Основное метрическое тождество на бинарных соответствиях в алгебре Клиффорда

Предметом работы являются бинарные соответствия [1] z = (x, y) многомерных массивов x, y Е M, определённых на поле K (действительных Ж или комплексных С чисел), которые рассматриваем в виде соответствующим образом структурированных векторов евклидового пространства E|N|, в ассоциированной алгебре Клиффорда с делением так, что, если g = x^y = xy Е £N, то он представляется кватернионом в виде суммы внутреннего и внешнего произведений исходных массивов д = х • у + хлу = х • у + in\x х у|,              (1)

где n - единичный вектор.

Из теоремы Рисса следует, что во внутреннем произведении выражение х • определяет линейный функционал как изометрический линейный оператор х •: E 'ⁿ' ^ (e 'ⁿ' ) , который элемент x Е E N отображает в сопряжённый элемент x* эрмитово сопряжённого пространства ( E N )*, порождающий на евклидовом пространстве функционал

D(x) = x² = x*x (2) и аддитивный гомоморфизм g* на независимых составляющих равенства (1)

D⁽g) = g*g = g² = D⁽x • y} + D(x*y). (3)

Заметим, что не нарушая общности изложения, представленный здесь выражением (2) функционал осуществляет полную свёртку массива x , но, с использованием его внутренней структурной особенности, легко записать различные схемы оценок на его внутренних свёртках. Более того, сам элемент (1) можно интерпретировать как бинарное соответствие массивов g 1 и g 2 E X , g = g 1 g 2 e ^ N 0S^X .

Равенство (3) представляет метрическое тождество. Рассмотрим каждый его член. Возьмём первое слагаемое правой части. Будем полагать, что все компоненты массива x отличны от нуля. Тогда это слагаемое можно записать в виде

D^x-y) = D^x^kENa^Zk)2 = D2(x)gL2(z\(4)

где введена линейная мера взвешенной суммой относительных координат массива y:

^L(z) = ||z||L = XkEN^k2zk,   XkENUk2 = 1,

_ yk_ zk >        Ukx x, xk

^(x) = /Dx).

Аналогично находим

D(xNy) = D^x^k^eN Uk^k - zj)2 = D2(x)gs2(z\(6)

Vs(z) = /Xk

и

D(g) = D(xy) = D(x)D(y) = D2(x)gK2(z),(8)

VlXX = ||zl|L2 = j^kEN Uk2zk2(9)

Здесь предполагается, что массив x EM полный, т.е. все его элементы отличны от нуля. Этот массив формирует подпространство Mx с M бинарного соответствия элементов, при котором за базу сравнения принимается эталон - элемент x, и в построенном с помощью его отображением Хх: Mx ^ Zx относительном пространстве Zx формируется единичный массив ex, качественно подобный массиву х и являющийся единицей измерения этого качества в соответствующих элементах z = (zk = yk /xk, k £ N, x,y £ Mx a M) £ Zx a Z , приведённого пространства Zx в окрестности эталона e = ex. Таким образом множество M вместе со счётным набором подмножеств Mx a M, называемых координатными картами, обращается в N -мерное многообразие. При этом из того, что карты Мх при заданном атласе «Л покрывают множество M, следует

^_xe^Z_x=Z.                        (10)

При фиксировании элемента х £ M выделяется подмножество соответствующих элементов y £ M_x, для образов которых z £Z_x справедливо основное метрическое тождество (ОМТ), которое запишем в виде

H_L2²z = v_L²z + n_s²z.                   (11)

Это уравнение окружности радиуса Cz = n_L2Z с катетами Az = [i_Lz и Bz = ^_sz. Фиксируя горизонтальную ось катетом Az и рассматривая меры как операторы, заключаем, что оператор A характеризует меру трансляции, а оператор B - меру вращательной симметрии массива у по отношению массива х. Выбор элемента х £ M определяет выбор масштабной количественной и качественной единицы на многообразии M. Он же определяет выбор масштабной единицы е_х на приведённом многообразии Z как диагонали единичного куба [0, 1]^INI.

Если рассматривать равенство (11) как операторное уравнение и ввести эрмитово взаимно сопряжённые операторы

C = A + iB,   C* = A* - iB*,              (12)

то приходим к волновому представлению оператора C в полярной форме

C = pP,     C* = P*p*,               (13)

p = (A² + B²),  ¥ = e*,  ф = arctg^,  0    (14)

интерпретация которого представлена на рис. 1.

Рис. 1. К представлению метрического оператора оценки сравнения массивов.

Пусть z = Ψ(0) и ς = Cz. Тогда D(z) = z² = Ψ*Ψ = 1, z = e и

ς = CΨ = ρ(z)Ψ(z).                      (15)

Здесь единичный вектор e "растягивается" до величины ρ, что соответствует росту объёмной характеристике, и поворачивается против часовой стрелки на угол ψ, что, в свою очередь, отвечает изменению его качества – изменению в его структуре.

Что же такое " качественные изменения"? Качественный показатель определяется собственной функцией состояния массива Ψ(z). Если эта функция не меняется при изменении объекта, то меняется только объёмная характеристика – собственное значение ρ. Из (14) и (15) следует, что угловая характеристика ψ(z) = 0. Отсюда находим, что оператор B = 0, что отвечает равенству нулю симплектической меры (7), т. е. для всех k, l Б N имеют место равенства zk – zl = 0. Приходим к соотношениям г1 = г2 = ^ = ^!щ = л.(16)

*1    *2

Следовательно, при достоверном качественном сходстве y = Ах.(17)

Структурные сдвиги нарушают пропорции компонент массивов. Чем больше структурные сдвиги, тем больше в равенстве (11) симплектическое слагаемое относительно линейной оценки. Тем меньше качественное сходство в единицах выбранного эталона a € <АM. А поскольку сравнение допустимо только в определённых качественных пределах, то множество Ma, очевидно, определено границами, при выходе за которые сравнение становится невозможным и нужно переходить к новому эталону b € <ПМ при сопоставлении, что определяет новую координатную карту Mb (χb: M → Mb) с возможностью перехода в области их пересечения МаПМь, определяемой композицией хь ° Ха в виде функции

Хьо/а: Ха(МаПМь) ^ Хь(МаПМь).(18)

Предположим, что объект рассматривается в области Ω карты Za и

{п D^du = 1.(19)

Тогда из уравнения (15) находим интегральную оценку эволюции объекта в рассматриваемой области [2, формула (2.1), стр. 19]

р = ^ W*CWdu.(20)

В ОМТ (11) определяется связь между средними линейными и квадратичными оценками. Именно первые средние легли в основу статистической теории индексов Фишера-Конюса [3, 4], ряд проблем которой до настоящего времени "не имеет ясного экономического содержания" [5]. Возможно, именно связь этой проблемы с методами квантовой механики позволит прояснить возникающие проблемы.