Оптимизация узлов кубатурных формул

Возможные постановки классической задачи рассматривались многими математиками.

В работах Н.С. Бахвалова [1], Л.В. Войтишек [2] предложены схемы об оптимальном распределении узлов, близкие к нашей схеме.

В одномерном случае в работе Н.С. Бахвалова вычисляется интеграл

J (f ) = f f (x) dx,

и подынтегральная функция удовлетворяет следующим условиям:

If *( x )s Mj

на отрезках Qj =aj-1= aj)=j 1,2, „., k, 0 a0 < a1 < ... < ak = 1.

Интеграл по всему отрезку [ 0,1 ] вычисляется по формулам с переменным шагом интегрирования [3]:

1 _k J ( f ( x ) ) = I f ( ^x ) ^{dx -} Z S j ( f ) . 0                   j = 1

В работе С.Л. Соболева [4] построены формулы с пограничным слоем для рациональных многогранников.

В работе Л.В. Войтишек [2] исследуются кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования в n -мерном пространстве E n для рациональных многогранников M сА .

Сначала рассматривается функционал 1 A h с регулярным пограничным слоем для n -мерного куба с узлами на решетке с шагом h , затем строится функционал для рационального многогранника M сА с вершинами в узлах решетки с шагом h 1 вида

11 (x)= Z Cyh15(x — h Y) — Z Cyh"5(x- hY), h1 yeM                        hye M где коэффициенты C = C , C к.., C определяются из системы Y        Y1       Y 2              Y

m

X ( C,. — 1 ) n

7 . 0

—

h

I h

x a +1

a + 1

a 0,1, ..., = m.

Искомый функционал l h ( x ) определяется равенством

/Д(x) = 8.(x)— X hCAx — hY)— Z h"C,6(x — hr).

h ye M                      h yeW\ M

Функционал l₁ ( x ) аннулирует точечную часть функционала l Д ( x ) , относящуюся к внутренней области M , и заменяется функционалом с шагом h .

В данной статье строятся кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования Q с кусочно-гладкой границей.

Построим кубатурные формулы, используя идею из монографии Ц.Б. Шойнжурова ([4], с. 188-192) и схемы из работ С.Н. Бахвалова [1] и Л.В. Войтишек [2] по теории кубатурных формул.

Пусть область Q с кусочно-гладкой границей разбита на к частей Q j = 1 2 K к .

j ,                , ,          ,

Введем класс функций В₁ :

■, к >.

В₁ = <  у е C m / max | д ^а У x eQ j ।        ।

| a <  m

Лемма 1. Пусть Q - область определения с кусочно-гладкой границей и разбивается на k       частей       Q ., j = 1, 2, ..., k,       max|D“y(x)| = M,, -—— = h”,

k

X N j = N .

j =1

x Q. J                j N. ^j

|a | <  m                                       ^j

Во /X

Д H < m

( 2 пв ) ^- e x

12 в ² m

dx l ( _x ) = ХД( x ) , где l h ( x ) - функционалы погрешности с погранич- j =1 j

ным слоем для Q j и уе В ₁ .

Тогда имеет место при N >■/ асимптотическое равенство k

II ^l qI L ^m'

*

да j=1

Теорема 1. При выполнении условия леммы лучший размер сетки в классе функций В1 определяется равенством m+n

.

1 k            m+n hj

-----Mm. Q I m + n                 i i

N M ⁱ = ¹

Отсюда видно, что размер сетки области меньше там, где норма больше.

Поскольку N j должны быть целыми, в формулах берем целую часть N j , т.е. [ N j ].

Рассмотрим одномерный случай.

Пусть й = h и lД (x) — функционал с симметричным пограничным слоем с узлами на N решетке с шагом h, д = [0,1].

Разобьем Д на непересекающиеся интервалы Q j , j = 1, 2, k , к с концами в узлах

А в е [ 0,1 ] , д ^= Q j и Q j | > 0.

j =1

Функционал с переменным шагом интегрирования представим в виде

k

1x )=X (x )

J = 0

Сначала построим вспомогательный точечный функционал для построения функционалов l ' ( x ) :

l ' (x ) = H8(x - hs h m C^J ) 5 ( x - h j Y ) h_j, s = 0, 1, 2, к , k j - 1,

V = 0

удовлетворяющих условиям:

l ' ,x aj = 0, a = 0,1, к , m.

Отсюда коэффициент C s ( j ) определяется из систем:

/ x a +1

Вычисление показывает, что

C ^)- h

a 0,1, „., m = s 0, 1,

( - 1 ) m -M n - 1 ) к ( п - m ) У ( m - у ) ! ( n - У )

■ ■, ^k j ^{- 1.}

^где n = sh = ' <  1, s = 1, 2, к , k j - 1. h k

Обозначим через t(ь и t(2) соответственно левые и правые концы интервалов, j = 1, 2, к, к.

Суммируя функционалы по h_yр _eQ и s , где

m s' (j) = XC' ( j’5 (x-hj(P + Y))hj. имеем

Y = 0

^{( ( 2 )}

t j m k j ¹

^l j ^{( x} ) = X XX ^{C j} ) ⁵ ( x ^- j ^{p +} y ) h j ) h j P = t (') Y = ^{0 s} = ⁰

t ^{( 2 )} + m - 1

X hD =j)5 (

h p = t

x

- j ),

к m K j 1

XX Cs (j )• tj1'5 hjP <( m -1) hj+1j1,

Y = 0 s = 0

где

De (j )=^      1-

t'j ^{2 )}+ m - 1 - в

X у=0

tj1 + mhj < hje < t(2), kj-1

X Cm, _, (j), t j2|< hjP < tj2| + mhj.

s = 0

Искомый функционал (1) построен.

Особенность этого функционала заключается в том, что он аннулирует точечные функционалы по малым участкам Г t ^{( 1 )} , t ^{( 2} ) ! и заменяет их функционалами с шагами h j .

Рассмотрим одномерный случай.

Пусть F ( x ) - модельная функция, характеризующая свойства подкласса функций B_F = { f _e C ^m } , удовлетворяющая для всего подкласса B_F условиям

|f ^{( m} )| <  F ( x ) на отрезке [ 0,1 ] , x = ф ( t ) - непрерывная дифференцируемая функция ф ( 0 ) = 0 и ^ ( 1 ) = 1 и t = t ( x ) - обратная функция к функции x = ^ ( t ) ;

Пусть отрезок

t ( 0 ) = 0 и t ( 1 ) = 1 .

[ 0,1 ]     разбит на части    [ х _в , х _{в + 1} ],

в = 0, 1, . , N ,

x0

= 0 <  x <  x 2 <. к <  x_N = 1.

Очевидно,

( в + 1 )    ( в )    / в + 1 ) 1     ( 1

• Х „₊1 - Xr P l   =- ^ 1      P l = — + О — при N ^^

• ^{в + 1 в} I N 7 I N )    I N ) N   I N )

и max |f(m)(x)|< maxF(x) F =xp+1) + о(1) Ffф(^^| L Хв, Хв+1J                 д в                                       ^ \ N 77

Рассмотрим интеграл и квадратурную формулу

1                   N -1                N -1 ^Х в - 1

J (f )=J f (x) dx=Z J (f )=Z J f (x)dx

0                  j =1               j =0 Х в

и

N -1                                                                           z^x

$(f )-ZS,( f)                                          (2)

j =1

^{+ 0 (1)} .

с остаточным членом

N - 1

J ( f ) - S ( f ) = Z B 0 ma^x j = 1      ^{x ед} в

I f ⁽ ™ ) ( Х )| h ™ ,

где h = — .

N

В результате преобразований получаем

d

^dt l ( t '( ^ ) ) m + ¹

F (_ф ) | = 0 или F ⁽ ^ ) ( ^ ' ⁽ t ) ) m + ¹ = ^const .

Общее решение этого уравнения зависит от двух произвольных постоянных C ₀ и C ₁ .

В формуле (3) переходим к старым переменным x :

[ t '( x ) J      F ( x ) = C ₀ или t '( x ) = C ₀ F^{m + 1} ( x ) .

Отсюда имеем x1

t ( x ) = C ₀ J F^{m + 1} ( x ) dx + C 1 .

Значения постоянных C ₀ и C 1 определяются из начальных условий t ( 0 ) = 0 и t ( 1 ) = 1.

Решение уравнения (3) принимает вид:

x 1

t ( x ) =

J F^{m + 1} ( x ) dx 0

J F^{m + 1} ( x ) dx

.

Из приведенных выше рассуждений следует следующая теорема.

Теорема 2. Если f e B_F c W™, x = ф ( t ) - непрерывная дифференцируемая функция,

ф ( 0 ) = 0 и ф ( 1 ) = 1 и t = t ( x ) - обратная функция к ф ( t ) , t ( 0 ) = 0, t ( 1 ) = 1 и sf = ^ $ f - j =1

квадратурная формула с остаточным членом

^R = J [ ^ ' ⁽ t ) ] ^B 0 ^F [ ^ ⁽ t ) ] ^{dt + 0 (1)} ,

N0

то при N →∞ асимптотически оптимальное распределение узлов x β формулы (2) выражается формулой (4).

Формула (3) дает равенство оценок погрешностей на элементарных отрезках интегри рования при оптимальном распределении узлов.

Такой подход позволяет оценить функционалы погрешности на малых участках, в этом заключается отличие от работы Л.В. Войтишек [2].

Рассмотрим n -мерный случай.

Построенные функционалы используются для вычисления n- кратных интегралов для n- мерного куба и в этом направлении вычисления интегралов обобщают исследования Л.В. Войтишек.

Интеграл по кубу ∆

сводится к вычислению интегралов

1         1                1

j p( x) dx = j dx1 j dx 2 .kJ p( x1, x 2,.

x n ) ^dx n .

A                 0     0          0

По индукции имеем

NNN j ф( x)dx = g t Kg Нф( h[L h^K. hen ).

A               в 1 =0 в 2 0 = в п 0 =

Пусть X = h и

N j p( x) dx ^g HDPT( he) + Ng’pph he) + g hDвф( he), о             в=0 = =           в m             в N-(m-1)

β где D β = ∑ C γ

Y =0

и Cγ определяются из системы tcyYa = -Ц, a =0, 1, ., m +1.

Y "5         a + 1

По методу С.Л. Соболева построим кубатурную формулу с симметричным пограничным слоем для куба A :

j p ( x ) dx a f L KZW- D h pв h в 2 , к h P n )

в 1 =0 в 2 0 = в п 0 =

∆

Приступим к построению кубатурных формул с переменным шагом интегрирования для п- мерного куба.

Пусть A - n-мерный куб, ^ = h,   Aj e A - прямоугольные n-мерные параллелепипе ды, j = 1, 2, ..., к, с вершинами в узлах решетки с шагом h с длинами ребер bj - aj, j = 1, 2, ..., к, где aj и bj принадлежат решетке с шагом hj.

Пусть A= A \ uA j и 1^hh ( x ) - функционал с симметричным пограничным слоем для A .

Построим точечный функционал с пограничным слоем путем суммирования точечных функционалов, построенных выше, с шагом h j вдоль положительных направлений осей координат. В результате получаем односторонний пограничный слой вдоль Aj - n-мерного параллелепипеда.

Тогда искомый функционал l ∆ ^h ( x ) имеет вид

k

lA(x) = £a(x)-t1 Aj (x), j=0

где l h ( x ) - функционал с шагом h j с точечным пограничным слоем вдоль координатных осей для области A j .

Минимизируя норму этого функционала в пространстве W_p^m ( E_n ) при определенных условиях, указанных в лемме 1, находим лучший размер сетки.

Таблица 1

Результаты вычисления интеграла JJ ( x 2 + x 2 ) dx 1 dx 2

Точный результат – 2/3.

m	h	Результат	Погрешность
2	0,01	0.66666699999	0.00000033332
2	0,0001	0.66666666658	0.00000000009
3	0,01	0.66666666666	0
3	0,0001	0.66666666644	0.00000000023
4	0,01	0.66666666665	0.00000000002
4	0,0001	0.66666666663	0.00000000003
5	0,01	0.66666666663	0.00000000003
5	0,0001	0.66666666660	0.00000000006
10	0,01	0.66666666672	0.00000000006
10	0,0001	0.66666666659	0.00000000007

Таблица 2

Результаты вычисления интеграла J ' ( e x ' + e^x 2 ) dx ' dx 2

m	h	Результат	Погрешность
2	0,01	3.43656396630	0.00000030936
2	0,0001	3.43656365160	-0.00000000529
3	0,01	3.43656365780	0.00000000088
3	0,0001	3.43656365130	-0.000000000567
4	0,01	3.43656365690	-0.00000000002
4	0,0001	3.43656365150	-0.00000000541
5	0,01	3.43656365700	0.00000000004
5	0,0001	3.43656365120	-0.00000000570
10	0,01	3.43656365700	0.00000000008
10	0,0001	3.43656365260	-0.00000000427

Точный результат - 2( e - 1).

По результатам расчета определенных интегралов с использованием оптимального выбора размера сетки в зависимости от поведения функции видно, что погрешность появляется в 7-10 знаках после запятой.

Статья выполнена при поддержке государственного задания МОиН РФ высшим учебным заведениям на 2012 -2014 гг. на выполнение НИР, регистрационный номер проекта: 1.926.2011.