Оптимизационный метод решения сложных нечетких уравнений

Введем уравнение вида [1]:

F(X) = 4 °(4-1»(• 44 °(4 °X))...)) = Y

на нечетких соответствиях:

ЯМ m, n L   .,      X р-^—р-; (m е Mx, n е Nx) - входное соответствие на декар-Mx х Nx ( m , n )

товом произведении множеств M x и Nx* .

A i = A i ( M A х N A ) = jj

M A. х N A.

Ц A ( m , n )

( m, n )

■; ( m е M_A , n е N_A ) ; ( г = 1, r ) - соответствия на декар

товом произведении множеств M_А и N_A ;

Я ц4 m, n ) ,              ,

—р—р; ( m е M_Y, n е N_y ) - выходное соответствие на декарто- „ _м (m,n)

MY х NY   \  ,  / вом произведении множеств My и Ny.

Объект исследования - сложные нечеткие уравнения вида (1).

Предмет исследования - методология синтеза решений уравнений.

Цель - разработка оптимизационного метода решения обратных задач на нечетких соответствиях.

Материал и методы исследования

Прямая задача формулируется следующим образом. Известно входное соответствие X и все действующие на него соответствия A ( i = 1, r ) , требуется определить выходное соответствие Y .

Таким образом, задача (1) раскрывается следующим образом:

Y = F ( X )

Обратная задача принципиально сложна и заключается в том, что при известных соответствиях A. (i = 1, r) и наблюдаемом Y (симптомах) требуется найти входное соответ ствие X (причины) [2].

В этом случае задача (1) преобразуется к виду:

X = F-1 ( Y)

Для упрощения обозначений перейдем к матричному представлению соответствующих нечетких соответствий

Тогда решение прямой задачи (2) тривиально и найдется как композиция нечетких соответствий.

Y = F (X).

Обратная задача в общем случае может не иметь решений или представлять собой сложную комбинацию интервальных решений. Поэтому сведем исходную задачу (3) к экстремальной (оптимизационной) задаче вида:

( D , f ) : f ( x ) = ||F( X ) - Y |P min D = { x e X : x e [ 0,1 ] } Здесь Y -- наблюдаемое соответствие.

Основные результаты и их обсуждение

В настоящее время одной из наиболее практически значимых комбинаций соответствий является классическая треугольная норма ( Max - Min композиция). Поэтому, не умаляя общности исследования применим именно ее.

Как уже отмечалось, решение прямой задачи тривиально и сводится к реализации композиции нечетких соответствий вида (1 ,2).

Решим обратную задачу при следующих условиях:

Известны матрицы A 1 и A 2 определяющие соответствия A , A :

( 0.9  0.7  0.5 )

A = 0.2

. 0.5

0.6  0.5

0.4  0.9 ,

^Л 0.5  0.4  0.9 ^

_V 0.6  0.7  0.7 ,

а также выходное (наблюдаемое) соответствие (симптомы):

^ 0.5   0.8 '"

_V 0.6   0.7 , .

Y =

Требуется найти входное соответствие (причины):

x

X =

X ²¹

V ^X 31

x 12 x 22 ^x

?

В данном случае экстремальная задача (4) естественно сводится к двум: ( ^D , f 1 ) : f 1 ( ^X 11 , x 21 , ^X 31 ) ^ min

D = {(Xu,x21,X31): Vx e[0,1]} где f. =

Max

Max

Min { 0.4, Max [ Min (0.2, x J, Min (0.5, x ₃ J, Min (0.6, x ₂,) ] } , Min { 0.5, Max [ Min ( 0.5, x ₃ J ,Min ( 0.7, x ₂ J,Min ( 0.9, x J]} , Min { 0.9, Max [ Min (0.4, x ₂ J ,Min (0.5, x J ,Min (0.9, x ₃ J]}

Min { 0.6, Max [ Min ( 0.5, x ₃,) , Min ( 0.7, x ₂,) , Min ( 0.9, x ,) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.2, x J,Min(0.5, x ₃ J,Min(0.6, x ₂J]} , Min { 0.7,Max [ Min(0.4, x ₂J,Min(0.5, x J,Min(0.9, x ₃ J]}

—

—

0.6

0.5

+

и

^{( D} , f 2 ) : f 2 ( x 12 , x 22 , x 32 )   ^ mln

D = {(x12, x22, x32 ) • ^x G [0, 1]} где f2 =

Max

Max

Min { 0.4, Max [ Min ( 0.2, x ₂) , Min ( 0.5, x ₃₂) , Min ( 0.6, x ₂₂) ] } , Min { 0.5, Max [ Min ( 0.5, x ₃₂) ,Min ( 0.7, x ₂₂) ,Min ( 0.9, x ₂) ] } , Min { 0.9,Max [ Min ( 0.4, x ₂₂) ,Min ( 0.5, x ₂) ,Min ( 0.9, x ₃₂) ] }

Min { 0.6, Max [ Min (0.5, x ₃₂), Min (0.7, x ₂₂), Min (0.9, x ,₂) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.2, x ,₂),Min(0.5, x ₃₂),Min(0.6, x ₂₂) ] } , Min { 0.7,Max [ Min(0.4, x ₂₂),Min(0.5, x ,₂),Min(0.9, x ₃₂) ] }

—

— 0.8

0.7

+

Апробация результатов исследования

В таблице представлены результаты решения задачи несколькими методами оптимизации в среде пакета символьной математики Wolfram Mathematica [3]

Таблица

№	Метод	Решение X			Время поиска
1	Нелдера – Мида		" 0.60  0.43 ^ 0.40  0.89 v 0.40  0.80 ;		2.25
2	Дифференциальной эволюции		" 0.60  0.72 ^ 0.40  1.00 v 0.50  0.80 ;		3.33
3	Случайного поиска		[ 0.12  0.83 ^ 0.61  0.83 v 0.36  0.80 ;		2.60
4	Имитации отжига		" 0.10  0.70 > 0.85  0.21 v 0.42  0.80 ;		2.19

В данном случае наилучшие показатели по продолжительности поиска оптимального решения обеспечивает метод имитации отжига. Очевидно для задач исследуемого класса характерна проблема плато.

Выводы

• 1.    Синтезирована формальная математическая модель сложной задачи на свертке нечетких соответствий.

• 2.    Предложена концепция сведения обратной задачи к проблеме оптимизации на нечетких множествах.

• 3.    Выполнена практическая апробация предложенной методологии решения сложных нечетких уравнений.