Optimization of the parameters of the function control objects described by a set of differential-difference equations

Адабиётлар тахлили шуни курсатдики, харакати дифференциал-айирмали тенгламалар системаси билан ифодаланувчи саноат роботи (СР) ҳаракатини бошқаришда қуйидаги камчилик ва бўшлиқлар борлиги аникланди:

• 1.    Маълумки, СРнинг динамик ҳаракати Лагранжнинг II тур, Ньютон-Эйлер, Д’Аламбер, Гаусс, Аппель ва Кейн тенгламалари ёрдамида ифодаланади ва бу тенгламаларни ўзига хос бир қанча ечиш усуллари мавжуд. Бу тенгламаларни ечишда номаълумлар сонига нисбатан тенгламалар сони икки баробар купайиб кетади. Бу эса СРнинг фазовий мураккаб харакатида оптимал траекторияни ягона эмаслигини билдиради. Карор кабул килувчи шахс мос траекторияни танлашда бир тухтамга кела олмайди. Натижада, СРнинг ташқи муҳит предметлари билан тўқнашиши окибатида жараён тухтайди. СР эса ишчи кули тузилмасини узгартиради. Бундай ҳоллар СР кинематик занжирида ортиқча боғлиқликларни келтириб чикаради. Бу эса бошка ечим кабул килишни ва кушимча изланишларни келтириб чикаради.

• 2.    СРни оптимал бошқариш учун унинг ҳаракатини ифодаловчи трапеция кўринишидаги тенгламалар системаси коэффициентларини ҳисоблашлардаги хатоликлар ва алоқа каналларидаги тўсиқларни ҳосил бўлиши робот звеноларини белгиланган вақтдан кечикиб ҳаракат қилишига ва технологик операция учун сарф бўладиган умумий вақтни ортишига олиб келади. Бундан ташқари, робот ҳаракатида турғунликни пасайишига ва унинг ишини ёмонлашувига сабабчи булади.

Кечикишга оид объектларнинг координатали кечикиш синфига тегишли бўлган СРнинг кинематик ҳаракати қуйидаги тенгламалар системаси билан берилган булсин:

X(t ) = Ax(t - h ) + Bu(t ) (1) бу ерда x = x(t ) — n — улчовли системанинг t вактдаги холат вектори;

A - системанинг фазовий холатини ифодаловчи  (n х n) - улчовли узгармас матрица;

B - ( n х т) - улчовли узгармас матрица;

u ( t ) - (1 х n ) - улчовли бошкариш функцияси, h >  0, t <  t <  T .

СР ҳаракатини ифодаловчи коэффициентларни ҳисоблаш вақтларини ва белгиланган операциянинг умумий бажарилиш вақтини камайтириш мақсадида (1) тенгламалар системасига қуйидагича масала қўйилган булсин:

• (1 ) система билан ифодаланувчи обеъектларнинг бошқарув функциясининг параметрлари сонини мақбуллаштириш орқали системани тула бошкарилувчанлигини таъминлаш мумкинми?

Яъни, математик тилда   f: R1 х Rn х Rk ^ Rn - (f -узлуксиз функция)ни таъминловчи шундай v(t) ^ Rk ^ Rn -бошкариш функцияси мавжудми?

Масала шарти сифатида куйидагилар олинади:

• 1)    тизим чизикли дифференциал-айирмали тенглама куринишида;

• 2)    тизим чекли улчовли.

Агар қўйилган масалалар ижобий ҳал қилинса, назарий ва амалий томондан куйидаги афзалликларга эга булинади:

• 1.    Автоном бошқарилувчи системалар, хусусан ҳаракати чизиқли дифференциал-айирмали тенгламалар системаси билан ифодаланувчи объектларни оптимал бошқаришда бошқарув функциясининг параметрларини мақбуллаштириш моделини ишлаб чиқиш “Бошқариш назарияси”нинг бошқарилувчанлик ва кузатувчанлик бўлимига назарий томондан мухим хисса булиб кушилади.

• 2.    ^аракати дифференциал-айирмали тенгламалар системаси билан ифодаланувчи объектлар, хусусан СР ҳаракатини оптимал бошқариш учун бошқарув функциясининг параметрларини мақбуллаштириш моделини

ишлаб чиқиш билан роботларга қўйилувчи тезкорлик, энергоресурслар сарфини тежаш ва минимал ишлаб чиқариш майдонидан фойдаланиш каби иктисодий мезонларининг бажарилишини таъминлайди.

Биринчи масалани ҳал қилиш учун ёндашув ишлаб чиқишга тухталамиз.

PA_k = 0, PB = VP, v*P ( e^hB k - J_k ) = 0, v*PEk = q*

Фараз килайлик, A матрицанинг хос сонлари k - каррали булсин.

A матрица диагонал куринишига келтирилган, яъни:

	Г A   0   ...   0 1 0 1   A  ...   0
J ( A ) =	2 ...     ...    ...    ... _ 0    0...   A k _

^ар бир диагонал матрица элементининг куриниши:

Aj    1    0   ...0

0   Aj   1   ...0

...     ...    ...    ......

j = 1,2,3,..., k .

0    0   ...  Aj1

0    0   0   ...    A j

B матрицани (n x n) - улчовгача тулдириб, куйидаги Bk матрица х,осил килинсин:

B k

B

Бошқарув функцияси параметрлари сонини камайтиришни таъминловчи теоремага асосан шундай C матрица мавжуд булиб, уни ( n x n ) - улчовгача тулдирилади ва куйидаги С_к матрица ^осил килинади [1, 55-56 б.].

C k

C

Юқоридагилар асосида қуйидаги теоремани шакллантириш мумкин.

Теорема. (1) система q нуқтада нуқтали бузилишга эга бўлсин. A матрица хос сонининг k карралигига мос kh вақтда шундай n натурал сон мавжуд булиб, ( n х k ) - улчовли C с A матрица топилсаки,

• 1.    ( n х n) - улчовли P матрица мавжуд булиб, PB_k = C_kP.

• 2.   x = Ax(t - h ) + ( BC ) v, x(t ) с Rⁿ , v(t ) с R k тенгламалар системаси

тула бошкарилувчи булса, (1) система к — бош^арилувчи ( k <  n ) булади.

Исбот. Дейлик, P ва Ck матрицалар учун қуйидаги тенглик бажарилсин:

PB k = C k P                      (2)

[2; 31-б.]да келтирилган леммага ва унинг исботига асосан (2)

тенгликни бажарилиши келиб чиқади.

Иккинчи шартнинг бажарилиши [1;  17-18-б.]да  атрофлича

ўрганилган ва системанинг тўла бошқарилувчи бўлишлиги исботланган.