Основные принципы и концепции моделирования задач магнитостатики

На современном этапе развития компьютерной техники методы виртуального моделирования физических процессов интенсивно внедряются в технологические области, что позволяет проводить мониторинг и прогнозирование основных характеристик вновь разрабатываемых приборов. Данный способ моделирования допускает производить анализ работоспособности прибора еще на этапе проектирования. Однако при полноценном проектировании требуется задавать определенные геометрические и физические свойства и условия, для того чтобы результаты расчета и эксперимента были сопоставимы. Поэтому виртуальное моделирование электронных приборов [1, 3, 5] связано с большим количеством технических проблем, так как задача свойств объекта и граничных условий приводит к созданию огромных массивов данных, которыми в дальнейшем будем оперировать. В связи с этим возникает необходимость указания требуемых свойств и условий, основываясь на цели самого исследования. В большинстве электронных устройств одним из главных узлов, определяющих его характеристики, является магнитная система. Поэтому оптимизация магнитных систем, обеспечивающих эффективную работу изделия, является актуальной задачей. Кроме того математическое моделирование магнитной системы позволяет исследовать те части самой конструкции, изучение которых в реальном эксперименте невозможно или очень трудоемко, что позволяет численным путем достаточно полно охарактеризовать параметры и конфигурацию магнитного поля, создаваемого системой.

В настоящей работе представлены основные принципы моделирования задачи магнитостатики и описан метод расчета магнита в виде тела вращения с прямоугольным осевым сечением.

Постановка магнитостатической задачи

На первом этапе разработки или оптимизации магнитной системы необходимо выбрать основные ее параметры: геометрический размер магнитов и магнитопровода, период, основной метод шиммирования магнита, величины ампервитков, индукции в канале, месторасположение катодов и т.д. Выбор этих параметров определяется в первую очередь принципами и ограничениями, обусловленными общей конструкцией изделия, включающей в себя помимо магнитной системы и другие узлы. Для случая, когда рассматривается только магнитная система основными параметрами служат: геометрический размер магнитов и магнитопровода, количество магнитов, распределение магнитной индукции на оси системы. На втором этапе задаются основные параметры и граничные условия: физические свойства материалов конструкции (магнитотвердый или магнитомягкий сплав магнитов, сплав магнитопровода).

Рассмотрим магнитную систему с вращательной симметрией. Одним из наиболее экономичных элементов, создающих поля с вращательной симметрией, является трубчатый или кольцевой постоянный магнит. С помощью такого магнита можно получить как однородные, так и неоднородные магнитные поля со сложным законом изменения напряженности вдоль оси фокусирующей системы.

Прежде чем приступить к расчету распределения магнитной индукции вдоль оси системы, решим частный случай этой задачи – рассчитаем магнитное поле одного магнита, который входит в ее состав. Воспользуемся теоремой Ампера об эквивалентности магнитов произвольной формы и токов:

j = с • rot/; i = с • \П/],                          (1)

где j - вектор средней плотности объемных молекулярных токов, / - вектор намагниченности, с - скорость света в вакууме, i - вектор средней плотности поверхностных молекулярных токов, п - единичный вектор нормали к поверхности магнита.

В цилиндрической системе координат для магнитов с осевой намагниченностью: Iz = I(z); Ip = Iy = 0, следовательно, выражение (1) запишется в виде J = 0, а поверхностные токи i = i = с • I • Sin/З, где в - угол между направлением вектора намагниченности и единичным вектором.

Известно, что осевая составляющая напряженности магнитного поля

Hz вдоль оси кругового тока ip записывается в виде:

2ni_vp 2

^z =  ,       3/ ,

c(p 2 +z^{2 ) 2}

где р0 - радиус кругового тока, z – расстояние вдоль оси, отсчитываемое от центра кругового тока.

Тогда выражение для напряженности поля вдоль его оси можно записать в виде:

г 1/2     R²(8y_z(8)d8

-1/2 3J[R2(8)+(z-8y]2

-

Г1/2     r²(8)I_z(8)d8   \

^^- l ^/2 3 /[r²(8)+(z-8y]² ,

где H(z) – осевая составляющая напряженности магнитного поля на оси магнита с осевой намагниченностью,

R(d) - функция изменения радиуса по внешней поверхности

магнита,

r(d) - функция изменения радиуса по внутренней поверхности магнита, l – длина магнита.

Найдем решение интегрального уравнения (2), записанного в общем виде для аксиально намагниченных магнитов с прямоугольным осевым сечением, учитывая, что R(d)=R=const, r(d)=r=const, а намагниченность однородная Iz= Ip =const:

l-2z

H(z) = -2nl_z   ,         ---

Jd² + (l- 2z)²

l + 2z             l — 2z

⁺ / ОХ,     О-- I            „

Jd² + (l + 2z)² JD² + (l- 2z)²

-

l + 2z     \

Jd2 + (l + 2z)2 ,

где H(z) – напряженность магнитного поля на оси кольцевого магнита с осевой намагниченностью,

D –внешней диаметр магнита, d –внутренней диаметр магнита.

Используя уравнение Максвелла, находим распределение магнитной индукции на оси магнита B(z)=ppOH(z). После чего аналитически или графически складывается распределение от всех магнитов, входящих в систему, и получаем распределение на оси системы. Такой аналитический метод можно улучшить с помощью модельного программирования.

Методы моделирования

На сегодняшний момент системы автоматизации проектирования — CAD (Computer Aided Design) и автоматизации инженерного анализа — CAE (Computer Aided Engineering) [2] являются основными для создания электронных моделей. Современные CAE-системы инженерного анализа (NISA, ELCUT, POISSON, KOMPOT, Comsol Multiphysics, ANSYS, Maxwell и др.) позволяют выполнить качественное моделирование различных физических систем, а также проанализировать их взаимодействие с внешними условиями, получив распределение электромагнитных полей, напряжений и т.д.

Отдавая должное специализированным пакетам программ для решения магнитостатических задач определенного типа, следует отметить вполне оправданное стремление разработчиков магнитных систем иметь инструмент математического моделирования магнитных систем простой в своем использовании и достаточно надежный в смысле полученных численных результатов, как в двумерном, так и в трехмерном случаях.

Работа в таких программах делится на три основных этапа: препроцессирование, решение задачи моделирования и анализ результатов. В этап препроцессирования входит: построение геометрии модели; дискретизация области моделирования на выбранные типы конечных элементов; задание свойств материалов.

При построении геометрии модели можно выбрать 2D или 3D конструирование образца в зависимости от возможностей прикладной программы. Далее следует выбрать метод численной обработки массивов данных, для чего следует знать ошибку свойств используемых материалов.

Обычно магнитные свойства материала определяются с погрешностью, достигающей ±5%, однако расхождение между экспериментальными и расчетными данными может достигать 10%. Учитывая, что погрешность измерения абсолютного значения магнитного потока в готовой системе достигает ±5%, то общая ошибка может доходить до ±15%. В этом смысле предпочтение среди численных методов можно отдать методу конечных элементов (МКЭ), т.к. ошибка этого метода составляет 7% [5]. Кроме того, данный метод позволяет исключить трудности, связанные с учетом влияния насыщения магнитной цепи на параметры машины. Так, например, во многих работах [1, 3] последнего времени переходные процессы рассчитываются путем численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а коэффициенты, входящие в эти уравнения, находятся на каждом шаге интегрирования с помощью многократных расчетов электромагнитного поля МКЭ. При использовании нелинейных магнитных материалов необходимо ввести как можно больше точек из кривой В (Н) для получения хорошего результата. Поскольку CAE-системы интерполирует между указанными точками кривой В (Н), применяя кубические сплайны, то введение малого количества точек приведет к линейности кривой В (Н), что не допустимо так как в ней имеются области с резкими изменениями ее формы.

Перед решением задачи моделирования задаются области с токовыми нагрузками (определяется плотность тока) и граничные условия. Самые распространенные границы магнитных полей – границы, к которым магнитный поток параллелен, т.е. условие Дирихле, и границы, к которым поток перпендикулярен – условия Неймана. Когда свойства модели и граничные условия заданы, можно строить сетку конечных элементов и производить расчёт модели.

Анализ заключается в получении результатов расчетов: распределения индукции; напряженности; векторного потенциала; топологии; индуктивности магнитного поля и так далее. Все результаты выводятся как в графическом виде, так и виде таблицы распределения по узлам модели [4, 5].

Таким образом, были рассмотрены основные особенности расчета магнитного поля и основные принципы и концепции решения магнитных полей в CAE-системах. С помощью простых конечно-элементных программ могут решаться практические и лабораторные задачи, возникающие при исследовательских работах, наглядно демонстрирующие физические процессы, протекающие в приборах.