Основные уравнения континуальной теории уплотнения порошков с особыми свойствами

Одной из важных технологических операций в порошковой металлургии является операция формования заготовок или изделий, выполняемая путем уплотнения порошков и позволяющая получить необходимый комплекс механических, физических и специальных свойств изделий.

С середины прошлого века для установления зависимостей плотности заготовок от усилий их формования использовалась дискретно-контактная теория формования порошков [1–3], а начиная с 70-х годов для построения математических моделей уплотнения порошков все чаще используется континуальная теория, в которой порошок рассматривается как квазисплошная уплотняемая среда с заданными реологическими свойствами [4–6]. Следует отметить, что дискретно-контактная теория формования порошков не утратила своего значения и в настоящее время. Так, авторами данной статьи в публикации [3] представлены результаты проверки в промышленных условиях теоретических зависимостей плотности от усилий уплотнения порошков целого ряда ученых, полученных на основе этой теории. Оказалось, что зависимость, предложенная еще в 1948 году известным русским ученым М.Ю. Бальшиным [1], дает достоверные результаты при описании процесса уплотнения таких порошков с особыми свойствами, как порошки молибдена и вольфрама. Безусловно, континуальная теория открывает более широкие возможности для построения теории и математических моделей, позволяющих определять геометрические, кинематические и энергосиловые параметры процесса формования из порошков заготовок и изделий. В мире имеется богатейший опыт применения этой теории для построения математических моделей процессов обработки материалов давлением [7,8].

Дифференциальные уравнения механики в теории уплотнения квазисплошных порошков

Еще в 1822 году всемирно известный французский ученый О.Л. Коши первым опубликовал дифференциальные уравнения механики при деформации упругой сплошной среды. Силовые уравнения О.Л. Коши получил упрощением диф- ференциальных уравнений движения, полученных Л. Эйлером в 1755 году, пренебрегая уплотнением среды и считая массовые силы и ускорения среды незначительными. В качестве физического уравнения О.Л. Коши использовал известное уравнение, выведенное Р. Гуком в конце XVII века. Применяя указанные уравнения, а также полученные закономерности для напряженного и деформированного состояний, О.Л. Коши заложил основы новой науки – теории упругости.

Получение в конце XIX – начале XX века условий перехода от упругого к пластическому состоянию деформируемых тел послужило началом создания науки по теории пластичности. Основными уравнениями этой теории были также дифференциальные уравнения равновесия, полученные О.Л. Коши

& iij = 0, (1) где σ _i j – компоненты тензора напряжений.

Эти же уравнения положены в основу создаваемой в настоящее время теории деформации порошковых уплотняемых материалов [5, 6, 9]. В этой теории в качестве кинематического уравнения используется дифференциальное уравнение неразрывности деформации, полученное на основе одного из фундаментальных законов механики о постоянстве массы [9]

^ + pv_M = 0, (2) где p = p(x,y,z,t) - массовая плотность; v , -компоненты скорости частиц деформируемой среды.

В качестве примера построения этой теории на основе уравнений (1) и (2) можно привести материалы докторской диссертации Ю.Н. Логинова, посвященной исследованию процессов деформации некомпактных материалов с особыми свойствами [10]. Для получения замкнутой системы уравнений Ю.Н. Логинов, кроме уравнений механики (1) и (2), использует физические уравнения связи между компонентами напряжений и скоростями деформаций, полученные на основе гипотезы о пропорциональности компонентов девиаторов напряжений и скоростей деформации

Sy=^i^, (3) где S t] - компоненты девиатора напряжений; ^ii - компоненты девиатора скорости деформации;

Т – интенсивность касательных напряжений; Н – интенсивность скорости деформации.

Но так как из девиатора напряжений исключена «гидростатическая» составляющая нормальных напряжений, без которой невозможно сформировать из порошка заготовку и уплотнить ее, то Ю.Н. Логинов находит функции Т и среднего нормального напряжения σ из опытов по осадке пористых образцов и их прессованию в замкнутом контейнере в виде

В общем случае функция текучести и условие текучести имеют вид

^ф(^a xx , ^a yy, ^a zz, ^a xy , ^ayz,^azx ^ _ (a xx -a yy )² + (g yy -a zz )² + (a zz -a xx )

+

^(axx^+ayy^+azz )

9° 2

9т 2 ,²

.

.2 +

Т _ Т(Н, Л, е, Ро, 0); a = a(Н, Л, е, Ро, 0),

После выполнения вычислений в уравнениях (5) с учетом значений функций текучести (10) и преобразований получим уравнения связи напряженного и деформированного состояний для уплотняемых сред

где Л - степень деформации сдвига; е - степень объемной деформации; р _о - плотность порошка перед формованием; ϴ – гомологическая температура порошка при формовании.

В последнее время в теории пластичности и теории деформации порошковых уплотняемых материалов вместо уравнений связи (3) широко используется так называемый ассоциированный закон течения [11, 12], записываемый уравнениями

axx

^a yy

azz

_(1 _(1 = (1

—

—

—

"1\.^^

_CT2 ^ ^{a +} H ^ ^XX;

llV-L^T? a² ) ^{a +} H ^ ^yy;

zlA^.^Tr □ 2 ) ^{a +} H ^ ^zz;

ЭФ _ . t

^_ Ф?1;, ^aaij         '

где Ф – функция текучести.

Причем этот закон течения выполняется только в случае, когда напряжения a_i j удовлетворяют принятому условию текучести.

В наибольшей мере уплотняемые порошковые материалы отвечают эллиптическому условию текучести Р.Дж. Грина [13], когда функция текучести принимает вид

_ 2Т _

• ^a xy "H" bxy ;

_ 2T _

• ^ayz "^" b yz ;

_ 2T

• azx    "H" Szx.

В этих уравнениях среднее нормальное напряжение σ связано со скоростью относительного изменения объема ξ следующей зависимостью

„ _ ²T ° 2 r ^a"^^ z i ^.

T 2

где т_окт- октаэдрическое напряжение.

Условие текучести (6) можно модернизировать [12], если константы a и b определить из простейших опытов на чистый сдвиг и на сжатие.

В условиях чистого сдвига a^ _ —a₃₃_ т_х, a₂₂_ 0, откуда a _ т_х. В условиях всестороннего сжатия an _ a₂₂_ a₃₃_ a_s.

С учетом полученных значений констант условие (6) примет вид

Интегральные уравнения механики в теории уплотнения квазисплошных порошков

На деформируемый объем порошка V, ограниченный поверхностью S, действуют активные поверхностные силы p_i, и частицы порошка при этом перемещаются со скоростями υi. Откуда мощность поверхностных сил определится интегралом

/s PiVids = 0.

Используя известную формулу Остроградско-го–Гаусса [14], преобразуем поверхностный интеграл в объемный, выражающий мощность, развиваемую внутренними напряжениями a_ij при скоростях деформации ^_ij-

т 2        гт2

¹окт | °   __ 4

т2 ⁺°2 = 1,

4 Oij^ij^dV = 0.

где тх = тх(р), as = as(p).

В первом приближении значения функций τs(ρ) и σs(ρ) можно представить зависимостями

Уравнения (13) и (14) позволяют записать условие сохранения механической энергии, часто называемое основным энергетическим уравнением [15]

Tsto = Tsk(1 +A In-^-) ;

V           Pk'

a_s(p) = a^k_s(1+A ln-P)", Pk

J_sp_iv_i^ds - J_v a_ij^_ij^dV = 0.

где A и n – физические константы обрабатываемых материалов; индекс k показывает, что величина характеризует компактный материал.

Подставляя в уравнение (7) значения τокт и σ, получим условие текучести, записанное в главных напряжениях

Другим интегральным уравнением механики является вариационное уравнение принципа наименьшей полной энергии деформации [9]

4 a^dV-^ p_tv*dS>0,

(£11~£22)^+(£22~£зз)^+(2зЗ~£11)'

^т$

+

+

(211+£22+£зз1

^a2

-_ 9.

где ^_ij- и ^*j - компоненты тензора скоростей деформации, соответствующие действительному и кинематически возможному состояниям; v_i и vf -составляющие поля скоростей течения, соответствующие действительному и кинематически возможному состояниям.

Основное энергетическое уравнение (15), записанное для действительного напряженно-дефор-

мированного состояния, можно представить в следующем виде, если пренебречь мощностью сил инерции (Nи) и массовых сил (Nx) [16, 17],

N_a - Np = 0, (17) где N_a - мощность внутренних напряжений; N_p -мощность поверхностных сил.

Для уплотняемых материалов мощность внутренних напряжений затрачивается как на формоизменение (Nф), так и на объемное уплотнение (N_v) материала

N_a = Nф + Nv =

= №_vTHdV + 3№_v ^W. (18)

Мощность поверхностных сил, в свою очередь, складывается из мощности нормальных (Nn) и касательных (Nτ) напряжений

Np = N„ + NT =

• = fl_s o_nv_ndS + fl_s v_TT_ndS. (19)

Если пренебречь мощностью сил инерции и мощностью массовых сил ввиду их малости, то основное энергетическое уравнение для уплотняемых материалов запишется так

Шv THdV + 3Шv o^dV-

• - fl's o_nv_ndS + fl_s VT^ndS = 0. (20)

Приведенные выше дифференциальные и интегральные уравнения механики достаточно часто используются для построения математических моделей доуплотнения пористых скомпактирован-ных из порошков заготовок [5, 6, 19–22]. К сожалению, по применению этих уравнений для построения математических процессов уплотнения порошков имеются лишь отдельные публикации [23, 24].

Стадии процесса уплотнения порошков с особыми свойствами

Экспериментально изучать процесс уплотнения порошков, а затем теоретически его описывать ученые начали еще в первой половине ХХ века [1, 2, 4, 5]. Уже в первой своей монографии по порошковой металлургии [1] М.Ю. Бальшин весь процесс уплотнения порошка в пресс-формах делит на три стадии. Дальнейшими исследованиями отечественных и зарубежных ученых [3, 26–28] установлено, что на первой стадии процесса уплотнения порошков, названной структурным уплотнением, деформации осуществляются за счет более рациональной структурной укладки частиц и их взаимной упругой деформации, на второй стадии за счет возникновения и роста поверхностей взаимного контакта частиц, а на третьей – за счет пластической деформации частиц порошка.

Исследованиями последних лет [10, 29] установлено, что стадия структурного уплотнения для порошков на основе железа, меди и других метал- лов с обычными свойствами преобладает на начальной стадии уплотнения и часто совмещается со второй стадией. Для порошков металлов и сплавов с особыми свойствами, к которым относятся, прежде всего, порошки таких тугоплавких металлов как вольфрам и молибден, а также суперсплавы на основе никеля, кобальта и титана, содержащие интерметаллиды, оксидную, карбидную, нитридную, боридную и другую керамику, стадия структурного уплотнения является продолжительной и часто единственной. Усилие уплотнения таких порошков с особыми свойствами может быть рассчитано на основе дискретноконтактной теории формования, что подтверждено авторами статьи в публикации [3].

Исследование выполнено в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» Государственный контракт № 14.513.11.088 от 21.06.2013