Основные и сопряженные уравнения диффузии

Рассмотрим модели распространения примесей в атмосфере от источников загрязнения, когда конвективные движения отсутствуют. Нестационарная трехмерная задач а переноса субстанции принимает вид [2]:

^₊Jp = A_v^+/rAp+(M(r-/i;)                 (1)

dr OZ cz где ф - интенсивность аэрозольной субстанции:

д-0 - коэффициент поглощения, величина, обратно пропорциональная величине t;

1/, р- вертикальный и горизонтальный коэффициенты диффузии:

J - оператор Лапласа.

Уравнение (1) рассмотрим в параллелепипеде

D = {0<х_р 0<у„ 0< с

К уравнению (1) присоедини?.! краевые условия. На гранях параллелепипеде могут быть краевые условия следующего вида:

(xj',c)

% ^"flj Р="А.Г X = О.

Эф _Д                     Т

ЯЦ2 ' "7— Al " ^ ~ ^U7        X - ^

сх

Оу -5--Al -^=-А1» у=о,

-“11-—-^1-<Р—Ми.      y=L

«- ^-А: ^ = -An      s = 0,

• -^•^-Дд-У—Ад.     ^2=/г

Если а_тп=0 то получим первую краевую задачу, при ^_д=0 вторую краевую задачу, а при а^^О, ^„#) третью краевую задачу(т=/, 2, 3, п=1, 2). Если a_{W №} ^„—одновременно в нуль не обращаются, то на краях области получим условия различного рода. Численное решение задачи (1 - 2) с условием различного рода также не представляет трудности. Численные решения таких задач разработаны нами в.

Пусть о б л асть пр едставля ет с о б ой круговой цнлннд р[ 1 ].

D = {0 <  г < JL 0 <  л < 2 -я-, 0 < : }, тогда уравнение диффузии имеет вид

ёф _ ё ё<р ’ 1 5 ё<р 1 S-

—+ ^Р = —т^+А   ^+-ту^ +5(г-^ )        (3)

ст е о:   X ёг ёг г дл )

А краевые условия

y(r,A,s,O) = y(r,A,s)

• -«'У^-А, ■<=^, = /¹,Р        г=Л,

^а11"^А'--^-^Л-9 = -^.₁:        - = °т

• ^a2 2*^V""^7 А.2 ^~ /^2’        -~А

^(r,2,r,Z) =$Нг,2+2-л",сД)

Здесь также могут быть условия первого, второго и третьего родов или смешанного тнпа[3].

Задача (3X4) решается разнрстшы методом, рассмотренным в.

Аналогичным образам ммно рассмотреть уравнение (1) в области

• 2) = {0<г<Л, 0<2 <2-я, 0< 5<я-} представляющей шар с радиусом R. Тогда уравнение (1) имеет вид:

  

а краевые условия записываются как р{г,Л,е.0; = р(г,Л,6}

-«Г VT""Д^*^     г = К or

<р\г,л,У,/) = ^ г,л +2 я,6,0

Здесь такие могут быть условия по г первого, второго и третьего родов[4].

Если уравнение (1) рассматривается в полу шаре, тогда, соответственно, ставится условие при 6= —

"A sm^T^-A-^ = -/<2

а если область представляет

2> = {Л,<г<Я,, л, <2<2„ 6» < < 6^, ^<^2Т2,-2,<2-,т, 9,-вх <я} тогда краевые условия записываются в виде

5Z ^-ДГ^-Л :

^"^=~^5гr=R..

«1 ап^-Д,-^ = -/^

-®2 2ап^-£2 <Р = -^6=6

«, — -Д₄--Ар ^л=^

-A2^-Aj P=-Aj:^-=^:

сл

В этом случае также могут быть условия первого, второго и третьего родов и алгоритм решения не предстакляет трудности.

Теперь рассмотри?.! сопряженные уравнения.

Сопряженное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид

-—= — у—-+/*Др‘+Р                (8)

ct 6с 6с при начальных данных ф*=0 при t=L с граничными условиями типа (2). Если произвести замену независимый переменной r=T-t, то уравнение (8) переходит в уравнение ср' 6 ср'            „

--=-V--+ цЛ<р -др +Р ct сс сс с соответствующнмн начальными и краевыми условиями, которое не отличается от (1) и решается аналогично задаче (1X2) при заданных Р. Зная ф, ф*, можно вычислить требуемый функционал J, связанный с оптимизационный задачей по размещения?.! промышленных предприятий, выбросами действующих промышленных предприятий и т.д..

Сопряженные уравнения для (3), (5) записываются так ср   . ,   5   6р     (1 с 6р‘   1 д*р' '■ _

—- + t)

6 г         6с  6с    X 6г 6г  г* 6Я* )

6р'   - ,   1 6 ( , 6р I /    1 д*р' 1     6 . _ср' _

--+а <р = — гт--- +/' — — •—-^ + —--ап У--- + Т5 6г         г* 6г \    6г ,   (г’ап‘0 62 г" ап0 60     60 ’ при начальных данных ф*=0 при т=0; а краевые условия записываются аналогично (4), (б).

Задачу (3X4) решаем разностных методом. Введем сетку’по t k=^”

(A +А+А)У "^+JJ^" =-УЧ^)т /-H(-r„Ji,f-H) = /-H +^-^

Итак решение уравнения (3) на каждом временном шаге сводилось к решению трехмерного уравнения Гельмгольца. Методы решения его описаны в первой главе.

Рассмотрим подробное решение задачи (5)-(6). С обеих сторон уравнение (5) умножим на г2, дифференциальный оператор по t заменим разностньт и получим

(А+А + А)^-^| ^+^' ]<’ =-У1,            (9)

где

6 , 6         /I 6       6          ц С-

L = 7"Г , £...=—--ЯВУ . L. =—4---

' 6r 8r      sin 5 60    60"      sin* 0 дл*

У -r^F-rJ+^.r2

К уравнению (9) присоединим краевые условия

-а, иг²     - ^ У = -/<“, г = ^

УЧ^л, 0. 7) = У (г,2 +2-r,5,f)

Уравнение (9) представляет трехмерное уравнение эллиптического типа с разделяющимися переменными. В дальнейшем для не усложнения записи опустим верхней индекс.

Введем сетку s =^ = (/+0,5)А, / = 01,..4Ar+L А =Л/(Л;+1,5)}.

н напншем уравнение (9) при г=л^: с учетом краевых условный получим систему уравнений в матричном виде

(1_е-^)Ф+.<Ф = -К                    (10)

где

Матрицу t4^ можно представить в виде где столбцы матрицы Д.-являются собственным векторами^ соответствующее собственному числу ^матрицы^

Л. =Гл0,л1,.._,лл. i - диагональная матрица, состоящая из собственных чисел матрица^. Умножая (10) на В"', получим преобразованное уравнение (^+ши-^и=-г            (11)

где

3‘ф.ф            )

^ = -2,^4 < 0, / = О,LZ, ^ + 1

Соответственно преобразуется и условие периодичности

^’* (6,2) = ^°(6,2 + 2-я-)

Теперь вводим сетку по л

^ =(А =J"A^ J^L^-.A:)

и дифференциальный оператор по ^заменим разностным и преобразуя его получим дифференциальное уравнение вида

Теперь в уравнении (13) дифференциальный оператор заменим разностным и получим треп очечную систему уравнений с днагональньсл преобладанием, которая решается методам прогонки. Зная р'; , с помощью (14), (12) от функции ^ переходим к функции j,-a s-»

Повторяя этот процесс л - раз получим решение задачи (5)-(б) в момент времени t^n3t. Аналогично решаетсязадача(5)-(7) и соответствующие сопряженные задачи.

Литературы