Основные алгоритмы компьютерной графики геометрическое моделирование

Трехмерная графика уже настолько прочно вошла в нашу жизнь, что мы, сталкиваясь с ней, порой даже не замечаем ее. Область применения трехмерной графики необычайно широка: от рекламы и киноиндустрии до дизайна интерьера и производства компьютерных игр.

Знание хотя бы основ компьютерной графики становится необходимым для полноценного развития личности, поскольку она практически повсеместно используется в различных отраслях и сферах.

Не малое количество приложений машинной графики нуждаются в представлении трехмерных тел. На основе этого выделяют две главные задачи представления трехмерных тел - построение модели уже существующего объекта и синтез модели заранее не существовавшего объекта.

Используются три основных типа 3D-моделей:

• •    каркасное представление, при котором тело описывается набором ребер

• • поверхностное, при нем тело описывается набором ограничивающих

его поверхностей

• •    модель сплошных тел, когда тело формируется из отдельных базовых геометрических и, возможно, конструктивно - технологических объемных элементов с помощью операций объединения, пересечения, вычитания и преобразований.

Главной характеристикой современных систем является стремление моделировать логику работы, пользователем принятую. Это наличия требует средств перехода от модели удобной для пользователя, к модели удобной для визуализации.

Основные способы формирования геометрических элементов моделей - это построение по заданным отношениям (ограничениям) и построение с использованием преобразований.

Построение с использованием отношений заключается в том, что задаются элемент, подлежащий построению, и список отношений и элементы, к которым относятся отношения.

Например, построение прямой, которая проходит через точку пересечения двух других прямых и касательную к окружности. Используется два способа реализации построения по отношениям - общий и частный. При общем способе реализации построение по заданным отношениям можно представить в виде двушаговой процедуры:

• •    на основе заданных типов отношений, элементов и параметров строится система алгебраических уравнений

• •    решается построенная система уравнений

Главный плюс такого способа - простота расширения системы - для введения нового отношения достаточно просто написать соответствующие уравнения. Основные проблемы такого способа заключаются в следующем:

• •    построенная система уравнений может иметь несколько решений, поэтому требуется выбрать одно из них, например, в диалоговом режиме

• •    система уравнений может оказаться нелинейной, решаемой приближенными методами, что может потребовать диалога для выбора метода (ов) приближенного решения.

Достоинством такого подхода является простота написания системы. Однако, присутствуют и недостатки, когда пользователю требуется использовать сильно разветвленные меню и/или запоминать маловразумительные сокращения или пиктограммы, так как обычно число требуемых вариантов построения исчисляется сотнями.

Для того чтобы построить новый объект с использованием преобразований необходимо задать преобразуемый объект, задать преобразование (это может быть обычное аффинное преобразование, определяемое матрицей, или некоторое деформирующее преобразование, например, заменам одного отрезка контура ломаной), выполнить их. В случае аффинного преобразования для векторов всех характерных точек преобразуемого объекта выполняется умножение на матрицу; для углов вначале осуществляется переход к точкам, а затем выполняются преобразования.

Построение элементарных кривых играет главную роль при создании как 2D, так и 3D моделей. Кривые строятся, в основном, следующими способами:

• •    той или иной интерполяцией по точкам

• •    вычислением конических сечений

• •    расчетом пересечения поверхностей

• •    выполнением преобразования некоторой кривой

• •    формированием замкнутых или разомкнутых контуров из отдельных сегментов, например, отрезков прямых, дуг конических сечений или произвольных кривых.

В качестве последних используются параметрические кубические кривые, так как это наименьшая степень, при которой обеспечиваются непрерывность значения первой (второй) производной в точках сшивки сегментов кривых, а также возможность задания неплоских кривых.

Важную роль в представлении плоских поверхностей играют полигональные сетки. Также с их помощью осуществляется представление аппроксимации криволинейных, в том числе и параметрических бикубических площадок, поэтому представление поверхности, как правило, представляется в виде плоских многоугольников. Полигональная сетка представляет собой набор вершин, ребер и плоских многоугольников. Вершины соединяются рёбрами. Многоугольники рассматриваются как последовательность вершин или ребер. Можно предложить много способов внутреннего представления полигональных сеток.