Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы в пространстве Соболева

OPTIMIZATION OF THE DISTRIBUTION OF THE NODES

OF A QUADRATURE FORMULA IN SOBOLEV SPACE

Weight quadrature formulas with asymptotically optimal distribution of nodes in Sobolev space are researched in the article.

В работах С.Л. Соболева [2] и его учеников В.И. Половинкина, М.Д. Рамазанова, Ц.Б. Шойнжурова рассматривались кубатурные формулы с узлами на решетке в различных функ- циональных пространствах.

Доказано, что кубатурные формулы с пограничным слоем и постоянным весом на ре- шетках асимптотически оптимальны в пространствах Lm .L™, Wpm (Щ) и Wpm.

Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа

Lm(1 ^ ЯтЙпf(X’)

у=0 \x XY Pm \лу / где Xy, у = 0,1 ,...,m - произвольное расположение узлов и tom (x) = (x - xо)(x - xy)...(x - xm).

Погрешность формулы f ( x ) » L_m ( x ) равна

f(x) - Lm (x) = fm+qr Щт (x), гДе % G (0Л равенства-

Весовую квадратурную формулу определим приближенным равенством

J p ^{( x )} f ^{( x )} d^x * J p ^{( x )} E i— ^tom\ ^{( x}\ f ^{( x} y d^x- 0              0     У = 0 ^{( x} - ^x Y ^{) p}m ^{( x} Y/

Коэффициенты весовой квадратурной формулы (2) выражаются

Г / \      ^P m ^{( x )}      ,             ,

,...

,m.

ми C _y = p ( x )₇----- / ₍ ч dx, Y = 0 , 1

^Y 0      ⁷( ^x - ^x Y ) ^P m ( x y )

На основании равенства (1) погрешность весовой квадратурной формулы равна

R m = J P ^{( x )[} f ^{( x ) - L} m ^{( x )] dx} = J P ^{( x p}m ^{( x )}

/ ( m + 1 ! ( £) ( m + 1 )!

dx.

Пусть отрезок [ 0,1 ] разбит на части [ x p - i , x ^ ] в = 1 ,—,N, x 0 = 0 , x_N = 1 .

Интеграл на каждой части вычислим по формуле весовой квадратурной формулы трапеций. Здесь m=1. Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

L 1 (.x ) = E ( x - x 0 )( x ^- x 1 ) f ( x p ) .

p = 0 ⁽ x - x p Л М x p )

x p               x p

Погрешность квадратурной формулы J p ( x ) f ( x ) dx * J p ( x ) L i ( xdx равна x p - i                 x p - 1

x p

^x p

^x p - i

^x p - i

Запишем погрешность формулы в развернутом виде xp z X z X z X ( V              \3               If"(x)

Rp = J p(x)ю1 (x)f"(x)dx < p(xp-i)(xp - xp-i )3   max xp-i                                                 x

Погрешность по всему отрезку равна

.

в =i

Пусть f"(x)< M, f (x)e W^

N

R = E p^(xp -i)(^xp^-

«        f 1 x )

xp _i )    max ------ x

.

и в качестве xp взяты значения ф| — I непрерывно

дифференцируемой функции ф(), удовлетворяющей условию ф(о) = 0 и ф(1) = i. По свойству непрерывной функции ф() имеем f в I f в -xp-xp-i Ф^=NJ-ф^—

Формула (3) принимает вид в I i f i

— — + о — N J N I N

.

Nx

R =Z^L2 в =i

^{- x}e -i)

i N f / в

.^{p(xe )M} - N^{3 E ф}N

M p (xe

f i

Г °l^

.

Выражение в скобках является квадратурной суммой Римана для интеграла

J(ф'(^{t ))3}p (ф(<)) Mdt.

Из (4) имеем R = —Xr [ (ф'(^{^}))3 p(ф(t)) —dt ■

N²0              6

Оптимальное распределение узлов весовой квадратурной формулы трапеций

1N

J p^(x)f^(x)d^x « E cP f^(xв)

в=1

связано с оптимизацией главного члена погрешности J (ф^,(t ))3 p(ф(t)dt.

Минимизируем главный член интеграла формулы (5)

^L = J⁽^'^(t))3 p^фIdt.

Примем за независимую переменную в (6) функцию ф. Интеграл (6) запишем в виде

^L = J^(t'⁽Ф^))-2 p⁽Ф^Ф .

Составим функцию Лагранжа

F (ф + тф) = J (t ’(ф) + Хт'(ф ))-2 p (ф + тф ^ф,

0 ^

(t '(ф ))2

p⁽ф^т’⁽ф^{) + (}t^,(ф)) ²dp^]^dФ = ^0.

Здесь p(ф) не зависит от t, потому

dP ⁽ф) dt

=0. Интегрируя по частям, имеем

d L<t^ p^ф)

= 0

или

Р ⁽ф⁾⁽ф’⁽t⁾⁾³= C 0.

Из наших рассуждений следует теорема:

Теорема. Если ф(x) непрерывно дифференцируемая функция на [0,1], удовлетворяю- щая условиям

ф(0)= 0 ,ф(1)= 1, max |f"(x )< M,f (x )е WO ,p (x )е £100(0,1) ифе Wm , (7) хе[0,1]

и весовая квадратурная формула трапеций имеет вид

1N

J p(x)f (x)dx « E Cp f (xe), то при N ^ о асимптотически оптимальное распределение узлов формулы (8) определяется функцией x = ф(t), удовлетворяющей дифференциальному уравнению

d[p (ф(t ))(ф’(t ))3 ]= 0

dt и начальным условиям (7).

Из теоремы следует, что решетчатое расположение узлов весовой формулы не является асимптотически оптимальным расположением узлов, а асимптотическое расположение узлов весовой формулы определяется решением дифференциального уравнения (9) и начальных условий (7).

Рассмотрим две возрастающие последовательности чисел: {x0 = 0 < x1 < x2 < ...< xp< ...< xn = 1} , {0 < h< 2h< ...< he< ...< hN = 1} .

C помощью этих последовательностей чисел построим монотонно возрастающую функцию x = ф(t) по значениямxp = ф(hp), p = 0,...,N удовлетворяющую дифференциаль- ному уравнению d       p (ф)

= 0 или p ⁽ф⁾⁽ф’⁽t⁾⁾³= C 0.                ⁽¹⁰⁾

Общее решение этого уравнения зависит от постоянных С0 и С1 и значения постоянных Со и С1 определяются из граничных условий ф( 0) = 0 и ф(1) = 1.

Пусть дан интеграл

J p (x)f (x)dx , где p(x)e wO и f е W^,                (11)

а весовую функцию p(x) представим в виде p(x) = p(x)• w(x), где w(x) е C¹(0,1) и p(x) более простая функция.

В интеграле J р(x)w(x)f (x)dx функцию w(x) присоединим к интегрируемой функции 0

w(x)f (x) e W * . От весовой функции   p(x)   выделим степенную функ цию p (x) = |x|^ v (x), -1 < s < 1 и v(x)e C*.

Если 5< 0 , то интеграл (11) несобственный, если же 5 > 0, то интегрируемая функция не будет иметь производные в точке x = 0, начиная с некоторого порядка при 5 > 0 .

Обычно в вычислительной математике изучаются весовые квадратурные формулы с весом p(x) = |x|⁵v(x).

В дальнейшем за весовую функцию формулы принимаем простейший вес p(x) вида p (x ) = |x|5, -1 < s < 1

В качестве примера рассмотрим уравнение (10) с весом p(x) = |x|⁵, -1 < s < 1.

Ф

= 0. Интегрируем уравнение

Уравнение (10) принимает вид dt

₅ d              ^s+³

|ф 3 — = C0 или ф³= tC0 + C1. Из начальных условий находим C₀= 1 и C1 = 0.

Следовательно,

ф() = t⁵⁺³.

Для вычисления интеграла J x⁵ f (x)dx оптимальным распределением узлов являются

.