Ортогональные многочлены

Orthogonal polynomials

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Ортогональные многочлены, специальные системы многочленов {р п ( х )}; n = 0,  1, 2,..., ортогональных с весом г(х) на отрезке [ а , b ].

Нормированная система О. м. обозначается через р_п , а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,— через р_п . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r( х ) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

р'(х)      а₀ + а 1 х      «(х)

р^(х)   Р_о + р 1 ^х + (3₂^х2 р^(х)

Многочлен рп (х)  такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

Р⁽х)р П ⁽х) + [«(х) + р^,(х)Ар П ⁽х) - У п Р п ⁽х) = 0

где g n = n [(a i + ( n + 1)b 2 ].

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а , b и г(х).

• 1)     Якоби многочлены { Р п ^(l,m)( х )} — при а =—1, b =1 r( х ) =(1— х ) (1 + x )^m, l >—1, m >—1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены ^^ ' (х) (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); 1 =

т = -1/2, т.е. р(х) = ,   _ — Чебышева многочлены 1-го рода T n ( x ); 1 =

N1-X 2

т = 1/2, т.е. р(х) = ,   _ — Чебышева многочлены 2-го рода U n ( x ); l = m =

N1-X 2

• 0, т. е. r( х ) ° 1 — Лежандра многочлены Р п ( х ).

• 2)     Лагерра многочлены L n ( x ) — при а = 0, b = + у и r( х ) = е — (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра ^(х') — при р(х) = х^юе^-х(а > —1).

• 3)     Эрмита многочлены Н_п ( х ) — при а =—у, b = у и р(х) = е^х 2 (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рп (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рп (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рп (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига рп(х)=Ап 1--^{р(х)^П(х)},

р(х) ахп где An — постоянное, а Ь(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. Рп(х), /5п+1(х), ^п+2(х) связаны рекуррентным соотношением:

р

^ П+2

(х) = (х — а^Ж+Лх) — Л^р^х), где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов, если:

то

РкМ = х^к +

Z k—1

j-o

^ kj ^,

^ n+2    ^ n+1,n    ^ n+2,n+1 ,

Я_п+ 1    ^ n+1,n-1    ^ n+2 ^ n+1,n    ^ n+2,n

Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом ap(t)dt изучения О. м. явилось для него разложение интеграла ^        в непрерывную дробь с элементами вида х — an и числителями 1п-1. Знаменатели У^(х)/р^(х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).

Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию.