Основное метрическое тождество и оценки в сравнительном многомерном анализе

Автор: Соловьв А.С.

Журнал: Экономика и социум @ekonomika-socium

Статья в выпуске: 10 (41), 2017 года.

Бесплатный доступ

В работе предлагаются методы построения оценки деятельности объектов на примере оценки системы региональных банков.

Качество, количество, оценка, математическое ожидание, дисперсия, шанс

Короткий адрес: https://sciup.org/140234728

IDR: 140234728

Текст научной статьи Основное метрическое тождество и оценки в сравнительном многомерном анализе

Известно, что любой объект характеризуется количественной величиной и качественным признаком, которые взаимно метризуемы. Если количественная характеристика объёмная линейно упорядоченная трансляционная величина и равномерно квантуется порядком собственных значений, то качество - характеристика внутренняя дифференциальная ротационная, которая порядком последовательности собственных значений квантуется циклически [2]. Для сопоставления объектов они описываются в одном и том же n-факторном признаковом аффинном пространстве Ап, в котором каждый объект (либо множество состояний одного и того же объекта) выступает в виде совокупности статистических данных наблюдения и отображается точкой пространства An. При условии сравнительной оценки m объектов их совокупность образует прямоугольную матрицу размерности т* п - двумерный массив A (m, п). В динамическом аспекте статистических наблюдений такая совокупность описывается трёхмерным массивом данных A(m, n, |T|), где T- дискретный временной интервал наблюдения.

Оценка массива суть его сжатия по одной либо по совокупности размерностей. Например, при агрегации по одной из переменных двумерного массива получаем одномерный массив - матрицу-столбец, или матрицу-строку. При агрегации по факторам получаем матрицу-столбец A ( m ) агрегатных оценок объектов, а при агрегации по объектам получаем матрицу-строку - оценки факторов. Индикаторная таксономия системы предполагает существование у неё размытого по объектам некоего агрегатного свойства, количественному значению которого в локальном объекте ставится в соответствие определённый числовой показатель. Как результат каждый объект получает своё собственное числовое значение – сравнительную количественную оценку содержания в объекте агрегатного универсального фиксированного в измерительном эталоне свойства системы.

Система объектов для оценки всегда строится по определённому агрегатному свойству: отраслевому, производственному, групповому, личностному. Если сформирована система объектов для наблюдения, то ей присуще определённое системное свойство, которое нечётко выражено и "размыто" по объектам. Если не пользоваться теорией нечётких множеств, то возникает проблема построения конкретного измерительного эталона, агрегатная количественная величина которого и его агрегатная качественная характеристика и будут служить основой построения таксономических собственных значений объектов системы. Качественная характеристика эталона сохраняется даже при нормировании эталона, поэтому квантификация объектов при их соизмерении на допустимом множестве их бинарных соответствий будет построена именно по качеству выбранного эталона, где эталон на универсуме бинарно -значимых свойств выступает в роли взвешивания важности факторов.

За эталон можно взять любой объект системы. Можно построить гипотетический объект, которым будет служить объект со средними по системе значениями факторов. Такой объект может совпадать с реальным объектом системы, а может его агрегатное свойство быть очень далеким от реальных свойств так, например, как средние характеристики по доходам владельца завода и его цеховой уборщицы. Однако, и в этом случае агрегатные оценки несут смысловую нагрузку. Эталон формируется и заданием веса факторов описания объектов.

Построение таксономических индикаторов рассмотрим на конкретном примере оценки ежегодного описания состояния системы 13-ти региональных банков с 01.01.2009 г. по 01.01.2016 г. по публичным данным архива [3], пример описания которых представлен табл. 1 (см. приложение).

Таблица 1. БАНКИ ПО СОСТОЯНИЮ НА 01.01.2014 (тыс. руб.)

п/п	Банки	Капитал	Активы	Кредиты	Депозиты	Вклады населения
1	Дон-Тексбанк	312908	1580631	656586	624604	624604
2	Донкомбанк	523332	6917497	4449734	2770783	2143925
3	Донхлеббанк	273473	2810992	1249875	1202233	1073233
4	Земкомбанк	586530	3430334	1068692	624587	563587
5	Капиталбанк	320524	2142763	739876	999418	821351
6	Кредэксбанк	494167	3228777	1602296	1120678	760979
7	РостФинанс	301926	3164207	825177	1054206	191247
8	Российский нац. банк	481216	3568235	2095508	1739407	151528
9	Сельмашбанк	277564	1456775	785702	403491	214041
10	Стелла-Банк	269700	3367684	1281881	960190	762590
11	Таганрогбанк	235616	574819	234642	137561	87561
12	Центр-инвест	9586325	112061472	65041445	46753465	37389622
13	Южный Региональный
	Банк	271420	569443	365156	62443	62443

Обработку числового материала при построении индикаторов собственных значений системы проведём в среде MATLAB R2014a M-BOOK with word. Для этого числовые данные табл.1 присвоим массиву A(m, n, |T|). Здесь m = 13 - количество объектов системы, n = 5 – количество факторов описания объектов, |T| = 8 – количество периодов наблюдения. В приложении даётся правило формирования массива.

Поскольку активы и депозиты зависят от других факторов описания объектов перейдём к другим факторам описания состояния системы:

"Капитал", "Кредиты", "Др. активы", "Вклады населения", "Др. депозиты". Для этого построим новую рабочую матрицу B ₀ и будем полагать, что новые факторы независимы. Для каждого периода наблюдения находим средние значения столбцов и добавляем их дополнительной строкой к каждой матрице B ₀. Получаем матрицу B . Переходим в матрице B к безразмерным величинам, разделив все элементы столбцов на их средние значения, на элементы последней строки.

Определим единичный элемент - вектор e , координаты которого равны единице (как общую точку пространств L i и L ₂), нормируя который в пространстве L 1 , определяем весовые коэффициенты столбцов p= e/sum(e) и фундаментальную метрическую матрицу пространства L ₂ P = diag(p) , полагая, что все факторы равнозначны. В противном случае для каждого периода наблюдения весовые коэффициенты можно откорректировать так, чтобы веса определяли плотность распределения вероятности важности факторов.

Если в векторном пространстве V_n , сопутствующему аффинному пространству A n , с помощью, положительно определённой симметричной билинейной формы д ( x, y ) = y'Px на множестве бинарных отношений V n * V n ввести стандартную топологию, то функционал D ( x ) = д ( x, x ) на V n определит квадрат нормы вектора x Б V n и основное метрическое тождество (ОМТ) [4]

D(x)D(y) = д2(х,у) + v2(x,y)/h2, v(x,y) = ±h^T(x~y),

связи между мерами в евклидовом д(x, у) и симплектическом v(x, y) пространствах, где h - масштабный коэффициент связности пространств, а Г(x, у) - определитель Грама пары векторов. ОМТ даёт возможность [5] оценку состояния разложить на количественную составляющую E (x) = px, которая устанавливает агрегированный вклад объекта в деятельность банков по направлению эталона и является её проекцией на эталон, и составляющую <т(x) = V1/2(x) = v(x, e)/h, которая характеризует качество деятельности банка -его отклонение от эталона. Индикатор оценки деятельности банка в данной системе определим по оценке шанса его присутствия в системе Chance(x) = E 2(x)/V(x), который отображением C(x) = Chance(x)/maxA(Chance(x)) → [0, 1]×100 переводится в таксономический индекс, выраженный в процентах, табл. 2.

Следует отметить, что для каждого периода наблюдения в качестве эталона берутся средние значения показателей что обеспечивает один и тот же эталон в пространстве относительных показателей. Такой выбор эталона удаляет учёт инфляционной составляющей при анализе эволюции банков, но имеет свои недостатки. Так, например, банк Центр-инвест является определяющим банком

Таблица 2. Таксономические индикаторы эволюции банков.

п/п Банк Год 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 1 Дон-Тексбанк 0.94 0.94 1.53 1.55 1.59 0.97 1 0.88 1.07 2 Донкомбанк 1.25 2.67 5.25 6.59 10.11 18.02 3.63 7.20 3 Донхлеббанк 1.22 1.28 1.91 2.19 2.36 4.33 33.18 3.39 4 Земкомбанк 1.70 0.79 1.02 0.91 0.42 0.84 0.68 1.06 5 Капиталбанк 0.45 0.34 0.65 2.33 2.49 4.12 1.81 11.26 6 Кредэксбанк 0.59 0.92 0.85 4.07 5.70 5.89 2.69 4.89 7 РостФинанс 2.22 0.49 0.76 0.91 0.62 0.64 0.60 0.72 8 Российский нац. банк 1.31 1.33 0.73 0.39 0.45 0.41 1.22 1.06 9 Сельмашбанк 13.48 2.61 2.19 3.25 2.22 2.12 0.94 3.54 10 Стелла-Банк 2.45 3.90 4.46 2.06 6.17 3.64 2.72 2.51 11 Таганрогбанк 1.08 0.55 1.01 0.69 0.49 0.48 0.34 0.57 12 Центр-инвест 72.80 83.84 78.77 74.57 1 67.08 58.29 50.98 62.16 13 Южный Региональный Банк 0.52 0.34 0.87 0.49 0.30 0.25 0.31 0.56 данной региональной системы, но из таблицы следует, что оценка показателей его деятельности снижается. Однако, из таблицы нельзя сделать вывод о том, ухудшается ли его работа. Этот объект находится в системе и с ростом системы его доля в системе может значительно снижаться. Индикатор показывает только долю вклада объекта в общую деятельность в наблюдаемом периоде. С другими возможностями данного индексного анализа можно познакомится на сайте [6], например, в разделе "Банки". Отметим, что расчётные показатели в работе являются следствием представленных архивных материалов, за достоверность которых автор данной работы ответственности не несёт.

Расчёты показателей описания эволюции системы выполняются m-функцией function [D0,E0,V0,Chance0,SC,Ch,r] = SmArray(A)

%% Переходим к новым "независимым" факторам: "Капитал банка", "Кредиты", "Др.

% активы", "Вклады населения, "Др. депозиты", вычисляем в абсолютных показателях

% эталон, добавляет его горизонтальной связкой снизу к каждой матрице данных % временном аспекте и вычисляем рабочую матрицу X.

for n = 1:size(A, 3)

B0(:,:,n) = [ A(:,1,n) A(:,3,n) A(:,2,n)-A(:,3,n) A(:,5,n) A(:,4,n)-A(:,5,n)];

B = cat(1, B0, sum(B0)/size(B0,1));

for k = 1:size(B,1)

X(k,:,n) = B(k,:,n)./B(size(B,1),:,n); end end

%% Находим:

% единичный эталон e = X(size(X,1), :,n);

% вектор весовых коэффициентов p= e/sum(e);

% и метрический тензор

P = diag(p);

%% Вычисляем основные динамические характеристики объекта for n = 1:size(A,3)

k = 1;

while k < size(X,1)

% математическое ожидание

E(1,k, n) = p*X(k,:, n)';

% квадрат нормы

D(1,k, n) = X(k,:, n)*P*X(k,:, n)';

% и дисперсию

V(1,k, n) = D(1,k, n) - E(1,k, n)^2;

% определяем шанс присутствия объекта в системе Chance(1,k, n) = E(1,k, n)^2/V(1,k, n);

k = k + 1;

end end %% Убираем единичную размерность D0 =squeeze (D);

E0 = squeeze(E);

V0 = squeeze(V);

Chance0 = squeeze(Chance);

% и определяем др. характеристики объектов for k = 1:size(Chance0,1)

SC(k,:) = 100*Chance0(k,:)/max(Chance0(k,:)); end for n = 1:size(Chance0,2)

Ch(:,n) = 100*Chance0(:,n)/max(Chance0(:,n)); end

% В частности, находим оценку динамики эволюции объекта в системе, приведённую в таб. 2

for k = 1:size(A,1)

r(k,:) = 100*Chance0(k,:)./sum(Chance0);

end end

Формирование трёхмерного массива A по архивным данным для расчётов приведено в приложении.

Если принять состояние системы в 2009 году за измерительный эталон, то можно проследить её эволюцию относительно этого эталона, например, как динамики среднего. В этой динамике будет отражаться инфляционная составляющая. Сравнение эволюции системы с ростом средних зарплаты и пенсии приведено на рис. 1.

2.6

Рост инфляции, пенсии и зарплаты инфляция зарплатам пенсия

2.4 зарплатам

• пенсия

2.2

2 г3

1.8 /

1.6 к\

1.2
0.8 L____________г_____________Г_____________Е_____________Е_____________г_____________г

.1 2 3 4 5 6 78

2009 2010 2011 2012 2013 2014 20152016

Рис. 1. Сравнение инфляции в финансовой структуре, роста средних зарплаты и пенсии.

Приложение.

A09 = [ 83759		868185	486399	390111	376881
150750	1553596	683410	583522	555299
187460	1969823	987722	834422	759322
513443	2927681	1106855	798275	219275
63289	164199	70161	29684	29684
282502	1027128	588400	143434	88434
34352	344847	136078	75627	67642
233386	1045428	586654	361696	95162
202640	1566798	738253	821414	362057
232839	3166074	991089	757628	615578
61142	276796	129017	71873	63973
6246588	84454665	33021643	38910338	13412935
205340	660524	260620	92588	82388];
A(:,:,1) = A09;

A10 = [154132		1051917 445995 472584 472573
283730	3313578	1592196	1304716	1116215
210344	2073219	911670	837593	805593
544853	3228599	617293	1274916	202216
90639	201199	66205	40799	12799
291363	1266065	504194	276832	86525
101405	377939	189026	69143	69143
209139	1206903	689706	330742	78677
212464	1574241	762615	407553	150446
260080	3397776	957910	838244	684444
92738	285534	95280	70269	40269
5908043	85566664 32027229		27283642	17478842
221941	677828	254565	65669	40469];
A(:,:,2) = A10;
A11 = [182458 1290382 612839 610449 610438
284031	3906063	1720066	1626174	1470068
249047	2486371	1030197	1164950	1140950

538301	2487128	766248 541368 486368
98818	226483	54194 64053 22553
298610	1122967	408381 173000 105000
179896	984503	215379 158417 158417
318464	1301028	864004 603411 103457
226285	1335821	684064 293932 114682
279779	3477589	874415 950181 763381
100921	394120	123960 91306 71306
6166440	78459994	36273802 29981965 22987263
217631	1093121	241028 160126 131306];
A(:,:,3) = A11; A12 = [192953 1458863 657391 639723			639712
506221	4319356	2307724 1887570	1734512
244536	2824922	1209691 1089892	1064892
546084	2994703	758125 439241	377241
180496	653189	269311 405461	302961
347450	2130448	1110826 578608	464630
194038	1394221	297445 352007	351107
315450	1243309	971898 669391	70341
237240	1609623	890645 364927	211577
276766	3258974	995757 768840	701640
192504	468282	111225 133348	83348
7080402	87438489	47348881 33816499	27983498
224385	1403258	236458 44399	34199];
A(:,:,4) = A12; A13 = [269494		1501760 753748 632543	607543
507704	5860957	3156144 2445067 1801285
245158	2364971	1213916 1018412 983412
555584	7065168	932383 528900 467100
317686	1455851	571982 867232 764732
415296	2648921	1317036 901902 659838
189643	879449	325198 149250 149250
338134	1767668	1266308 1022464 275681
254525	1570959	633031 357284 195634
278174	3336080	1305468 976354 828038
182698	426372	222454 113879 83879
7840642	95396158	52790279 38917231 32044702
255322	633048	360492 34801 24601];
A(:,:,5) = A13; A14 = [312908 1580631		656586 624604 624604
523332	6917497	4449734 2770783 2143925
273473	2810992	1249875 1202233 1073233
586530	3430334 1068692 624587 563587
320524	2142763	739876 999418 821351
494167	3228777	1602296 1120678 760979
301926	3164207	825177 1054206 191247
481216	3568235 2095508 1739407 151528
277564	1456775	785702 403491 214041

269700	3367684	1281881	960190 762590
235616	574819	234642	137561 87561
9586325	112061472	65041445	46753465 37389622
271420	569443	365156	62443 62443];
A15 = [325244	1610904	625692	544069 542569
585562	7699088	4123272	2889415 2472729
333005	3895990	1786045	1802712 1175342
647385	5748840	1024833	544776 538276
350429	4342195	1125340	1745614 1578655
609259	4241623	1829848	1205369 873071
408416	6857640	920410	665668 627971
641955	8239520	2929216	2550879 274849
315014	3959684	800410	404271 307171
328987	4279390	1281139	992864 828804
301479	603427	257561	147122 62122
10379561	154509423 7621731		1 60071908 37162311
312951	909567	342684	66437 66437];
A(:,:,6) = A14; A(:,:,7) = A15; A16 = [323217		1468062	534313 533945 533945
587288	7661058	3798686	3013424 2701467
340485	5117717	1852214	2348363 2207619
626810	8525790	1319199	786053 773953
1081727	9799801	3308950	3082018 2102177
686600	5155220	1934402	1276315 960589
488867	18804558	1693900	2067794 1880812
800721	11282060	3524742	2881950 471071
345006	3023259	1092824	497043 376343
354313	4306584	907883	800620 729620
316748	637237	304032 147826 62826
11251931	167480359	75161033 60836823 47847333
443000	2221386	503620 71100 71100];

];

A(:,:,8) = A16;

Список литературы Основное метрическое тождество и оценки в сравнительном многомерном анализе

Плюта В. Сравнительный многомерный анализ в эконометрическом моделировании//М., Финансы и статистика, 1989.
Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и психологии/Исследования по истории физики и механики, 1990//М., Наука, 1990.
http://gorodn.ru/archive/2017_g/
Соловьёв А.С. К корпускулярно-волновой интерпретации материи//е-ж. "Экономика и социум", №2(33), 2017, www.iupr.ru
Соловьёв А.С. К управлению активами//е-ж. "Экономика и социум", №8(39), 2017, www.iupr.ru
http://socialphysics.narod.ru/

Статья научная