Основные положения теории отражающей функции

Рассмотрим систему

X =X(t, x), teR, X^е=(X 1 , — X_u ) e Rⁿ,(1) считая, что ее правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по xi. Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через ^(t; т, х). Через I обозначим интервал существования решения ф(t; 0,х).

Пусть Ix={t: -te Ix}; D={(t, x): xe Rn , te IxHIx}.

Определение 1. Отражающей функцией системы (1) назовем функцию F: D^ Rⁿ , определяемую формулой F(t,x) = ^(-t; t,x).

Для отражающей функции справедливы свойства:

• 1.    Для любого решения x(t), t e ]_X (0) системы (1) справедливо тождество F(t,x(t))=x(-t).

• 2.    Для отражающей функции F любой системы выполнимы тождества

• 3.    Дифференцируемая функция F:D ^ Rⁿ будет отражающей функцией системы (1) с непрерывно дифференцируемой правой частью только тогда, когда она удовлетворяет основному соотношению

• 4.    Пусть решение x(t) системы (1) определено по крайней мере на полуинтервале [0;а), а дифференцируемая функция     F(t,x),

F (-t, F (t, x))≡ F(0 ,x)≡x.

F t + F_x X(t, x) + X (-t, F) = 0, F (0, x) ^ x. (3)

удовлетворяющая основному соотношению (3) определена во всех точках (t, x(t)), tG[0.a). Тогда это решение x(t) определено и на интервале (-а; 0) и при этом x(t)=F(-t, x(-t)) при tG(-a;0).

Лемма (Основная лемма). Пусть правая часть системы (1) 2ш —периодичная по t, а решения системы (1) однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отображение за период для системы (1) можно найти по формуле ф(ш; —ш, %) = F(—), %) и поэтому решение<р(Г; —ш,х₀) системы (1) будет 2ш — периодическим тогда и только тогда, когда х₀ есть решение недифференциальной системы F(-), %) = %.

В качестве следствия получаем следующее:

Утверждение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция X(t,x) 2_Ш — периодична и нечетна по t, т.е.

X(t+2W, x)=X(t,x) и X(-t, x) = -X(t,x).

Тогда всякое продолжимое на отрезок [—), ш]решение системы (1) будет 2Ш — переодическим и четным по t.

Как следует из основной леммы, знание отражающей функции 2 G)-периодической системы вида (1) позволяет определить отображение за период такой системы и, значит, найти начальные данные ее периодических решений и исследовать эти решения на устойчивость. Не интегрируемая в квадратурах система может иметь в качестве своей отражающей функции элементарную функцию. В самом деле, для любой не интегрируемой в квадратурах системы вида (1), для которой Х(0,х) = 0, можно построить систему

. ( X(t, x) при t > 0

X t—X(—t, x) при t<0

с нечетной по t правой частью. Эта система не интегрируема в квадратурах, а ее отражающая функция задаётся формулой F(t,x)= х. Сказанное выше иллюстрирует уравнение Риккатих = (х2 +cos2t) sintc отражающей функцией F(t,x) = х. Здесь ситуация напоминает ситуацию интегрирующем множителем с той разницей, что значение решения основного соотношения позволяет найти не решение самой системы, а ее отображение за период [—щ; щ].

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть все решения системы (1) 2_Ш —периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция F(t,x) этой системы 2_Ш —периодична по t.

Теорема 2. Пусть система (1) 2_Ш -периодична по t, а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех t Е [—2щ, 2щ]. Если, кроме того, отражающая функция этой системы 2_Ш -периодична по t, то все решения системы (1) периодичны с периодом 4_Ш.

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы (1) продолжимы на отрезок [-2щ, 2щ]. При этом заключение о 4_Ш -не периодичности можно сделать лишь, для тех решений, которые существуют при всех t Е [—2щ, 2щ].

Из щ — периодичности отражающей функции следует 2щ — периодичность всех продолжимых на [—щ, щ] решений периодической системы(1). Из 2щ — периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря2щ — переодичность решений 2щ — переодической системы, хотя следует их 4щ — переодичность.

Не следует думать, что если все решения 2ta —п1ернодической системы 2 о -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть <о -периодической. Этому противоречит пример уравнения х = xcost.

В случае, когда n = 1,. т.е. когда система (1) вырождается в уравнение, верна следующая теорема.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) 2( -периодично по t, а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех^ Е [—(, о]Тогда для того, чтобы все решения уравнения (1) были 2( -периодичны, необходима и достаточна 2( -периодичность по t отражающей функции этого уравнения.

Лемма 1. Для всякой непрерывно дифференцируемой функции F: D^ Rⁿ , для которой выполнены тождества (2), имеют место соотношения F , (-t, F (t, x)) s F , ^-1(t, x), F_t (-t, F (t, x)) s F , ^-1(t, x) F t (t, x).

Теорема 4 . Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции F: D^ Rⁿ, определенной в симметричной области D, содержащей гиперплоскость t = 0, х ER n , для которой выполнены тождества (2).

существует дифференциальная системах:=-0,5F , (-t, F)F_t , (t,x) ED, с непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с F(t,x).

Теорема 5. Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции F: D^ Rn, определенной в области DCR1+n, содержащей гиперплоскость t = 0, для которой выполнены тождества (2), при всех х € Rn и достаточно малых |t| существует дифференциальная система х = - [F, + Ер1 Ft,

Отражающая функция которой совпадает с F(t,x), а общий интеграл задается формулой F(t, х) + х = с = const.

Следствие. Дважды непрерывно дифференцируемая функция F: D^ Rⁿ является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества (2).

Системы, существование которых гарантируется теоремами 4 и 5, называются соответственно простой и простейшей.