Орбитальный поток энергии и поток спина в остром фокусе

Обратный поток энергии в оптике известен с 1919 года после работы В. Игнатовского [1]. Его также изучали в более поздних работах Э. Вольфа [2], Г. Кармана [3], М. Берри [4], М. Соскина [5] и А. Во-ляра [6, 7]. В этих работах [1 –7] обратный поток возникает в стороне от оптической оси, в малых периферийных областях, и мал по величине. В [8] А. Новицкий и Д. Новицкий показали, что при соосном сложении двух векторных пучков Бесселя с ТЕ- и ТМ-поляризациями обратный поток может быть и на оптической оси. Обратный поток энергии был обнаружен и в других лазерных пучках с замечательными свойствами: в векторных X-волнах [9], непараксиальных пучках Эйри [10] и пучках Бесселя дробного порядка [11]. В [12, 13] обратный поток энергии был обнаружен на оптической оси в остром фокусе апла-натической оптической системы и фокусе обычной зонной пластинки. По величине обратный поток в фокусе сравним с прямым потоком энергии. В [14] обратный поток исследовался экспериментально. В 2007 году А. Бекшаев [15] показал, что вектор Пойнтинга является суммой двух векторов: потока спина и орбитального потока энергии. Это представление потока энергии как суммы двух потоков (спина и орбитальной энергии [16– 19]) позволяет дать интерпретацию эффекту обратного потока в оптике. Обратный поток возникает в той области светового поля, где поток спина отрицательный и больше по величине, чем всегда положительный поток орбитальной энергии. Причем орбитальный поток энергии не обязательно связан с оптическим вихрем, он есть у любого светового поля.

В данной статье мы показали, что обратный поток энергии (отрицательная проекция на оптическую ось вектора Пойнтинга) в остром фокусе оптического вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией возникает потому, что осевой поток спина имеет отрицательную проекцию на оптическую ось и больше по величине, чем положительная проекция на оптическую ось орбитального потока энергии (канонического потока энергии). Также с помощью формул Ричардса–Вольфа показано, что в области фокуса поперечный поток энергии и поперечный спиновый угловой момент (СУМ) вращаются в разные стороны. Хотя фокусируется свет с левой круговой поляризацией в фокусе вблизи оптической оси, свет имеет правую круговую поляризацию (инверсия продольной составляющей СУМ). Продольная проекция СУМ положительная и равна по абсолютной величине обратному потоку энергии.

Поток спина и орбитальный поток энергии в декартовых координатах

В 2007 году А. Бекшаев показал [15], что вектор Пойнтинга P (поток энергии) равен сумме двух слагаемых: орбитального потока энергии P o и потока спина P s [17]:

Re,

P = — ( E * x H ) = P + P _$ ,                     (1)

P = ^m( E * ( ^V E ) ) , P = i ( ^V x Im ( E * x E ) ) ,   (2)

2k4k где E и H – вектора напряженности электрического и магнитного полей, Re() и Im() – реальные и мнимые части числа, × – знак векторного умножения, k – волновое число. Из (2) следует, что поток спина Ps – это ротор от вектора спинового углового момента S [19]:

S = Im ( E * X E ) .

В декартовой системе координат проекции вектора орбитального потока энергии имеют вид:

im f . a . a . a A P_o x = — Ex—Ex + Ex—Ex + E_z—E_z , o , x x x y y z z

2 k ( d x d x d x )

_ Im [ . a * a * d ] ^Po ’ У I E x Я E x ⁺ E y Я E y ⁺ E z Я E z I , 2 k ( a y a y a y j

Im f e,. d , d , d 1

P _z = — Ex—Ex + Ex—Ex + E_z—E_z . o , z               x x y y z z

2 k I    d z         о z         о z    j

Аналогично проекции вектора потока спина мож- но записать в виде:

Afa , . . а , . P

P_x = — — Im( E * E, ) + — Im( E * E J , s ^,x   2 k (d y    ^{(   x}   y )   a z    ⁽   x ^z ) j

Ps,y = — If-Im (EyEz ) + f- Im (E* Ex )1,(5)

2k (dz   x     '8xj

Ps,z = Tk кIm(EzEx) + -Im(EzEy) I. 2 k ( dx            dy

Проекции вектора напряженности электрического поля в остром фокусе

В этом параграфе мы кратко повторим формулы из работы [20] чтобы были понятны последующие результаты моделирования. Пусть на входе в аплана-тическую оптическую систему проекции электрического и магнитного векторов для случая оптического вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией имеют вид:

A ( 9 ) е^{1 2Ф} f i 1 _TT A ( 9 ) е^{1 2Ф} f i 1

E = , H = ,

V2 (-i j         V2 ( lj тогда по теории Ричардса–Вольфа [2] проекции вектора напряженности электрического поля вблизи фокуса будут иметь вид [12, 13]:

E x ( r , Ф , z ) = ( i /V2") ( 1 2,0 + e²¹ ^ 1 0,2 ) ,

Ey (r, Ф, z) = (1/ v2) (-12,0 + e21Ф 10,2),(7)

Ez (r, Ф, z ) = -V2e1»Ii,i, где fn f A9;      f 91f91

Iv „ = — [ sinv+i — cos3 v — cosi/2(9) x v,9 (XJJ       (2 J       (2 J(8)

xA (9) eikz cos 9 Jц (x) d 9, где λ – длина волны, f – фокусное расстояние аплана-тической системы, x = krsinθ, Jμ (x) – функция Бесселя первого рода, NA = sinθ0 – числовая апертура. Амплитуда входной функции (6) A(θ) может быть выбрана произвольно, в частности, в виде функции Бесселя– Гаусса:

f 2 ? sin 91     f-Y ²sin² 91

A ( 9 ) = J i I      _n I exP I               I ,                  (9)

( sin 90 j ( sin2 90 j где γ – отношение радиуса зрачка апланатической системы к радиусу перетяжки Гауссова пучка.

Топологический заряд выбран равным двум, потому что только в этом случае на оптической оси формируется обратный поток энергии [12]. Действительно, проекции вектора Пойнтинга (потока энергии) P =(1 /2)Re [ E ^*× H ] вблизи фокуса для оптического вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией равны:

P x =- 1 i,i ( 1 0,2 + 1 2,0 ) sin Ф ,

P y = I i,i ( 1 0,2 + 1 2,0 ) COs Ф ,                              (10)

P z = j ( 1 02,2 — 1 22,0 ) .

Из (10) следует, что поперечный поток энергии в плоскости фокуса ( z =0) вращается вокруг оптической оси против часовой стрелки, а продольная проекция вектора Пойнтинга отрицательная ( P_z ( z = r = 0) = - 1 ₂ ² , ₀/2). Далее найдем проекции СУМ (3) в плоскости фокуса для случая фокусировки оптического вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией:

S x = I i,i ( 1 2,0 + 1 0,2 ) sin Ф ,

S y = - 1 i,i ( 1 2,0 + 1 0,2 ) cos Ф ,                            (i i)

S z = 2 ( 1 22,0 - 1 02,2 ) .

Из (11) следует, что поперечные компоненты вектора СУМ вращаются по часовой стрелке, а продольная проекция СУМ     положительная:

( S z ( z = r = 0) = 1 22,0 /2).

Из выражений (10) и (11) можно сделать следующие выводы: 1) поперечный поток энергии и поперечный СУМ вращаются в разные стороны; 2) хотя фокусируется свет с левой круговой поляризацией в фокусе вблизи оптической оси, свет имеет правую круговую поляризацию (инверсия продольной составляющей СУМ); 3) поток энергии на оптической оси отрицательный (обратный поток энергии); 4) продольная проекция СУМ положительная и равна по абсолютной величине обратному потоку энергии:

P z =- S z =- 2 ( 1 22,0 - 1 0 ² ,2 ) .                         (i2)

Общий вывод из этого параграфа такой: вблизи фокуса в области, где формируется обратный поток энергии, продольная компонента СУМ испытывает инверсию. Направление (положительное или отрицательное) продольной проекции СУМ можно определить по направлению вращения (по часовой или против часовой стрелки) поглощающей сферической микрочастицы, помещенной в фокус с центром на оптической оси. То есть обратный поток энергии обнаруживает себя в виде эффекта инверсии (обращения) продольной составляющей СУМ. Или наоборот, инверсия СУМ может служить индикатором обратного потока энергии в фокусе.

Поток спинаи орбитальный поток энергии в фокусе

В этом параграфе на примере фокусировки оптического вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией мы покажем, что обратный поток имеет место тогда, когда поток спина отрицательный и больше по модулю, чем положительный орбитальный поток энергии (2). Действительно, подставляя проекции электрического вектора (7) в выражения (4) и (5), получим для продольных компонент потока спина и орбитального потока энергии выражения:

-Г

1 ГГ

P o , z ^— 2 ( I 0,2 I 0,2 ⁺ I 2,0 I 2,0 ^{+ 2} 1 1,1 1 1

P s , z ^— 2 ( I 02,2    I 2,0 )   2 ( I 0,2 I 0,2 ⁺ I 2,0 I 2,0

Pz — 2 (102,2 - 122,0 ) ,  Pz — Po,z + Ps,z.

+ 2 I 1,1 1 у ) , (13)

В (13) использованы обозначения интегралов:

fnf         fo^fo^

I_v „ — sin cos^{3 v}       cos³ / ² ( 9 ) x

(xj J0      (2)       (2)(14)

x A ( 9 ) e^{fa cos 9} J _ц ( x ) d 9 .

Из (13) следует, что на оптической оси ( r =0),

^Po , z ⁽ r ^{— 0) — 0,5} I 2,0 I 2,0 >  ⁰,

P s , z ( r — 0 ) —- 0,5 ( 1 22,0 + 1 2,0 1 2,0 ) < 0,

I P s , z | >  P o,z , P z ( r — 0 ) —- 0,5 1 22,0 <  0.

Таким образом, физический смысл обратного потока энергии на оптической оси в остром фокусе заключается в том, что на оптической оси вблизи фокуса возникает конкуренция двух осевых потоков: поток спина направлен в отрицательном направлении вдоль оптической оси, а орбитальный поток энергии (канонический поток энергии) направлен в положительном направлении вдоль оптической оси, и поток спина по модулю больше, чем орбитальный поток энергии.

Моделирование

В данном параграфе с помощью формул Ричардса– Вольфа моделировалась острая фокусировка оптиче- ского вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией апланатическим объективом с числовой апертурой 0,95. Длина волны равна 0,532 мкм, волновой фронт фокусируемого света плоский. При моделировании света левой круговой поляризации компоненты векторов электрической и магнитной напряженностей считались по формуле (6).

Распределение интенсивности (рис. 1) имеет вид кольца, при этом его диаметр меньше, чем при фокусировке света с правой круговой поляризацией. Отдельные поперечные составляющие I x и I y имеют вид асимметричных колец с ненулевыми значениями в центре (похожи по форме на греческую букву θ). Продольная составляющая интенсивности I z в отличие от света правой поляризации уменьшает кольцо суммарной интенсивности I – диаметр кольца продольной составляющей меньше диаметров колец поперечных составляющих (в случае с правой поляризацией наоборот).

Рис. 1. Распределение отдельных составляющих интенсивности I x (а), I y (б) и I z (в) и суммарной

интенсивности I = I x + I y + I z (г) в фокальной плоскости

Распределение компонент вектора Пойнтинга (1) и вектора СУМ (3) приведено на рис. 2 – 3.

а)

в)

- -/ j-2

1°

■-1

3-2

Рис. 2. Распределение поперечных компонент вектора Пойнтинга (верхний ряд) и вектора СУМ (нижний ряд)

в фокусе: P x (а), P y (б), S x (в), S y (г)

Рис. 4. Распределение компонент спинового потока энергии

P s,x (а), P s,y (б) и P s,z (в) в фокальной плоскости

В случае с левой круговой поляризацией компоненты вектора Пойнтинга оказались противоположны компонентам спинового углового момента: поперечная компонента P x i + P y j закручена против часовой стрелки (как и поперечная компонента орбитального потока энергии), в то время как поперечная компонента спинового углового момента S x i + S y j закручена по часовой стрелке. Спиновый угловой момент имеет вид отрицательного кольца с положительными значениями на оси. Продольная компонента вектора Пойнтинга P z , напротив, имеет вид кольца, в котором она положительна, а внутри кольца (на оси) она приобретает отрицательное значение. Рис. 2–3 находятся в согласии с выводами, полученными на основе уравнений (10) и (11).

0,5 О -0,5 -1,0 -1,5 -2,0

Рис. 3. Распределение продольных компонент вектора Пойнтинга и вектора СУМ: P z (а) и S z (б)

На рис. 4 и 5 показано распределение компонент потока спина и орбитального потока энергии, вычисленных в соответствии с (2).

а)

О

-1

-2

Рис. 5. Распределение компонент орбитального потока энергии P o,x (а), P o,y (б) и P o,z (а) в фокальной плоскости

Рис. 6. Распределение суммарных потоков энергии P o,x + P s,x (а) и P o,z + P s,z (б)

Заключение

Из рис. 4 в видно, что продольный спиновый поток имеет такой же характер распределения, как и продольная составляющая вектора Пойнтинга (рис. 3 а ). А вид продольной компоненты орбитального потока энергии (рис. 5 в ) похож на вид суммарной интенсивности (рис. 1 г ).

Поперечные составляющие спинового потока (рис. 4 а, б ) имеют вид двух колец, внешнее закручено по часовой стрелке, а внутреннее – против.

Суммарный поток энергии складывается из потока спина P s (рис. 4) и орбитального потока энергии P o (рис. 5). Распределение суммы потоков, приведенное на рис. 6, качественно совпадает с распределением вектора Пойнтинга (рис. 2–3).

В данной работе показано, что обратный поток энергии (отрицательная проекция на оптическую ось вектора Пойнтинга) в остром фокусе оптического вихря с топологическим зарядом 2 и левой круговой поляризацией возникает потому, что осевой поток спина имеет отрицательную проекцию на оптическую ось и больше по величине, чем положительная проекция на оптическую ось орбитального потока энергии (канонического потока энергии). Также с помощью формул Ричардса–Вольфа показано, что в области фокуса поперечный поток энергии и поперечный СУМ вращаются в разные стороны. Хотя фокусируется свет с левой круговой поляризацией, в фокусе вблизи оптической оси свет имеет правую круговую поляризацию (инверсия продольной составляющей СУМ). Продольная проекция СУМ положительная и равна по абсолютной величине обратному потоку энергии.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант 18-19-00595) в части моделирования, Российского фонда фундаментальных исследований (грант 18-29-20003) в теоретической части и Министерства науки и высшего образования РФ в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН.