Основные свойства предельных функций Азарина

Уточнённый порядок играет важную роль в теории роста субгармонических функции, в ряде других разделов математики.

Абсолютно непрерывная функция ^'. на полуоси называется уточнённым порядком, если выполняются следующие два условия :

• 1)    существует предел ■,

hm r liirp't/ ■ = 0

• 2)                   .

В приложениях чаще всего используется не сам уточнённый порядок

^C’ . , а функ-ция

. Отметим следующее свойство уточнённого порядка.

Теорема 1. для любого г > 0 существует предел lira

= Г и этот предел равномерный на любом сегменте

Если ^C’. – уточнённый порядок, то существует дифференцируемый, и даже анали-тический, уточнённый порядок £ ( ■’. такой, что

■i '

где .

Поэтому предположение о дифференцируемости уточнённого порядка часто не ограничивает общности рассуждений. В дальнейшем мы будем предполагать, что функ-ция ^C’. является непрерывно дифференцируемой на полуоси .

Рост произвольной функции

/и

сравнивается с ростом функции вида

Множество функций вида – это более широкое множество, чем множество степеней ,            , или множество функций вида

r*4hir ГЧЬ1-г )*\Д hr. г С       б/                               In г „

, где – вещественные числа, а – это -тая итерация логарифма. Например,         .

Пусть – положительная функция на полуоси . Порядком функции называется число

Важность понятия уточнённого порядка в теории роста функций можно усмотреть из следующей теоремы.

Положительная на полуоси функция называется регулярно меняющейся в смысле Караматы, если для любого существует конечный предел

Пусть р ( t ) - некоторый уточнённый порядок. На пространстве R c определяется одно-параметрическое семейство преобразований Азарина A_t : R-R , , t e ( 0 ,^ ) ,согласно формулам

Для любого борелевского множества E .

Пусть ф e Ф | R n ) . Формула переменных даёт

J ф ⁽ x ) dP t ⁽ x ) = Хд J Ф | x ) dP ⁽ t ) .(4.1) R 0 ⁿ                                    R 0 ⁿ

В этом разделе излагаются технические результаты, которые используются в следующем разделе.

Мы начнём с построения и оценок исключительного множества для меры.

Пусть рIr(-^уточнённый порядок, p-^положительная мера на Rn, n— фиксир-ованное строго положительное число. Обозначим через Eη множество тех точек, || x || > 2, для которых существует число а е| 0,2 ] такое, что

μ

Множество ^E η мы будем называть исключительным для меры μ . Это

название оправдывается тем, что при x£ E^x^ 0,

и

^{а е} ( ⁰ ■¹ ]

выполняется

неравенство

μ

Покажем, что для каждого x ^е E n существует а е ( 0, 2 ] , для которого выполняется неравенство

наибольшее из чисел

• (5.1).    Пусть A ( x ) -г

множество тех чисел ае (0,2], для которых выполняются неравенство (5.1), ax = A(x U, тогда существует последователь-ность вт такая, что вт е( 0 ,ax ] nA (x), lim вт=ax. Имеем m→∞

Р ^г

Это означает, что а_х е A ( x ) и нужное нам утверждение доказано.

Теорема. Пусть U n ( x ) -г последовательность субгармонических функций в области G с R m , которая сходится как последовательность обобщенных функций к обобщенной функции w . Тогда

• 1)    обобщенная функция w является регулярной обобщенной функцией, которая представ-ляется субгармонической функцией w ( x ) в области G ;

• 2)    если Р -г риссовкая мера w , а Р п ^-г риссовкая мера ^U n , то Р = lim Р п ( n ■ ^т ) ;

• 3)    справедлив принцип повышения: т.е. если x_n^ x е G ( n-ж ) , то lim г U n ( x n ) ( x ) ; г n→ ∞

• 4)    множество точек x е G , для которых выполняется неравенство ^{lim U} n ⁽ x n )< w ^{( x} ) , n→∞

имеет емкость нуль;

• 5)    для любой точки x е G выполняется равенство

гг

• 6)    если в -г положительная конечная финитная борелевская мера в G такая, что функция b ( y ) = J h m ( x - y ) de ( x ) непрерывна, то

^lim J ^U n ^{( x} ) d^{e ( x} ) = J w ^{( x} ) d^{e ( x} ) ;

n→∞

• 7)    если y -г положительная конечная финитная борелевская мера в G такая, что функция h m ( x - y ) : R m - L p ( y ) является равномерно непрерывной, то

J | ^U n ^{( x )-} w ^{( x} ) | p ^dY ^{( x} ) - ^{0 ( n} '^ ) -

Доказательство. Пусть Pn-гриссовкая мера Un. Функция Un и его риссовкая мера μn связаны соотношением dPn(x ) =^Un(У) dy-

Так как операция дифференцирования непрерывна из D в D , то последовательность μ n T 1 -сходится. Как известно, что D всюду плотное в пространство Ф . Поэтому последователь-ность ^μ n T -сходится.. Пусть

P =г T lim P_n , P =г T lim | p_n | ( n - ж ) .

Пусть компакт K с G таков, что мера Р не нагружает границу дК . Тогда из теоремы 4 следует, что

Pk = w lim (Pn)K, (1) n→∞ где индекс K означает, что берётся ограничение соответствующей меры на компакт K. В компакте K справедливо представление

^U n ⁽ x ) = J h m ⁽ x - У ) dP n ⁽ У ^{) +} u n ⁽ x ) , ⁽² ) где U m ( x ) - гармоническая функция во внутренность K компакта K . Пусть a ( x ) -б финитная в области K бесконечно дифференцируемая функция. Умножим равенство (6) на a ( x ) и про-интегрируем его. Меняя порядок интегрирования, получаем

J ^u n ⁽ x ) a ⁽ x ) ^dx = J b i ⁽ x ) ^d ( P n ) r ⁽ x H u n ⁽ x ) a ⁽ x ) dx, ⁽3 )

где

b i ^{( x} ) = J h m ^{( x -} У ) a ⁽ У ) dy.

По теореме 8 функция b 1 ( x ) непрерывна в R m и, в частности, в компакте K.

Теперь из (1) следует, что lim J b 1 ( x ) d ( Pn ) R ( x )=J b 1 ( x ) d ( P ) K ( x ) .

n→∞

По условию теоремы lim J un(x)a(x)dx=(w,a(x)).

n→∞

Тем самым доказано, что для любой функции предел

a ( x ) из D ( к ) существует

lim J u n ( x ) a ( x ) dx.

n→∞

По теорема 6 существует гармоническая в шаре

K функция u ( x ) такая, что

последователь-ность u n ( x ) равномерно сходится к u ( x ) на любом компакте K 1 О K .

Переходя к пределу в неравенстве (3), получаем

( w,a ⁽ x ) ) = f b i ⁽ x ) dp K ⁽ x ) + J u ⁽ x ) a ⁽ x ) dx = J ( J h n ⁽ x - y ) dp K ⁽ y ) + u ⁽ x ) ) a ⁽ x ) dx

K

Q ( J h n ^{( x -} У ) ^dP ⁽ У ^{)+ u ( x} ) ) a ^{( x} ) ^dx-

В качестве K можно брать любой компакттакой, что мера μ не нагружает границу ∂ K . Из этого следует, что w есть регулярная обобщенная функция, которая представляется субгар-монической функцией в области G Утверждение 1) теоремы доказано.

Из доказательства утверждения 1) теоремы следует, что риссовкая мера функции w — это есть p , и тем самым утверждение 2) теоремы доказано.

Теперь утверждение 3) – 5) теоремы следуют из хорошо известных фактов теории пот-енциала. Так, утверждение 3) есть следствие теоремы 1.3 из [6]. Утверждение 4) есть сле-ствие теоремы 3.8 из [6], утверждение 5) следует из замечания 2 к теореме 3.8 из [6].

Докажем утверждение 6). Пусть в равенстве (2) компакт K таков, что suppe о K 1 ,K 1 с K.

Интегрируя равенство (2) по мере β , получаем

J un(x) de (x ) = J b (x) d (Pn) K (x ) + J un(x) de (x )> где

b ⁽ x ) = J h m ⁽ x - У ) d^{e (} У ) .

Проведенное изменение порядка интегрирования законно, потому что ядро hm (x- У) знакопостоянно и теорему Фубини можно применить к мере (Цп)K. Так как b (x )-Lне-прерывная функция, то lim J ип(x) de (x = b(У) d(Ц)K(У )+f u(x) de (x)

n→∞

J ( J* h m ⁽ x — У ) dP R ⁽ У ⁾⁺ u ⁽ x ) ) d^{e (} x ) = J w ⁽ x ) d^{e (} x ) -

Утверждение 6) доказано.

Докажем теперь утверждение 7). Пусть

J n = (J L Un(x)-w (x)| pdY (x)) p, и пусть nk -Этакая последовательность, что lim L J n = lim Jn. L n→ ∞ k → ∞ k

Пусть число R таково, что suppYc Kи что Ц (dK)=0. Тогда, применяя неравенство Минковского, получаем

^J n ^ ( J | J h m ⁽ x — У ) d ( ( P n k ) K — Ц K ) ⁽ У ) | p dY ⁽ x ) ) ^Р

⁺ (/К ^{( z )-} u ⁽ x ) l p dY ⁽ x ) ) p = ^J 1 k + ^J 2 k -

Очевидно, что ^J 2 k - ^{0 ( k} '^X ) .Пусть p >1 . Для ^J i k справедлива формула

J1 k -II s II q^ 1 J s (x )J hm (x — У) d (( Pnk) K — Pk )(У ) dY ( z) , где q определяется из неравенства 1 / p+1 / q = 1, а норма вычисляется в пространстве Lq (Y). Как будет видно из дальнейшего,

s ⁽ x ) h m ⁽ x - У ) е L 1 ( R ^{2 m} , ( | ( p n k ) _K |+ | Ц к | ) ^х Y ) ⁽4 )

Поэтому в последнем интеграле возможна перестановка порядка интегрирования. После перестановки получаем

^J 1 k -II ^{s 1} q ^ ¹ J ( J ^{s (} x ) h m ^{( x -} У ) dY ^{( x} ) ) d ( ( Ц п „ ) к ^- Р к ) ⁽ У ) | -

Из неравенства Гёльдера и замечания к теореме 9 следует, что

| J ^{s (} x ) h m ^{( x} - У ) dY ^{( x} ) I ^ ( J I h n ⁽ x - У ) | p dY ^{( x} ) ) p ^M 1 -

Заметим, что сформулированное ранее утверждение (4) теперь очевидно.

Далее покажем, что семейство функций

F s ⁽ У ) = J s ^{( x} ) h m ⁽ x - У ) dY ⁽ x ) , II s II q ^ ¹ , является компактным в пространстве C ( K ) . Мы уже доказали равномерную ограниченность этого семейства. Неравенство Гёльдера дает

I F s ( У 2 ) - F s ( У 1 ) | ^ ( У 2 ,У 1 ) -

Теперь из ограничений п. 7) теоремы следует, что семейство функций F s ( У ) равност-епенно непрерывно. По теореме Арцела семейство F s ( У ) компактно. Далее теорема 5) дает ^J 1 k ^{— 0 ( k — ж} ) .

Мы рассмотрели случай p >1 . Пусть теперь p =1 . Тогда

J1 k = J (J sk(x) hm(x - У) dY(x)) d ((Pnk) K - Цк)(У), где

s k ⁽ x ) = sign J h m ⁽ x - У ) d ( ( P n k ) к ^- P k ) ⁽ У ) -

Последовательность

^F k ⁽ У ) = S s k ⁽ x ) h m ⁽ x - У ) dY ⁽ x )

является компактной в C ( K ) . Так же как и ранее, получаем, что J i к ^ 0⁽ k ^ ^ )• Поэтому J _т ^ 0 ( т ^^ж ) . Утверждение 7) и, следовательно, вся теорема доказаны.