Основные уравнения электродинамики и гидродинамики в координатах Эйлера

Эволюция системы во времени обеспечивается полной производной Ф по времени t :

ЭФ  ..дФ  dp дФ _п , _А

— + V— + —--= St Ф> 0, dt     dq   dt dp где V = dq - скорость; dp = F - сила и StФ - интеграл столкновений, представляющий со-dt               dt бой переход системы из равновесного состояния в неравновесное и обратно. Если StФ = 0, то состояние является равновесным, при St > 0 система неравновесна.

Уравнение (1) является основным для получения основных уравнений в статистической физике в зависимости от природы силы F и вида интеграла stf [1, 2].

Электродинамика

Данный раздел физики изучает макроскопическое поведение систем зарядов под действием электрического Е и магнитного H полей, определяемых законами Фарадея и Гаусса соответственно:

1 д А c д t

— grad ^ ;

H = rotA, где ф - скалярный потенциал электрического поля Е, A — векторный потенциал, опреде- ляющий, согласно уравнению (3), магнитное поле H .

Уравнения Максвелла устанавливают структуру следующих понятий электродинамики: rotE , rotH , divE и divH .                         (4)

Для установления свойств данной структуры (4) воспользуемся представлением (1). То гда при Ф = E и Ф = Н имеют место следующие равенства:

д E  „.бE  dp д E  _А

--+ V --+ — •--= 0 ;                         (5) д t      д q   dt д p

д Н   6Н dp д Н „ — + V — + —--= 0.                 (6) д t      д q   dt д p

Для удобства и наглядности всех последующих рассуждений представим выражения

(5) и (6) в виде:

д E    д E   dp д E — + V— = —  — ;                  (7) д t      д q     dt д p д Н . v 6Н _ dp д Н + V ----=---- .                                  (8) д t      д q     dt д p

Правым частям указанных уравнений (7) и (8) соответствуют следующие эквивалент- ные представления:

Г— dp BE V dt дp Г dp дН ) ^  VU дE  d dq  дE   dq дE  дE =--=--E. --= JE— = — = c • го1Н;   (9) v   m д V  dt dt ^^   dt д q   д t dt V U дН  d dq дН  dq дН  дН V dt дp где U - потенциальная энергия дл —        —        7   —       —    — ci OLE ,  (10) m д V  dt dt d я    dt дq   д t — дq     4 dt i силы dp — (—VU); ^U — —dq — ускорение. Для плос-dt            m   dt dt кого и криволинейного пространства-времени проведем преобразование координат ,    д q , dp   д q dq = — dt в =- = -Е.

д t       dt    д t

Определение divH . Для решения данной задачи в уравнении (8) вместо выражения

Г dp д н ^ V dt д p J

дНя^

divH используем равенство д q

д Н

=--. Тогда при постоянной скорости движения дt             1

V в выражении (3) имеет место:

д Н    „ дН

--+ VdivH =--

д t

д t

что приводит к уравнению Максвелла для divH :

divH = 0.                                  (12)

Определение divE . В этом случае при отсутствии явной зависимости E от времени д E

— = 0 в уравнении (7) имеет место равенство divE = divE . Поскольку E = —Vy, то д t divE = (- divgrady) = —V2y. Тогда для потенциала системы зарядов в виде pdV _ г 4npr dr _ 4npr rr2

выполняется divE = —V ф = 4 пр , что приводит к уравнению Гаусса:

divE = 4 пр

и уравнению Пуассона:

• V    2 p = - 4 пр .

Определение rotH . Для установления данного определения в равенстве (7) возможно следующее преобразование:

dpp 8 E ^ = dq B E = v ^ divE .

-

• V    dt д p J

dt dt

Согласно выражению (14), divE = 4 пр . Поэтому

V • divE = 4 ^o V = 4 n j , где j = p V — плотность потока. А это приводит уравнение (7) к виду

+ 4 n j = V • divE = - V V 2 ф = c • rotH .

д t

Таким образом:

1 дE4

rotH =+ —, c д tc что и составляет содержание еще одного уравнения Максвелла.

Определение rotE . Для решения данной задачи рассмотрим уравнение (8). Имеет ме- дH  дH сто равенство — =--, так как divH = ~H = 0, согласно уравнению (12). Учитывая вы- д t    д t                     дq ражение (3), получаем:

д H д t

д _   дA

= — rotA = rot --.

д t

д t

v    „ д H      д A  _п

Умножая --= rot — на

д t

д t

• - ¹ |, можно получить последнее уравнение Максвелла: c J

1 дH rotE —        , c д t

где rot

Г 1 д А )

---I = rotE, поскольку в уравнении (13) rot • grad p = 0 по определению. V c S t J

Таким образом, уравнения Максвелла можно получить исходя из представления (1).

Гидродинамика

Уравнение непрерывности . Для решения данной задачи используем в представлении (1) плотность массы Ф = р при St p = 0 :

д ^р_{+ v}pP_d ^dP ,д ^р _{= 0} д t      д q dt   дp    ’

где F = dp <  0 dt

-

сила, a p = p V — импульс. Применим теорему о перебросе производной:

+” Д П          +”  Д П т/

[ V LP = ( - 1) n г р^ V

:„ aq”       -7  aqn dp 6р_ урр для -у ~ = V ~ , что приводит выражение (18) при n = 1 к уравнению непрерывности в dt дq    дq виде:

"I p + V " grad p + р • div V = 0

или в сокращенном виде:

∂ ρ

+ divj = 0 , ∂t где j = ρV - плотность потока жидкости.

Уравнение движения в гидродинамике . Решение данной задачи требует в выражении

(1) представления Φ = p = ρV в виде гидродинамического импульса, где ρ - плотность жидкости. Тогда

∂V      ∂V  dp ∂ρ

ρ   + ρV ⋅   +   ⋅   = 0

.

∂t       ∂q   dt ∂p

В гидродинамике, если движение жидкости происходит только лишь под действием давления P , силу ^dp можно представить в виде градиента давления P :

dt

dp =∂P=∇P.

dt   ∂q

Для движения реальной жидкости надо учитывать еще и гравитационную силу Ньютона ρ∇ϕ , где ϕ - потенциальная энергия единицы массы жидкости, и силу сопротивления среды в виде силы вязкости

∂ ² V ^η

∂ q ²

= η ∇ ² V , где η -

вязкость. Для многих задач, особенно

при малых скоростях V, можно считать жидкость несжимаемой divV = 0 . При этих условиях уравнение движения приобретает следующий вид:

ЭК ЭКо

ρ + ρ V ⋅   +∇ P + ρ ∇ ϕ - η ∇ ² V = 0

∂t         ∂q

Данное выражение можно представить в форме:

∂V∂

ρ  + ρ V ⋅   = -∇ P - ρ ∇ ϕ + η ∇ ² V

∂t         ∂q

Уравнение Навье-Стокса . Данное уравнение является основным в гидродинамике и описывает зависимость скорости движения жидкости V от различных факторов, рассмотренных выше. Очевидно, что уравнение (22) можно дать в виде: