Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений
Автор: Осипов Г.С.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 3-3 (66), 2022 года.
Бесплатный доступ
Предложена формальная математическая модель сложного уравнения на базе композиции (свертке) из нечетких соответствий. Сформулированы прямая и обратная задачи (задача нечеткой диагностики). Исследована концепция сведения исходной проблемы к экстремальной, позволяющая гарантированно находить решение обратной задачи. Проведена практическая апробация предложенной методологии анализа и получения решения сложных уравнений в нечеткой обратной постановке.
Нечеткие соответствия, решение сложных нечетких уравнений
Короткий адрес: https://sciup.org/170193239
IDR: 170193239
Текст научной статьи Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений
Введем уравнение вида [1]:
F(X) = 4 °(4-1»(• 44 °(4 °X))...)) = Y
на нечетких соответствиях:
ЯМ m, n L ., X р-^—р-; (m е Mx, n е Nx) - входное соответствие на декар-Mx х Nx ( m , n )
товом произведении множеств M x и Nx* .
A i = A i ( M A х N A ) = jj
M A. х N A.
Ц A ( m , n )
( m, n )
■; ( m е MA , n е NA ) ; ( г = 1, r ) - соответствия на декар
товом произведении множеств MА и NA ;
Я ц4 m, n ) , ,
—р—р; ( m е MY, n е Ny ) - выходное соответствие на декарто- „ м (m,n)
MY х NY \ , / вом произведении множеств My и Ny.
Объект исследования - сложные нечеткие уравнения вида (1).
Предмет исследования - методология синтеза решений уравнений.
Цель - разработка оптимизационного метода решения обратных задач на нечетких соответствиях.
Материал и методы исследования
Прямая задача формулируется следующим образом. Известно входное соответствие X и все действующие на него соответствия A ( i = 1, r ) , требуется определить выходное соответствие Y .
Таким образом, задача (1) раскрывается следующим образом:
Y = F ( X )
Обратная задача принципиально сложна и заключается в том, что при известных соответствиях A. (i = 1, r) и наблюдаемом Y (симптомах) требуется найти входное соответ ствие X (причины) [2].
В этом случае задача (1) преобразуется к виду:
X = F-1 ( Y)
Для упрощения обозначений перейдем к матричному представлению соответствующих нечетких соответствий
Тогда решение прямой задачи (2) тривиально и найдется как композиция нечетких соответствий.
Y = F (X).
Обратная задача в общем случае может не иметь решений или представлять собой сложную комбинацию интервальных решений. Поэтому сведем исходную задачу (3) к экстремальной (оптимизационной) задаче вида:
( D , f ) : f ( x ) = ||F( X ) - Y |P min D = { x e X : x e [ 0,1 ] } Здесь Y -- наблюдаемое соответствие.
Основные результаты и их обсуждение
В настоящее время одной из наиболее практически значимых комбинаций соответствий является классическая треугольная норма ( Max - Min композиция). Поэтому, не умаляя общности исследования применим именно ее.
Как уже отмечалось, решение прямой задачи тривиально и сводится к реализации композиции нечетких соответствий вида (1 ,2).
Решим обратную задачу при следующих условиях:
Известны матрицы A 1 и A 2 определяющие соответствия A , A :
( 0.9 0.7 0.5 )
A = 0.2
. 0.5
0.6 0.5
0.4 0.9 ,
Л 0.5 0.4 0.9 ^
V 0.6 0.7 0.7 ,
а также выходное (наблюдаемое) соответствие (симптомы):
^ 0.5 0.8 '"
V 0.6 0.7 , .
Y =
Требуется найти входное соответствие (причины):
x
X =
X 21
V X 31
x 12 x 22 x
?
В данном случае экстремальная задача (4) естественно сводится к двум: ( D , f 1 ) : f 1 ( X 11 , x 21 , X 31 ) ^ min
D = {(Xu,x21,X31): Vx e[0,1]} где f. =
Max
Max
Min { 0.4, Max [ Min (0.2, x J, Min (0.5, x 3 J, Min (0.6, x 2,) ] } , Min { 0.5, Max [ Min ( 0.5, x 3 J ,Min ( 0.7, x 2 J,Min ( 0.9, x J]} , Min { 0.9, Max [ Min (0.4, x 2 J ,Min (0.5, x J ,Min (0.9, x 3 J]}
Min { 0.6, Max [ Min ( 0.5, x 3,) , Min ( 0.7, x 2,) , Min ( 0.9, x ,) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.2, x J,Min(0.5, x 3 J,Min(0.6, x 2J]} , Min { 0.7,Max [ Min(0.4, x 2J,Min(0.5, x J,Min(0.9, x 3 J]}
—
—
0.6
0.5
+
и
( D , f 2 ) : f 2 ( x 12 , x 22 , x 32 ) ^ mln
D = {(x12, x22, x32 ) • ^x G [0, 1]} где f2 =
Max
Max
Min { 0.4, Max [ Min ( 0.2, x 2) , Min ( 0.5, x 32) , Min ( 0.6, x 22) ] } , Min { 0.5, Max [ Min ( 0.5, x 32) ,Min ( 0.7, x 22) ,Min ( 0.9, x 2) ] } , Min { 0.9,Max [ Min ( 0.4, x 22) ,Min ( 0.5, x 2) ,Min ( 0.9, x 32) ] }
Min { 0.6, Max [ Min (0.5, x 32), Min (0.7, x 22), Min (0.9, x ,2) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.2, x ,2),Min(0.5, x 32),Min(0.6, x 22) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.4, x 22),Min(0.5, x ,2),Min(0.9, x 32) ] }
—
— 0.8
0.7
+
Апробация результатов исследования
В таблице представлены результаты решения задачи несколькими методами оптимизации в среде пакета символьной математики Wolfram Mathematica [3]
Таблица
№ |
Метод |
Решение X |
Время поиска |
||
1 |
Нелдера – Мида |
" 0.60 0.43 ^ 0.40 0.89 v 0.40 0.80 ; |
2.25 |
||
2 |
Дифференциальной эволюции |
" 0.60 0.72 ^ 0.40 1.00 v 0.50 0.80 ; |
3.33 |
||
3 |
Случайного поиска |
[ 0.12 0.83 ^ 0.61 0.83 v 0.36 0.80 ; |
2.60 |
||
4 |
Имитации отжига |
" 0.10 0.70 > 0.85 0.21 v 0.42 0.80 ; |
2.19 |
В данном случае наилучшие показатели по продолжительности поиска оптимального решения обеспечивает метод имитации отжига. Очевидно для задач исследуемого класса характерна проблема плато.
Выводы
-
1. Синтезирована формальная математическая модель сложной задачи на свертке нечетких соответствий.
-
2. Предложена концепция сведения обратной задачи к проблеме оптимизации на нечетких множествах.
-
3. Выполнена практическая апробация предложенной методологии решения сложных нечетких уравнений.
Список литературы Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений
- Осипов Г.С. О решении обратных задач с нечеткими соответствиями / Г.С. Осипов, Е.В. Осипова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2019. - Т. 26. - № 3. - С. 275-277.
- DOI: 10.18411/OPPM-2019-26-3 EDN: LHVORN
- Блюмин С.Л., Шуйкова И.А., Сараев П.В., Черпаков И.В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения. - Липецк: ЛЭГИ, 2002. - 111 с.
- Stephen Wolfram. An Elementary Introduction to the Wolfram Language. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.wolfram.com/language/elementary-introduction/2nd-ed/(Дата обращения 24.03.2022).