Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений

Бесплатный доступ

Предложена формальная математическая модель сложного уравнения на базе композиции (свертке) из нечетких соответствий. Сформулированы прямая и обратная задачи (задача нечеткой диагностики). Исследована концепция сведения исходной проблемы к экстремальной, позволяющая гарантированно находить решение обратной задачи. Проведена практическая апробация предложенной методологии анализа и получения решения сложных уравнений в нечеткой обратной постановке.

Нечеткие соответствия, решение сложных нечетких уравнений

Короткий адрес: https://sciup.org/170193239

IDR: 170193239

Текст научной статьи Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений

Введем уравнение вида [1]:

F(X) = 4 °(4-1»(• 44 °(4 °X))...)) = Y

на нечетких соответствиях:

ЯМ m, n L   .,      X р-^—р-; (m е Mx, n е Nx) - входное соответствие на декар-Mx х Nx ( m , n )

товом произведении множеств M x и Nx* .

A i = A i ( M A х N A ) = jj

M A. х N A.

Ц A ( m , n )

( m, n )

■; ( m е MA , n е NA ) ; ( г = 1, r ) - соответствия на декар

товом произведении множеств MА и NA ;

Я ц4 m, n ) ,              ,

—р—р; ( m е MY, n е Ny ) - выходное соответствие на декарто- м (m,n)

MY х NY   \  ,  / вом произведении множеств My и Ny.

Объект исследования - сложные нечеткие уравнения вида (1).

Предмет исследования - методология синтеза решений уравнений.

Цель - разработка оптимизационного метода решения обратных задач на нечетких соответствиях.

Материал и методы исследования

Прямая задача формулируется следующим образом. Известно входное соответствие X и все действующие на него соответствия A ( i = 1, r ) , требуется определить выходное соответствие Y .

Таким образом, задача (1) раскрывается следующим образом:

Y = F ( X )

Обратная задача принципиально сложна и заключается в том, что при известных соответствиях A. (i = 1, r) и наблюдаемом Y (симптомах) требуется найти входное соответ ствие X (причины) [2].

В этом случае задача (1) преобразуется к виду:

X = F-1 ( Y)

Для упрощения обозначений перейдем к матричному представлению соответствующих нечетких соответствий

Тогда решение прямой задачи (2) тривиально и найдется как композиция нечетких соответствий.

Y = F (X).

Обратная задача в общем случае может не иметь решений или представлять собой сложную комбинацию интервальных решений. Поэтому сведем исходную задачу (3) к экстремальной (оптимизационной) задаче вида:

( D , f ) : f ( x ) = ||F( X ) - Y |P min D = { x e X : x e [ 0,1 ] } Здесь Y -- наблюдаемое соответствие.

Основные результаты и их обсуждение

В настоящее время одной из наиболее практически значимых комбинаций соответствий является классическая треугольная норма ( Max - Min композиция). Поэтому, не умаляя общности исследования применим именно ее.

Как уже отмечалось, решение прямой задачи тривиально и сводится к реализации композиции нечетких соответствий вида (1 ,2).

Решим обратную задачу при следующих условиях:

Известны матрицы A 1 и A 2 определяющие соответствия A , A :

( 0.9  0.7  0.5 )

A = 0.2

. 0.5

0.6  0.5

0.4  0.9 ,

Л 0.5  0.4  0.9 ^

V 0.6  0.7  0.7 ,

а также выходное (наблюдаемое) соответствие (симптомы):

^ 0.5   0.8 '"

V 0.6   0.7 , .

Y =

Требуется найти входное соответствие (причины):

x

X =

X 21

V X 31

x 12 x 22 x

?

В данном случае экстремальная задача (4) естественно сводится к двум: ( D , f 1 ) : f 1 ( X 11 , x 21 , X 31 ) ^ min

D = {(Xu,x21,X31): Vx e[0,1]} где f. =

Max

Max

Min { 0.4, Max [ Min (0.2, x J, Min (0.5, x 3 J, Min (0.6, x 2,) ] } , Min { 0.5, Max [ Min ( 0.5, x 3 J ,Min ( 0.7, x 2 J,Min ( 0.9, x J]} , Min { 0.9, Max [ Min (0.4, x 2 J ,Min (0.5, x J ,Min (0.9, x 3 J]}

Min { 0.6, Max [ Min ( 0.5, x 3,) , Min ( 0.7, x 2,) , Min ( 0.9, x ,) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.2, x J,Min(0.5, x 3 J,Min(0.6, x 2J]} , Min { 0.7,Max [ Min(0.4, x 2J,Min(0.5, x J,Min(0.9, x 3 J]}

0.6

0.5

+

и

( D , f 2 ) : f 2 ( x 12 , x 22 , x 32 )   ^ mln

D = {(x12, x22, x32 ) • ^x G [0, 1]} где f2 =

Max

Max

Min { 0.4, Max [ Min ( 0.2, x 2) , Min ( 0.5, x 32) , Min ( 0.6, x 22) ] } , Min { 0.5, Max [ Min ( 0.5, x 32) ,Min ( 0.7, x 22) ,Min ( 0.9, x 2) ] } , Min { 0.9,Max [ Min ( 0.4, x 22) ,Min ( 0.5, x 2) ,Min ( 0.9, x 32) ] }

Min { 0.6, Max [ Min (0.5, x 32), Min (0.7, x 22), Min (0.9, x ,2) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.2, x ,2),Min(0.5, x 32),Min(0.6, x 22) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.4, x 22),Min(0.5, x ,2),Min(0.9, x 32) ] }

0.8

0.7

+

Апробация результатов исследования

В таблице представлены результаты решения задачи несколькими методами оптимизации в среде пакета символьной математики Wolfram Mathematica [3]

Таблица

Метод

Решение X

Время поиска

1

Нелдера – Мида

" 0.60  0.43 ^

0.40  0.89

v 0.40  0.80 ;

2.25

2

Дифференциальной эволюции

" 0.60  0.72 ^

0.40  1.00

v 0.50  0.80 ;

3.33

3

Случайного поиска

[ 0.12  0.83 ^

0.61  0.83

v 0.36  0.80 ;

2.60

4

Имитации отжига

" 0.10  0.70 >

0.85  0.21

v 0.42  0.80 ;

2.19

В данном случае наилучшие показатели по продолжительности поиска оптимального решения обеспечивает метод имитации отжига. Очевидно для задач исследуемого класса характерна проблема плато.

Выводы

  • 1.    Синтезирована формальная математическая модель сложной задачи на свертке нечетких соответствий.

  • 2.    Предложена концепция сведения обратной задачи к проблеме оптимизации на нечетких множествах.

  • 3.    Выполнена практическая апробация предложенной методологии решения сложных нечетких уравнений.

Список литературы Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений

  • Осипов Г.С. О решении обратных задач с нечеткими соответствиями / Г.С. Осипов, Е.В. Осипова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2019. - Т. 26. - № 3. - С. 275-277.
  • DOI: 10.18411/OPPM-2019-26-3 EDN: LHVORN
  • Блюмин С.Л., Шуйкова И.А., Сараев П.В., Черпаков И.В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения. - Липецк: ЛЭГИ, 2002. - 111 с.
  • Stephen Wolfram. An Elementary Introduction to the Wolfram Language. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.wolfram.com/language/elementary-introduction/2nd-ed/(Дата обращения 24.03.2022).
Статья научная