Оптимизационная задача разбуривания газовых месторождений одним предприятием

Наличие полезных ископаемых в России - важный фактор ее экономического благополучия. Она. является одним из крупнейших сырьевых экспортёров, который обеспечивает ресурсами не только свои территории, но и весь мир. Во многих отраслях наша, страна, занимает лидирующие позиции, имея огромную долю по добыче ресурсов среди остальных стран. Роль российских природных ресурсов очень велика для всего мира. Это подтверждается тем, что на. фоне сложной геополитической ситуации, установившейся в последние годы, новые введенные пакеты санкций со стороны ЕС, США и других зарубежных стран приводят к серьезным инфляционным процессам на. мировом сырьевом рынке. Данное

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023

санкционное давление принесло значительно больший вред инициаторам такой политики, чем самой России. Это говорит об неэффективности санкций и их пересмотру.

Одним из важных полезных ископаемых является природный газ. Природный газ -экологически чистый минерал, представляющий собой смесь газообразных углеводородов природного происхождения и состоящий в основном из метана с добавлением других алканов [1]. Иногда в его составе может присутствовать некоторое количество углекислого газа, азота, сероводорода и гелия, вследствие чего природный газ является чрезвычайно ценным сырьем, из которого можно выделить отдельные компоненты или более простые примеси.

Основными потребителями природного газа на российском рынке являются электроэнергетика - 39%, жилой сектор (население) - 11,5 % и коммунально-бытовой сектор -8,5%. Это в сумме почти 60% потребляемого газа. Следующий по значимости потребитель - промышленность (более 30% потребления). В раздел «другое» (примерно 10,5%) можно отнести потери газа при транспортировке по газопроводам, при инцидентах на газопроводах и оборудовании. Источником потерь является технологическое оборудование, используемое для его транспортировки, которое вследствие износа или устройства при функционировании имеет утечки газа.

В жилом секторе важнейшей областью применения газа является отопление. На втором месте по значимости находится нагревание воды. В частных домах обычно используют системы отопления на основе газовых воздушных печей-калориферов. Газ также применяют в бойлерных установках. Такие установки производят пар или горячую воду для циркуляции в радиаторах или трубах отопления. В теплых районах также используют комнатные газовые обогреватели. Усовершенствование бытовых газовых плит для приготовления пищи осуществляется за счет использования закрытых горелок и многофункциональных духовых шкафов.

С каждым годом возрастает потребление энергоресурсов сельским хозяйством страны. Основные потребители газа в сельскохозяйственном производстве - животноводство и растениеводство, подсобные и коммунальные хозяйства, склады сельскохозяйственных продуктов. Сжиженный газ незаменим при отоплении коровников, конюшен, для работы зерносушилок. Газ помогает при хранении и транспортировке агропромышленной продукции. Крупными потребителями природного газа в сельскохозяйственном производстве являются тепличные хозяйства, нуждающиеся в энергии для отопления, подогрева поливочной воды и получения пара.

Для транспортировки газа и газового конденсата применяются железнодорожный, водный, автомобильный и трубопроводный виды транспорта. Попутный (нефтяной) газ, отделяемый из нефти, поступает по трубопроводам на ГПЗ, где из него выделяют пропан и бутан. Далее он направляется в систему бытового или промышленного газоснабжения городов и поселков. С 1950-х годов получил распространение способ морских перевозок сжиженного природного газа (метана) в специальных танкерах - метановозах. Метан составляет основную часть природного газа. Если метан при атмосферном давлении охладить до температуры -162 °C, то он становится жидким. Трубопроводный транспорт является основным видом внутри континентального транспорта природного газа. По трубопроводам (газопроводам) газ в газообразном состоянии транспортируется после компримирования (сжатия) компрессорами.

Так как природный газ (очень часто его также называют голубым топливом) залегает на достаточно большой глубине под землёй - 1-6 км, то для его добычи требуется выполнение целого ряда инженерно-технических мероприятий. В земных недрах газ располагается в пустотах, соединённых между собой трещинами, причём находится он там под очень высоким давлением, значительно превышающим давление атмосферы на поверхности земли.

Для добычи природного газа используют скважины. В результате бурения скважины (для выравнивания давления и увеличения потока обычно бурят несколько равномерно расположенных скважин на территории месторождения), выкладываемой затем обсадны- ми трубами, залитыми снаружи цементом, возникает естественная тяга. Тем самым ценнейшее природное топливо выходит наружу, где подвергается очистке и дальнейшей поставке потребителям.

В отделе математических методов регионального программирования ФИЦ ИУ РАН на протяжении многих лет велись работы по построению и совершенствованию моделей разработок газовых месторождений; решались всевозможные оптимизационные задачи [2-4]. К интересным задачам с использованием ограничений на пропускную способность трубопроводов относятся максимизация накопленной добычи и максимизация длины полок [5]. В качестве математического аппарата решаемых задач использовался принцип максимума Понтрягина в классической формулировке [6, 7]. Также применялись теоремы существования оптимизационных задач [8].

Однако до сих пор при совершенствовании моделей не учитывались ограничения на бурение и строительство новых скважин, хотя основные огромные затраты как раз ложились именно на эти работы. Настоящая статья исправляет имеющийся недостаток.

1. Построение модели группы газовых месторождений, постановкаи решение оптимизационных задач

Прежде чем приступить к построению модели, мы вводим следующие обозначения, принимающие вещественные значения:

Т - горизонт планирования;

t - текущее время (0 <  t <  Т );

Qi(t) - текущая добыча газа на Ам месторождении;

qt(t) - средний дебит добывающих скважин в момент t на Ам месторождении;

j0 - начальный средний дебит добывающих скважин на Ам месторождении;

й- (t) - количество скважин, вводимьix в строй в единицу времени на Ам месторождении;

тц - максимальные возможности по вводу в строй новых скважин;

N(1) - действующий фонд добывающих скважин в момент t на Ам месторождении;

N- - начальный фонд добывающих скважин на Ам месторождении;

• V-(t) - извлекаемый запас газа, оставшийся в залежи в момент t на Ам месторождении;

• 7-0 - начальный извлекаемый запас газа на Ам месторождении;

• с- - стоимость строительства одной скважины на Ам месторождении;

• hi - средняя глубина залегания Ай залежи;

• 7 - удельные капиталовложения в расчете на единицу длины скважины;

• Vi(t) - механическая скорость бурения скважин одним предприятием на Ам месторождении в момент t;

• г - максимальная механическая скорость бурения скважин одним предприятием;

К - капиталовложения, выделяемые на строительство новых скважин в единицу времени.

Во введенных обозначениях используется индекс г, который принимает целочисленные значения в промежутке от 1 до т.

Мы делаем следующие аппроксимирующие предположения:

• •    группа состоит из т месторождений;

• •    каждому месторождению соответствует одна залежь;

• •    в любой момент t газовое месторождение покрывается равномерной сеткой добывающих скважин;

• •    управление динамическим процессом разработки месторождения осуществляется за счет выбора скорости бурения скважины Vi(t), удовлетворяющее ниже описанному ограничению (6);

• •    бурение скважины, ее обустройство и ввод ее в разработку месторождения происходят в один и тот же момент времени;

• •    весв извлекаемый запас газа может быть добыт с помощью любого числа скважин;

• •    дебиты всех скважин на месторождении одинаковы;

• •    резерв скважин не создается;

• •    бурение месторождений предприятием осуществляется последовательно и в дальнейшем к работам на этих месторождениях оно не возвращается.

Стоимость строительства одной скважины и прирост их количества в момент t на г-м месторождении определяются по формулам с г = Фд,                                          (1)

«i(t) = "^ .                                  (2)

Щ

Опишем модель разработки группы газовых месторождений с взаимовлияющими скважинами [5-7]. Между переменными устанавливаются зависимости, представленные в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Nг = Ui(t) = "Ж,(3)

^г а9

Ф = - ^ аг (^Ni^t) = -«^(tW^t),(4)

• V(t) = -Qi(t) = -аi(t)Ni(t)(5)

при ограничении

0 < йi(t) <  йг или

0 < "i(t) < "(6)

с начальными условиями

V > 0,(7)

аг > 0,(8)

N0=0.(9)

В описании дифференциального уравнения (4) мы ввели еще одно дополнительное обозначение:

«г = | .(

Капиталовложения в обустройство месторождений осваивается одним буровым предприятием и они не могут превышать максимальные возможности буровых установок, поэтому тт к = У^ с й (t) = д У^ "г (t) = Д".

г=1

Если в действительности капиталовложения меньше д", то мы уменьшаем на соответствующую величину максимальную скорость буровых установок ", поэтому считаем справедливым выполнение последнего соотношения. Отсюда получаем

т

Ж "г^(t) = ". г =1

(И)

Из (3) и (4) с учетом (2), (8) и (9) приходим к следующим формулам:

Ni(t) = Г тц(Ө)йӨ = Г <(

J о

Q0(t) = Qi exp[—а0 [ (t — Ө)п0(Ө)гіӨ] = q0 exp[—а0 [ (t — Ө)йӨ].(13)

J 0                                  00di

Из (12)и (13) следует N₀(t) > 0 и Q₀(t) >  0.

Очевидно, что максимальная накопленная добыча газа за фиксированный период [0, т ] бурения г-го месторождения достигается при Ui(t) = и. В этом случае (12) и (13) с учетом (8) и (9) представляются в следующем виде:

Ni(t) = -t,(14)

di

U

Qi(t) = Q0 exp( —«0 2^ Y(15)

Текущая и накопленная добыча газа описываются формулами

Qi(t) = Qi ^exp[—а0^У(

[* Qi(Ө)dӨ = Г Qi(Ө)Ni(Ө)dӨ = Q0 — Qi(t) = 4 [1 — exp(—а0 -Ц-12)].(17)

J 0            Jo                     a0       a2hi

Задача 1. Фиксируем последовательность бурения m месторождений. Время начала бурения первого месторождения обозначаем через т = 0. Время окончания - ті. Временная продолжительность бурения скважин первого по порядку месторождения равна ті — щ. Если ті — Т0 = 0, то данное месторождение не разбуривается и, соответственно, не разрабатывается. Аналогичная связь устанавливается для остальных месторождений. Время начала бурения последнего m-ro месторождения равно величине т_т-і, время его завершения - т_т = Т. При этом выполняются соотношения

m у^ (ті — ті-і) = Т и ті > ті-і, г = 1, 2,...,m.                    (18)

i=1

Добыча на каждом разрабатываемом месторождении начинается с момента начала бурения скважин. Темп бурения скважин на гі-м месторождении в течение всего временного периода т.1 — т і _1- і постоянен и равен и. По завершении бурения скважин добыча на месторождении продолжается в режиме истощения, вплоть до срока окончания планового периода Т. Для остальных г = гі месторождений скорость бурения скважин г. (t) в промежутке от ті1—і до тг1 равна нулю. Требуется найти максимум накопленной добычи по группе газовых месторождений на множестве всех последовательностей бурения месторождений:

„ т m

/       Q_i(t)N_i(t)dt ^ max.                                (19)

^{J 0} і =і

Для фиксированной последовательности бурения месторождений применим теорему Вейерштрасса, согласно которой на замкнутом ограниченном множестве непрерывная функция достигает своего максимального значения. Множество всех переборов последовательностей бурения месторождений конечно, поэтому решение задачи 1 существует.

Подсчитаем количество всевозможных ситуаций, которые могут возникнуть при решении данной задачи. Предположим, что при решении задачи на максимум накопленной добычи разбуриваются последовательно все т месторождений. Число таких порядков (перестановок) равно ттг!. Предположим, что из ттг месторождений разбуриваются только ттг — 1, тогда количество таких последовательностей равно

(т — 1)!т = ттг! = Г(т + 1), где гамма-функция, обладающая следующим свойством: Г(т+1) = тГ(т), задается несобственным интегралом:

Г (т)=Г(т, s = 0) = [ t^m-1e^-t dt.

J 8=0

Предположим, что разбуриваются к месторождений (к = 1,2,...,т). В этом случае количество последовательностей вычисляется по формуле cm к! =

т!   _ Г (т + 1)

(т — к)!   Г(т + 1 — к)

Совокупное количество всех порядков ввода месторождений задается формулой m       ,

Ет!

",--------7Т7

(т — к)!

= еГ(т + 1,1)

— 1 = е^ t^me^-t dt — 1.

Вычислим количество всех возможных последовательностей бурения месторождений в зависимости от конкретного числа залежей. Для этого воспользуемся формулой (20):

П(1) = 1; П(5) = 325; П(10) = 9864100; П(15) = 3.554627472075 • 1012.

Мы наблюдаем резкое увеличение количества порядков ввода месторождений с увеличением числа месторождений. Поэтому прямой подход решения задачи 1 приводит к громадным вычислениям. Действительно, для каждой последовательности ввода месторождений решается оптимизационная задача. Далее мы сравниваем результаты решения оптимизационных задач на множестве всех последовательностей ввода и выбираем максимальное значение. Для относительно небольшого множества месторождений, равного 15 шт., нам придется перебрать более трех с половиной триллионов вариантов и не только перебрать, но и решить для каждого варианта задачу на максимум совокупной накопленной добычи.

Простейшие алгоритмы поиска оптимального решения состоят в следующем. Чтобы найти глобальный максимум, требуется сначала просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область и вычислить все локальные значения и потом выбрать из них наибольший. Другим вариантом будет простое сканирование с вычислением значений функции, позволяющее выделить из нее подобласть наибольших значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности.

Численное решение данной задачи методом перебора вариантов практически не возможен. Следовательно, необходимо полностью провести аналитическое исследование задачи 1 и найти реалистичный алгоритм численного решения поставленной задачи. Предлагается свести поставленную задачу 1 к задаче оптимального управления. Для этого необходимо ослабить некоторые сделанные выше предположения к постановке задачи 1. Буровое предприятие одновременно может работать на нескольких месторождениях. Возможен также временной перерыв в бурении месторождений. Во время этого перерыва предприятие работает на других месторождениях.

Сформулируем задачу оптимального управления.

Задача 2. Для системы дифференциальных уравнений (3) и (4) с начальными условиями (7) - (9) требуется найти т-мерную вектop-функцию v(t), удовлетворяющую ограничениям (11) и

^(t) > 0, г = 1, 2,...,т, (21) и соответствующую ею траекторию (q(t), N(t)), доставляющие максимальное значение функционалу (19). Правый конец оптимальной траектории считается свободным.

Оптимальное управление в задаче 2 существует. Это следует из теоремы, приведенной в [8, S 4.2].

Для дальнейшего исследования нам будут полезны следующие обозначения:

аг = Ь( Q);

hi

г^т           1          «0 T

к =    (T — t)vdt = -vT²; ^г = т~    (T — t)v_i (t)dt.

J 0                 ^{2              h}i 00

Будем считать, что месторождения пронумерованы в порядке убывания величин аг. Предполагаем, что все аг различны.

Введем в рассмотрение множество всех месторождений П = {1, 2,..., т}.

Теорема 1. Решение задачи 2 в общем случае не однозначно. Мномсество П разбивается на два непересекающихся под множества, одно из которых момсет быть пустым. Такое разбиение существует, и оно определяется единственным натуральным числом ^Т (1 <  Т < т):

а) для г, 1 < г < I, значения Ti(t) не определены; известны только их интегральные соотношения

̃︀

I

̃︀

"г = Е

hk

I

k=1

«k

^{к +}    ~0 ^(ai ^{— a}k )

«0

> 0;

k=1

о) для j, I <  у <  т,

Uj (t) = 0 и

к + ^ «0 (aj — ak ) < 0.

Доказательство. Поясним подробнее формулировку теоремы 1. Разбиение группы месторождений на два непересекающихся подмножества означает следующее. В первом подмножестве содержатся месторождения, подвергающиеся разработке. Оно не пусто, поскольку на всю группу в каждый момент выделяются ненулевые капиталовложения. Во втором подмножестве содержатся месторождения, исключенные из разработок. Оно может быть пустым. Например, группа, состоящая из одного месторождения, содержит только одно непустое подмножество. В любом случае, несмотря на возможные отрицательные технологические и экономические характеристики, единственное месторождение из первого подмножества будет разработано.

• 1)    Для решения задачи 2 мы используем принцип максимума Понтрягина [6, 7]. Выпишем гамильтониан, сопряженную систему и условия трансверсальности:

Н = Е (—MMq + Xi U + NiQi) k=i

Фi = (M — 1)Ni,(25)

X i = №« — 1)Qi,(26)

xi(T) = Xi(T) = 0.(27)

После несложных преобразований (25) с учетом (4), и (27) получаем

(■фга® — 1)Qi = const = —Qi(T ).

Отсюда и из (26), (27) вытекает

Xi (t)= Qi(T )(Т — t).(28)

С учетом (28) получим условие максимума гамильтониана по управлению при v = v в

форме

2Е т            ™ тята Е    vi(t)=max ^    щД).                    (29) k=1 h         v k=1 h

Таким образом, необходимое условие оптимальности в рассматриваемой задаче принимает вид (29) при ограничениях (11) и (21).

• 2)    Исследуем решение (29) задачи 2. Предположим, что для некоторого 21 выполняется строгое неравенство

7i i (T)            7 I

hii >  max hi .

В этом случае из (29) следует, что максимизирующее гамильтониан управление V имеет лишь одну ненулевую компоненту P.1 (t) = v, остальные же P.(t) = 0. Экономически это означает, что бурение происходит только на одном 21-м месторождении. Легко показать, что для достаточно большого периода планирования [0, T] такое управление не является оптимальным. Действительно, пусть T таково, что неравенство

для некоторого

² 2 =

2 1 выполняется

a. i

-I /7⁰i ^hi2.

^a.2 = ^ln( 0 ,  ) <

4.2 ^hi 1

a0 vT2

hii 2 .

В таком случае из (31), равенств (4), (12) и

T ²     f^T

"T= /0

— t)vdt = к

следует

Qii^(T )     ⁷.                              ^v

------= h1 ^exP^[-ai i J^{(T — t)} _h^,d'

hii

_ 7 °    _r о vT²

hi i ^{eXp[ Qi1} 2hi i ^]

<

⁴i 2 = ^hi 2

7. 2 (T ) hi 2 ’

что противоречит допущению (30).

Рассмотрим множество П = {1, 2, ...,т} и его подмножества, некоторого подмножества w справедливо условие

Предположим, что для

7^—- = const_iG" (2) = exp(A") > max 711 —1. ^hi                                    1 - "  h^

Из (11), (21), (29), (32) следует, что Pj (t) = 0 для j E П/w, т.е. ц = 0. В то же время Pi(t) для 2 E w однозначно не определяются, ясно лишь, что ц. > 0. Учитывая это, можно, проинтегрировав только равенство (11), вывести условие

E ^hi

T Ц. = К. a i€"   6

Из (13) получаем

q.(T ) = 7 0 exp(—ц.) = hi exp(a.

-

Ц і ) 2 E w.

Откуда

Ці = ^ai ^—

1 (Pi (T A ln(——) = ai hi

— A".

Наконец, из (33) и (35) следует а" = (Е iE"

hi x-1 /V^ hi

""О )   ( aa

1iE"

— к) .

Подставляя (36) в (35), получаем формулу для определения ц. = (Ео0 )-11У a0 (a-—a^ ) + »]■ kE"  ^    kE" ^

Заметим, что условиям (37) могут удовлетворять различные управления v.(t), 2 E w.

• 3)    Выясним, какими свойствами обладает ш = ш , доставляющее оптимальное решение. Введем в рассмотрение величины

  /і = "  — А^ш,                                  (38)

которые будем формально вычислять для всех г Е И. Замет им, что /І = щ для г Е ш. Из определения (38) следует

^ — ^ = "s — "ч, и эта разность не зависит от ш, т.е. числа /і образуют убывающую последовательность при любом ш.

Пусть для некоторого Д Е И/ш выполнено нестрогое неравенство /8> 0.

УС, (Т)

Из (34), (35), (38) вытекает неравенство -^— = Д1 = ехр(ац) > ехр(Аш), которое противоречит предположению (32). Следовательно:

/^ < 0, ] Е И/ш.(39)

Пусть для некоторого г₁ Е ш выполнено неравенство /^ < 0. Это предположение противоречит условию (21), и поэтому

/_г^ш > 0, г Е ш.

Свойства (39), (40) означают, что ш состоит из некоторого количества I (пока еще неизвестного) первых по порядку номеров из Ии позволяют записать соотношения (37), (39) и (40) в форме (23), (24). Далее в этом параграфе будем рассматривать подмножества ш только такого вида.

• 4)    Проанализируем изменения величин /і, происходящее при переходе от ш' = {1, 2,..., (I — 1)} к ш" = {1, 2,..., I)}. Из (36) я (38) получаем

м" = (У )-1 кЕ и' + к —") ^ )]• ш> 0 Qi Qi k=1 ^k k=1 ^k ul

Откуда следует, что для г Е ш'' неравенство /і’ > 0 влечет за собой /Д’ > 0, а из неравенства /і < 0 вытекает /і < 0. Положив в <формуле (41) г = I. получим, что /^ш и /^ отрицательны или неотрицательны при любом значении I.

• 5)    Обозначим через d(ш) количество неотрицательных чисел среди величин /і. Из (41) следует, что d(ш) есть неубывающая функция от |ш| (т.е. количество элементов в подмножестве ш). Установленные выше свойства (39) и (40) можно записать в виде

I = |ш| = d(ш) = d.

Докажем.что ш существует. Дейетвптелыю. в противиом случае нашлись бы такие ш' к шн. что d(ш') > |ш'| = I = |ш''| — 1 > d(ш") — 1.

Из левого и правого неравенства вытекают взаимоисключающие следствия: /Д > 0 и /f <  0.

Пусть ш найдено. Очевидно, что /~ > 0. а /~ < 0. Для подмножества ш = ш/l получим, как доказано в пункте 4, что /~ > 0, т.е. |ш| < d(Ш) и поэтому ш не может быть оптимальным. Аналогично, переходя к подмножествам с еще меньшим |ш|, можно пока-̂︀ зать. что |ш| < d(ш). ее ли |ш| < I. Для подмножества ш = ш U(Z + 1) получаем, что /^ү < 0. т.е. |ш| > d(w') и поэтому ш не может быть оптимальным. Аналогично показывается, что |ш| > d(ш), если |ш| > I. Итак, мы пришли к выводу о том, что оптимальное подмножество ш, а значит, число I, определяются единственным образом.

• 6)    Заметим, наконец, что те управления V(t), о которых мы выше говорили как об «оптимальных», удовлетворяют лишь необходимым условиям оптимальности.

Для того чтобы доказать, что они в самом деле оптимальны, заменим рассматриваемую задачу Лагранжа эквивалентной ей задачей Майера. Действительно, из (4) получаем т m          т 0 т

£ <№)« = £ 0   H,(t)]4t = £v«[1 -     ].(42)

0 2 = 1             2 = 1 qt °0                 2 = 1^

Как следует из (13) и из предположения (32) величины qt(Т ) при г Е ш имеют одни и те же значения для всех возможных видов управлений, удовлетворяющих условиям (23). Для j Е П/ш, Vj (t) = 0, следовательно, Vj(Т ) также определяются однозначно.

Так как оптимальное управление в задаче о максимизации накопленной добычи существует и все управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, доставляют функционалу (19) одно и то же значение, мы можем заключить, что эти и только эти управления являются оптимальными.

Теорема доказана.

• 7)    Рассмотрим вопрос об отыскании подмножества ш. Ес ли С(П) = m или С({1}) = 1, то вопрос об отыскании ш решей, ш есть Q ил и {1} соответственно; если же ни одно из двух равенств не выполняется, то можно предложить следующую итерационную процедуру.

Находим ші, такое что |ші| = d(fi). Ес ли С(ші) < d(fi), то находим такое ш2, что |ш2| = d(wi ) и т.д. до тех пор пока не придем к ш = ш_п, обладающему свойством (С(ш_п) = d(w_n-i). «Проскочить» ш мы не сможем, так как если бы существовали такие ш₈ и ш₅+і, что

<ш8+і) > |ш5+і| = I = <1(ш8) < |ш5|, то из левого и правого неравенств вытекали бы взаимоисключающие следствия v^i > 0 и v)+i < 0. Можно начинать не с П, а с {1}, затем перейти к ші, таком у, что |ші| = С({1}) и т.д., пока в конце концом не придем к тому же ш.

Описанная процедура представляет собой, в некотором роде, аналог метода Ньютона. Можно предложить и другую процедуру, аналогичную методу половинного деления. Пусть С({1}) > 1, С(П) <  m. Поло жим |ш11 = [ ^т2+1 ].

Если С(ші) <  [^m2+1 ], то можно заключить, что 1 <  I < [т^], если же С(ші) >  [^m+1 ], то [ ^m+¹ ] < ^V

• 8)    Необходимо заметить, что условия теоремы 1 выполняется при различных управлениях. Например, можно осваивать сразу I первых месторождений со скоростями буровых установок V₂(t) = (д^ или, наоборот, все буровые установки вначале работают на одном месторождении (V₂₁ (t) = Г, Vj (t) = 0, 1 <  г1 <  I, j = г1), затем на другом, на третьем и т.д., причем порядок следования произволен. Оптимальное управление v(t) может, очевидно, иметь бесконечное число разрывов, т.е. не быть кусочно-непрерывной функцией (такая политика освоения месторождений, разумеется, совершенно нереальна, что указывает на границы применимости модели).

• 9)    Представляет интерес исследовать некоторые предельные случаи рассматриваемой задачи, что делается в следующих следствиях.

Следствие 1. Существует Т ** такое, что ш = П пр и Т > Т **, т.е. при достаточно большом периоде планирования осваиваются все месторождения. Это утверждение следует из непрерывности vp(Т) как функции Т и того факта, что lim vр(Т) = то.

тх ²

Следствие 2. Суще ствует Т *, такое, что ш = {1} пр и Т < Т * т.е. при достаточно малом периоде планирования осваивается лишь одно первое месторождение.

Это утверждение вытекает опять же из непрерывности v^ (Т) как функции Т и того факта, что lim v{1}(Т) = ln 7— ln 71 = v{1}(0) < 0 при г > 1.

Т ^0 ^г              һг      Һ1     ^г

Подчеркиваем, что в этом случае решение становится однозначным:

■1 (t) = v, Vi (t) = 0, г = 1.

• 10)    Пример. Проиллюстрируем полученные результаты на примере системы, состоящей из двух месторождений. Положим

70      70

О1 = ln f- > ln f- = o₂.

^Һ1       ^Һ2

В задаче о максимизации накопленной добычи ранее введенные величины принимают вид

П = {1, 2},

X^Q = (

«0

Ж1(Т) = Щ, Х-(Т) = Ц2, к = -vT2, 2       ’

А« =ln < — 4-«0Т2, Һ1    2Һ1 1 ,

+ Һ2 )-1[ ^ ln 70 + Һ2 ln 70

«0    «0 Һ1   «0 һ ₂

—

2 vt ²],

V ^{1^}- ^V «0_Т2   {1}_

'    =2Һ1 «1Т , V2 =

—

70      70

(ln — ln ?) +

Һ1      Һ2

—с^Т² 2Һ- « ,

О _ /Һ1 . Һ2 х-1 Һ21_„21

v1 = Vo ' О)   [~0(01 — О2) + QvT ],

«0   «0    «22

О ,Һ1 Һ2 х_1г Һ1,          х1__ v2 = (—о '--о)   [--О (О1 — О2) + ovT ].

«0   «0      «02

При

Т < Т* = Т** =  JL(in 70 — ln 72 ), v{1} > 0, v{1} < 0,

У V«0   Һ1Һ2

т.е. ш = {1}. Оптимальное управление определено однозначно: v1 (t) = v, v2(t) = 0. Максимальное значение функционала равно !ф0 [1 — exp(—«0o^ Т2)]. При Т > Т* vQ > vQ > 0, ш = П, т.е. осваиваются оба месторождения. Оптимальное управление определено неоднозначно, в то же время максимальное значение функционала определено точно и оно равно

У0^{{1—exp[—(} —¹ +--² ) ^1[ —^{2 (о}1^—о2^{) +} -■и'^{2 2]]} +} І2^{0{1—exp[—(} —¹ +--² ) ^1[--1 ^(о1^—о2^{) +} хИ^Т2]]}.

«0  «0    «0          2                      «0  «0      «0          2

В этом случае возможны различные варианты оптимальных траекторий и управлений. Оба месторождения могут буриться параллельно со следующими скоростями буровых устано вок:

v1(t) =

2vОһ1 « 0 т ²

«2 (t) =

2vОҺ2 Д5Т^.

Вначале может буриться первое месторождение, а затем второе, и наоборот.

• 11)    Множество допустимых траекторий для задачи 1 является некоторым подмножеством допустимых траекторий для задачи 2. В это подмножество включены некоторые

2.    Заключение

оптимальные траектории, относящиеся к задаче 2. Значит, они являются также оптимальными траекториями для задачи 1.

Процедура поиска оптимальных решений состоит в следующем. В соответствии с теоремой 1 ищутся все оптимальные траектории для задачи 2, вычисляются их основные параметры и однозначно определяются две подгруппы месторождений: подгруппа разбуриваемых и подгруппа неразрабатываемых месторождений. Среди найденных оптимальных элементов выбираются все допустимые траектории, относящиеся к задаче 1. Они являются оптимальными как для задачи 1, так и для задачи 2. К ним относится любой порядок разбуривания месторождений. Максимальное значение функционала не зависит от последовательности разбуривания месторождений. Для всех месторождений он одинаков.

Обустройство месторождения требует крупных капитальных вложений, которые в основном ложатся на строительство скважин. Поэтому буровому предприятию целесообразно в соответствии с проектом разработки сконцентрировать свое внимание на выполнение всех работ на одном месторождении. По завершении их передать юридические и другие права эксплуатационному предприятию и перейти к разбуриванию следующего по порядку месторождения.

Возникает вопрос о последовательности выбора месторождений. Оказывается, чтобы просмотреть незначительное количество месторождений, потребуется большое количество переборов. В работе была выведена формула для вычисления количества переборов. Например, для просмотра всех 15 месторождений потребуется перебрать более 3,5 триллионов вариантов. Также для каждого варианта необходимо решить задачу максимума совокупной накопленной добычи на фиксированном временном интервале. Перебор такого большого количества вариантов представляет определенную сложность для современных вычислительных машин. Возникшую трудность можно преодолеть, решив оптимизационную задачу, и на основе полученных аналитических результатов построить вычислительный процесс поиска максимального решения.

Исходная задача состоит в поиске максимальной накопленной добычи на конечном временном периоде для группы газовых месторождений при ограничении на капиталовложения. Разбуривание месторождений осуществляется буровым предприятием последовательно. Предприятие к работам на ранее разбуренных месторождениях не возвращается. Данную задачу предлагается решить за счет поиска решения другой расширенной задачи. Предполагается, что предприятие может разрбуривать одновременно любое количество месторождений. Возможен также возврат к работам на ранее разбуренных месторождениях. Любой допустимый вариант разбуривания месторождений в исходной задаче включен в допустимый вариант расширенной задачи. Обратное не верно.

Расширенная задача является задачей оптимального управления. Используя принцип максимума Понтрягина, решаем ее. Явно выделена подгруппа разрабатываемых месторождений. Оптимальные управления не определены явном виде. Определены лишь их интегральные соотношения. Любое управление, удовлетворяющее интегральным соотношениям, является оптимальным и оно достигает одного и того же значения накопленной добычи. Предложены две процедуры поиска единственной подгруппы разрабатываемых месторождений. Показано, что при небольших периодах планирования разрабатывается только одно месторождение даже с плохими технико-экономическими характеристиками. При больших периодах планирования разбуривается вся группа газовых месторождений.

Результаты исследования расширенной задачи переносятся на исходную задачу. Поэтому любая последовательность разбуривания месторождений, удовлетворяющая интегральным соотношениям, приводит к одному и тому же значению совокупной накопленной добычи. Полученная неоднозначность решения оптимизационной проблемы может быть использована для выбора конкретного варианта, исходя из другого не обязательно формализованного критерия.

Автор выражает благодарность сотруднику отдела математических методов регионального программирования ФИЦ ИУ РАН Бобылеву Вячеславу Николаевичу за помощь в написании статьи и ценные замечания.