к где y – количество нанесенного металла в единицу времени [г/ч], и член у* содержит произведения контролируемых переменных х1, …, хk порядка выше второго. Взаимодействиями называются произведения вида:

Xi1- x. (1 < ii < i2 < ... < im < к). (2)

Наряду с ростом числа N опытов происходит увеличение числа взаимодействий и их порядка. В ряде случаев можно априори пренебречь эффектами определенного набора взаимодействий. Кроме того, за счет коррекции матрицы независимых переменных функции отклика часто можно заменить функцией отклика, эквивалентной исходной, но с меньшим количеством взаимодействий. При этом функции отклика считаются эквивалентными, если результаты оптимизации для них практически одинаковы. Отметим, что некоторые взаимодействия принципиально значимы, и их необходимо учитывать для любой допустимой функции отклика. Эти соображения лежат в основе предложенного метода оптимизации производительности нанесения покрытия на изношенные детали.

Любое уменьшение до реально учитываемых взаимодействий приводит к существенному уменьшению числа опытов, необходимых для получения оценок неизвестных коэффициентов (параметров) функции отклика. Это уменьшение достигается с помощью применения дробных факторных планов (ПФЭ), представляющих собой регулярные или нерегулярные дробные реплики. Если в ПФЭ типа 2k наблюдения проводятся во всех вершинах к-мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик нужно знать результаты экспериментов только в некоторых вершинах этого гиперкуба. При построении полуреплик берутся не произвольные точки полного факторного плана, а только такие, при использовании которых выполняются условия симметрии и нормировки плана и попарной ортогональности его столбцов. Каждому ПФЭ типа 2k соответствуют две полуреплики 2k-1. Например, в случае к = 4 полуреплики могут строиться с помощью генерирующих соотношений [1]:

X 4 = X1 x 2

и

X4 =- X1 X2.

Матрица плана полуреплики 24-1 с рующим соотношением (3) имеет вид:

х ₁

х ₂

х ₃

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1

х ₄

-1

-1

-1

-1

генери-

Матрицы планов двух произвольных полуреплик 24-1, генерирующие соотношения, отличающиеся лишь знаками, не имеют общих строк. Значит, объединение таких полуреплик представляет собой ПФЭ типа 24. Для каждого из двух ПФЭ 23 находятся несмещенные оценки по методу наименьших квадратов (МНК-оценки) неизвестных коэффициентов (параметров) функции отклика:

У = ao + Z aX i=1

⁺ Z ^aij^Xi^Xj ^{+ a}123^x 1 ^X 2 ^X 3 .

1 < i <  j < 3

Коэффициентам соответствует матрица независимых переменных:

Х =

1  -1  -1  -1    1    1    1

1    1  -1  -1  -1  -1    11

1  -1    1  -1  -1    1  -11

1    1    1  -1    1  -1  -1

1  -1  -1    1    1  -1  -11

1    1  -1    1  -1    1  -1

1  -1    1    1  -1  -1    1

1----------------V-----------

Матрица плана

ПФЭ типа 23

Основная задача планирования эксперимента состоит в поиске экстремума функции отклика. Рассмотрим случай, когда экстремум, соответствующий оптимизации производительности покрытия на изношенные детали, лежит во внутренней точке области изменения независимых переменных. В этом случае можно пользоваться классическим методом отыскания экстремума функции нескольких переменных:

• 1.    Необходимое условие: независимые переменные должны удовлетворять системе нормальных уравнений МНК.

• 2.    Достаточное условие: независимые переменные должны удовлетворять теореме Сильвестра [5] (в случае максимума знаки угловых миноров А_К должны чередоваться, причем А₁< 0).

Такая задача имеет смысл, если функция отклика относительно независимых переменных имеет порядок выше первого.

Для изучаемой проблемы, согласно критерию Стьюдента [3], значимы переменные х 1 , х 2 , х 3 , х 5 (ниже переменная х 5 переобозначается через х 4 ). В свою очередь, в силу критерия Фишера адекватная модель функции отклика записывается в форме:

Вектору параметров a из (9), (10) соответствует вектор независимых переменных:

х = ( х 1 , х ₂, х ₃, х ₄).              (12)

где х 1 = - 49 - 10 ⁵ , х ₂ = - 84 х ₃ = 50, х ₄ = 75 .

Проверим, что вектор х действительно доставляет максимум функции отклика (8) с параметрами (10), то есть оптимизация фактически осуществляется. Действительно, критерий Сильвестра выполняется в силу соотношений:

A 1 = У 11 = 2 а 11 =- 2,8 - 10 ^{- 10} <  0,

А =

А 4 =

У = а 0 + а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 + а 4 х 4 +

+ а_п X i + а^ X i х 2 + а 22 х 2 + а 33 х 3 + а 44 х 4 .

У 11

У 21

^У 11

V

У 21

^У 31

У 11

У 21

У 31

У 41

V

У ₁₂

V

У ₂₂

V

У 12

V

У 22

V

У 32

у

V

V

у

= 10 ^{- 10} - (2,8 - 3,6 - 9) » 10 ^{- 10} >  0,

у

У 13

У 2

У 3

У 13

У 23

У 33

У 43

= - А ₂ <  0,

У 14

У24 у у

= - У ₄₄ - 10 ^{- 10} >  0, еслиУ ₄₄ <  0,

(в данном случае У 44 = –0.4, так как а 44 = –0,2), где

Данная модель строится по генерирующему соотношению (3) и является минимальной моделью типа (1). Это означает, что функция отклика (8) содержит только одно взаимодействие х 1 х 2 , совпадающее с генерирующим соотношением. Определим вектор коэффициентов регрессии (параметров) по МНК на основе выбранного плана ДФЭ [1], [7].

a = (aO, a1,...,а4, а11,...,a44),(9)

Уу = 2ац, У = Уji = 0,5а,.(13)

Вычислим фактическое значение максимума функции отклика:

Уmax = У (х), где вектор независимых переменных х дается формулой (12).

Имеем:

где:

а о =-49, а1 = 3.5-10—6, а11 =-1.4-10-10, а12 = 6.0-10—5

а ₂ =- 1.6 - 10 ^{- 5}, а ₂₂ =- 1.8,                    (10)

а 3 = 50, а 33 = -0.5, а4 = 30, а44 =-0.2, где

Нормальная система МНК, соответствующая функции отклика (8), имеет вид:

У max = У 0 + У 1 + У 2 + У 12 ,           (15)

' у ₀ = а ₀ + 0,5 а ₃ ² + 1,2 а ₄ ² » 2,3 - 10³,

У1 =]Т аЛ.«-1,7-104 + 4,8-103, i =4                                             (16)

у 2 = z а^ «- 0,8 - 10⁴ - 1,5 - 10³, i = 1

У ₁₂ = а ₁₂ х 1 х ₂ ~ 2,5 - 10⁴.

а 1 + 2 а 11 х 1 + а ₁₂ х ₂ = 0

а ₂ + 2 а ₂₂ х ₂ + а ₁₂ х 1 = 0

а ₃ + 2 а ₃₃ х ₃ = 0

а ₄ + 2 а 44 х ₄ = 0.

Из выражений (15) и (16) следует:

У max = 2,3 - 10³ + 3,3 - 10³ = 5,6 - 10³ = 5 6 00 г / ч .

Экстремумы во внутренней точке области изменения независимых переменных функции отклика второго порядка существуют не для всех возможных значений коэффициентов регрессии.

Так, для минимальной модели (8) при а 11 =- 1,4 • 10 ^{- 1} , а₁₂ = 6,0 - 10 - 5 должны выполняться неравенства:

а 22 <- 1,7; а 33 <  0,9; а ₄₄ <  0.         ⁽¹⁸⁾

Следует отметить, что рассматриваемая проблема является плохо обусловленной, поскольку малые погрешности коэффициентов регрессии могут привести к существенным ошибкам в У _max (некорректная проблема) [6]. Поэтому формально полученное решение проблемы оптимизации нуждается в регуляризации. В данном случае можно использовать естественную регуляризацию, состоящую в отбрасывании слагаемых типа 10^К а с а << 1 для тех натуральных к, которые по смыслу задачи не соответствуют реальным значениям экстремума функции отклика.