Основные уравнения континуальной теории уплотнения порошков с особыми свойствами
Автор: Самодурова Марина Николаевна, Барков Леонид Андреевич, Иванов Василий Александрович, Яров Булат Ажуватович
Журнал: Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Металлургия @vestnik-susu-metallurgy
Статья в выпуске: 2 т.13, 2013 года.
Бесплатный доступ
Представлен анализ опыта применения известных базовых уравнений континуальной теории для описания процессов уплотнения порошков с особыми свойствами.
Континуальная теория, основные уравнения, определяющие соотношения, уплотнение, порошки
Короткий адрес: https://sciup.org/147156838
IDR: 147156838
Текст научной статьи Основные уравнения континуальной теории уплотнения порошков с особыми свойствами
Одной из важных технологических операций в порошковой металлургии является операция формования заготовок или изделий, выполняемая путем уплотнения порошков и позволяющая получить необходимый комплекс механических, физических и специальных свойств изделий.
С середины прошлого века для установления зависимостей плотности заготовок от усилий их формования использовалась дискретно-контактная теория формования порошков [1–3], а начиная с 70-х годов для построения математических моделей уплотнения порошков все чаще используется континуальная теория, в которой порошок рассматривается как квазисплошная уплотняемая среда с заданными реологическими свойствами [4–6]. Следует отметить, что дискретно-контактная теория формования порошков не утратила своего значения и в настоящее время. Так, авторами данной статьи в публикации [3] представлены результаты проверки в промышленных условиях теоретических зависимостей плотности от усилий уплотнения порошков целого ряда ученых, полученных на основе этой теории. Оказалось, что зависимость, предложенная еще в 1948 году известным русским ученым М.Ю. Бальшиным [1], дает достоверные результаты при описании процесса уплотнения таких порошков с особыми свойствами, как порошки молибдена и вольфрама. Безусловно, континуальная теория открывает более широкие возможности для построения теории и математических моделей, позволяющих определять геометрические, кинематические и энергосиловые параметры процесса формования из порошков заготовок и изделий. В мире имеется богатейший опыт применения этой теории для построения математических моделей процессов обработки материалов давлением [7,8].
Дифференциальные уравнения механики в теории уплотнения квазисплошных порошков
Еще в 1822 году всемирно известный французский ученый О.Л. Коши первым опубликовал дифференциальные уравнения механики при деформации упругой сплошной среды. Силовые уравнения О.Л. Коши получил упрощением диф- ференциальных уравнений движения, полученных Л. Эйлером в 1755 году, пренебрегая уплотнением среды и считая массовые силы и ускорения среды незначительными. В качестве физического уравнения О.Л. Коши использовал известное уравнение, выведенное Р. Гуком в конце XVII века. Применяя указанные уравнения, а также полученные закономерности для напряженного и деформированного состояний, О.Л. Коши заложил основы новой науки – теории упругости.
Получение в конце XIX – начале XX века условий перехода от упругого к пластическому состоянию деформируемых тел послужило началом создания науки по теории пластичности. Основными уравнениями этой теории были также дифференциальные уравнения равновесия, полученные О.Л. Коши
& iij = 0, (1) где σ i j – компоненты тензора напряжений.
Эти же уравнения положены в основу создаваемой в настоящее время теории деформации порошковых уплотняемых материалов [5, 6, 9]. В этой теории в качестве кинематического уравнения используется дифференциальное уравнение неразрывности деформации, полученное на основе одного из фундаментальных законов механики о постоянстве массы [9]
^ + pvM = 0, (2) где p = p(x,y,z,t) - массовая плотность; v , -компоненты скорости частиц деформируемой среды.
В качестве примера построения этой теории на основе уравнений (1) и (2) можно привести материалы докторской диссертации Ю.Н. Логинова, посвященной исследованию процессов деформации некомпактных материалов с особыми свойствами [10]. Для получения замкнутой системы уравнений Ю.Н. Логинов, кроме уравнений механики (1) и (2), использует физические уравнения связи между компонентами напряжений и скоростями деформаций, полученные на основе гипотезы о пропорциональности компонентов девиаторов напряжений и скоростей деформации
Sy=^i, (3) где S t] - компоненты девиатора напряжений; ^ii - компоненты девиатора скорости деформации;
Т – интенсивность касательных напряжений; Н – интенсивность скорости деформации.
Но так как из девиатора напряжений исключена «гидростатическая» составляющая нормальных напряжений, без которой невозможно сформировать из порошка заготовку и уплотнить ее, то Ю.Н. Логинов находит функции Т и среднего нормального напряжения σ из опытов по осадке пористых образцов и их прессованию в замкнутом контейнере в виде
В общем случае функция текучести и условие текучести имеют вид
ф(a xx , a yy, a zz, a xy , ayz,azx ^ _ (a xx -a yy )2 + (g yy -a zz )2 + (a zz -a xx )
+
(axx+ayy+azz )
9° 2
9т 2 ,2
.
.2 +
Т _ Т(Н, Л, е, Ро, 0); a = a(Н, Л, е, Ро, 0),
После выполнения вычислений в уравнениях (5) с учетом значений функций текучести (10) и преобразований получим уравнения связи напряженного и деформированного состояний для уплотняемых сред
где Л - степень деформации сдвига; е - степень объемной деформации; р о - плотность порошка перед формованием; ϴ – гомологическая температура порошка при формовании.
В последнее время в теории пластичности и теории деформации порошковых уплотняемых материалов вместо уравнений связи (3) широко используется так называемый ассоциированный закон течения [11, 12], записываемый уравнениями
axx
a yy
azz
_(1 _(1 = (1
—
—
—
"1\.^^
CT2 ^ a + H ^ XX;
llV-L^T? a2 ) a + H ^ yy;
zlA^.^Tr □ 2 ) a + H ^ zz;
ЭФ _ . t
_ Ф?1;, aaij '
где Ф – функция текучести.
Причем этот закон течения выполняется только в случае, когда напряжения ai j удовлетворяют принятому условию текучести.
В наибольшей мере уплотняемые порошковые материалы отвечают эллиптическому условию текучести Р.Дж. Грина [13], когда функция текучести принимает вид
_ 2Т _
-
a xy "H" bxy ;
_ 2T _
-
ayz "^" b yz ;
_ 2T
-
azx "H" Szx.
В этих уравнениях среднее нормальное напряжение σ связано со скоростью относительного изменения объема ξ следующей зависимостью
„ _ 2T ° 2 r a"^^ z i ^.
T 2 где токт- октаэдрическое напряжение. Условие текучести (6) можно модернизировать [12], если константы a и b определить из простейших опытов на чистый сдвиг и на сжатие. В условиях чистого сдвига a^ _ —a33_ тх, a22_ 0, откуда a _ тх. В условиях всестороннего сжатия an _ a22_ a33_ as. С учетом полученных значений констант условие (6) примет вид Интегральные уравнения механики в теории уплотнения квазисплошных порошков На деформируемый объем порошка V, ограниченный поверхностью S, действуют активные поверхностные силы pi, и частицы порошка при этом перемещаются со скоростями υi. Откуда мощность поверхностных сил определится интегралом /s PiVids = 0. Используя известную формулу Остроградско-го–Гаусса [14], преобразуем поверхностный интеграл в объемный, выражающий мощность, развиваемую внутренними напряжениями aij при скоростях деформации ^ij- т 2 гт2 1окт | ° __ 4 т2 +°2 = 1, 4 Oij^ijdV = 0. где тх = тх(р), as = as(p). В первом приближении значения функций τs(ρ) и σs(ρ) можно представить зависимостями Уравнения (13) и (14) позволяют записать условие сохранения механической энергии, часто называемое основным энергетическим уравнением [15] Tsto = Tsk(1 +A In-^-) ; V Pk' as(p) = aks(1+A ln-P)", Pk Jspivids - Jv aij^ijdV = 0. где A и n – физические константы обрабатываемых материалов; индекс k показывает, что величина характеризует компактный материал. Подставляя в уравнение (7) значения τокт и σ, получим условие текучести, записанное в главных напряжениях Другим интегральным уравнением механики является вариационное уравнение принципа наименьшей полной энергии деформации [9] 4 a^dV-^ ptv*dS>0, (£11~£22)^+(£22~£зз)^+(2зЗ~£11)' т$ + + (211+£22+£зз1 a2 -_ 9. где ^ij- и ^*j - компоненты тензора скоростей деформации, соответствующие действительному и кинематически возможному состояниям; vi и vf -составляющие поля скоростей течения, соответствующие действительному и кинематически возможному состояниям. Основное энергетическое уравнение (15), записанное для действительного напряженно-дефор- мированного состояния, можно представить в следующем виде, если пренебречь мощностью сил инерции (Nи) и массовых сил (Nx) [16, 17], Na - Np = 0, (17) где Na - мощность внутренних напряжений; Np -мощность поверхностных сил. Для уплотняемых материалов мощность внутренних напряжений затрачивается как на формоизменение (Nф), так и на объемное уплотнение (Nv) материала Na = Nф + Nv = = №vTHdV + 3№v ^W. (18) Мощность поверхностных сил, в свою очередь, складывается из мощности нормальных (Nn) и касательных (Nτ) напряжений Np = N„ + NT = = fls onvndS + fls vTTndS. (19) Если пренебречь мощностью сил инерции и мощностью массовых сил ввиду их малости, то основное энергетическое уравнение для уплотняемых материалов запишется так Шv THdV + 3Шv o^dV- - fl's onvndS + fls VT^ndS = 0. (20) Приведенные выше дифференциальные и интегральные уравнения механики достаточно часто используются для построения математических моделей доуплотнения пористых скомпактирован-ных из порошков заготовок [5, 6, 19–22]. К сожалению, по применению этих уравнений для построения математических процессов уплотнения порошков имеются лишь отдельные публикации [23, 24]. Стадии процесса уплотнения порошков с особыми свойствами Экспериментально изучать процесс уплотнения порошков, а затем теоретически его описывать ученые начали еще в первой половине ХХ века [1, 2, 4, 5]. Уже в первой своей монографии по порошковой металлургии [1] М.Ю. Бальшин весь процесс уплотнения порошка в пресс-формах делит на три стадии. Дальнейшими исследованиями отечественных и зарубежных ученых [3, 26–28] установлено, что на первой стадии процесса уплотнения порошков, названной структурным уплотнением, деформации осуществляются за счет более рациональной структурной укладки частиц и их взаимной упругой деформации, на второй стадии за счет возникновения и роста поверхностей взаимного контакта частиц, а на третьей – за счет пластической деформации частиц порошка. Исследованиями последних лет [10, 29] установлено, что стадия структурного уплотнения для порошков на основе железа, меди и других метал- лов с обычными свойствами преобладает на начальной стадии уплотнения и часто совмещается со второй стадией. Для порошков металлов и сплавов с особыми свойствами, к которым относятся, прежде всего, порошки таких тугоплавких металлов как вольфрам и молибден, а также суперсплавы на основе никеля, кобальта и титана, содержащие интерметаллиды, оксидную, карбидную, нитридную, боридную и другую керамику, стадия структурного уплотнения является продолжительной и часто единственной. Усилие уплотнения таких порошков с особыми свойствами может быть рассчитано на основе дискретноконтактной теории формования, что подтверждено авторами статьи в публикации [3]. Исследование выполнено в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» Государственный контракт № 14.513.11.088 от 21.06.2013
Список литературы Основные уравнения континуальной теории уплотнения порошков с особыми свойствами
- Бальшин, М.Ю. Порошковая металлургия/М.Ю. Бальшин. -М.: Машгиз, 1948. -254 с.
- Жданович, Г.М. Теория прессования металлических порошков/Г.М. Жданович. -М.: Металлургия, 1969. -264 с.
- Теоретические и экспериментальные зависимости плотности от усилий компактирования порошковых заготовок/М.Н. Самодурова, Л.А. Барков, С.А. Мымрин и др.//Вестник Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. «Металлургия». -2013. -Т. 13, № 1. -С. 150-153.
- Кипарисов, С.С. Закономерности уплотнения порошковых материалов/С.С. Кипарисов, В.Е. Перельман, О.В. Роман//Порошковая металлургия. -1977. -№ 12. -С. 39-44.
- Перельман, В.Е. Формование порошковых материалов/В.Е. Перельман. -М.: Металлургия, 1979. -232 с.
- Феноменологические теории прессования порошков/М.Б. Штерн, Г.Г. Сердюк, Л.А. Максименко и др. -Киев: Наукова думка, 1982. -140 с.
- Гун, Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением/Г.Я. Гун. -М.: Металлургия, 1983. -352 с.
- Гуляев, Ю.Г. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением/Ю.Г. Гуляев, С.А. Чукмасов, А.В. Губинский. -Киев: Наукова думка, 1986. -240 с.
- Колмогоров, В.Л. Механика обработки металлов давлением/В.Л. Колмогоров. -Екатеринбург: Изд-во УПИ, 2001. -С. 85-87.
- Логинов, Ю.Н. Исследование процессов деформации некомпактных материалов с особыми свойствами: автореф. дис.. д-ра техн. наук/Ю.Н. Логинов. -Екатеринбург: Изд-во УПИ, 2002. -36 с.
- Друянов, Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел/Б.А. Друянов -М.: Машиностроение, 1989. -168 с.
- Каменщиков, Ю.И. Теория деформируемости материалов/Ю.И Каменщиков, Л.А. Барков. -Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1995. -123 с.
- Грин, Р.Дж. Теория пластичности пористых тел/Р.Дж. Грин//Механика: сб. пер. -1973. -№ 4. -С. 109-120.
- Колмогоров, В.Л. Напряжения, деформации, разрушение/В.Л. Колмогоров. -М.: Металлургия, 1970. -229 с.
- Гун, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением/Г.Я. Гун. -М.: Металлургия, 1980. -456 с.
- Основные уравнения теории уплотняемых материалов/Л.А. Барков, Ю.И. Каменщиков, Б.А. Чаплыгин и др.//Проблемы развития металлургии Урала рубежа XXI века: сб. науч. тр. -Магнитогорск, 1996. -С. 113-118.
- Барков, Л.А. Прокатка малопластичных металлов с многосторонним обжатием/Л.А. Барков, 1988. -304 с.
- Рудской, А.И. Разработка новых порошковых материалов и развитие теории их пластического деформирования с целью получения изделий со специальными физико-механическими свойствами: автореф. дис.. д-ра техн. наук/А.И. Рудской. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. -31 с.
- Сегал, В.М. Пластическая деформация пористых тел/В.М. Сегал//Пластическая деформация легких и специальных сплавов. -1982. -№ 2. -С. 37-42.
- Григорьев, А.К. Энергетические методы решения технологических задач пластичности пористых тел/А.К. Григорьев, А.И. Рудской//Порошковая металлургия. -1988. -№ 5. -С. 6-10.
- Моргун, Г.Н. Обработка порошковых материалов давлением/Г.Н. Моргун//Итоги науки и техники. Сер. «Порошковая металлургия». -М.: ВИНИТИ, 1989. -Т. 3. -С. 67-124.
- Григорьев, А.К. Деформация и уплотнение порошковых материалов/А.К. Григорьев, А.И. Рудской. -М.: Металлургия, 1992. -192 с.
- Shima, S. Plasticity theory for porous metals/S. Shima, M. Oyane//Int. J. Mech. Sci. -1976. -Vol. 18, no. 6. -Р. 285-291.
- Барков, Л.А. Математическое моделирование процесса прессования изделий типа втулки из порошковых магнитных материалов/Л.А. Барков, П.А. Ческидов, М.Н. Самодурова//Вестник Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. «Машиностроение». -2004. -Вып. 5, № 5 (34). -С. 149-153.
- Barkov, L.A. Consolidation model of powder materials/L.A. Barkov, P.A. Cheskidov//Jr. of World Congress. -Paris, 1994. -P. 561-566.
- Экспериментальное исследование процесса холодного прессования штабиков из порошков вольфрама/С.А. Мымрин, В.Э. Кузнецов, Л.А. Барков и др.//Кузнечно-штамповочное производство. -1990. -№ 9. -С. 15-18.
- Андреева, Н.В. Исследование уплотняемости порошков/Н.В. Андреева, И.Д. Радомысельский, Н.И. Щербаков//Порошковая металлургия. -1975. -№ 6. -С. 32-42.
- Shima, S. A study of forming of metal powders//Doct. Eng. Thesis. -Kyoto, 1975. -200 p.
- Александров, А.Э. Разработка методов математического моделирования технологий обработки давлением порошковых и пористых материалов: дис.. канд. техн. наук: 05.16.05/А.Э. Александров. -СПб., 2009. -163 с.
- al'shin M.Yu. Poroshkovaya metallurgiya [Powder metallurgy]. Moscow, Mashgiz, 1948. 254 p.
- Zhdanovich G.M. Teoriyapressovaniya metallicheskikhporoshkov [Theory of Pressing of Metal Powders]. Moscow, Metallurgiya, 1969. 264 p.
- Samodurova M.N., Barkov L.A., Mymrin S.A., Ivanov V.A., Dzhigun N.S. Theoretical and Experimental Dependences of Density on the Force of Compaction of Powder Blanks [Teoreticheskie i eksperimental'nye zavi-simosti plotnosti ot usiliy kompaktirovaniya poroshkovykh zagotovok]. Bulletin of the South Ural State University. Series “Metallurgy”, 2013, vol. 13, no. 1, pp. 150-153.
- Kiparisov S.S., Perel'man V.E., Roman O.V. Laws of Compaction of Powder Materials [Zakonomernosti uplotneniya poroshkovykh materialov]. Poroshkovaya metallurgiya, 1977, no. 12, pp. 39-44.
- Perel'man V.E. Formovanieporoshkovykh materialov [Forming of Powder Materials]. Moscow, Metallurgiya, 1979. 232 p.
- Shtern M.B., Serdyuk G.G., Maksimenko L.A. et al. Fenomenologicheskie teorii pressovaniya poroshkov [Phenomenological Theories of Powder Pressing]. Kiev, Naukova Dumka, 1982. 140 p.
- Gun G.Ya. Matematicheskoe modelirovanie protsessov obrabotki metallov davleniem [Mathematical Modeling of Metal Forming Processes]. Moscow, Metallurgiya, 1983. 352 p.
- Gulyaev Yu.G., Chukmasov S.A., Gubinskiy A.V. Matematicheskoe modelirovanie protsessov obrabotki metallov davleniem [Mathematical Modeling of Metal Forming Processes]. Kiev, Naukova Dumka, 1986. 240 p.
- Kolmogorov V.L. Mekhanika obrabotki metallov davleniem [Mechanics of Metal Forming]. Ekaterinburg, USTU Publ., 2001. 836 p.
- Loginov Yu.N. Issledovanie protsessov deformatsii nekompaktnykh materialov s osobymi svoystvami. Dokt. diss. [Investigation of the Processes of Deformation of Non-Compact Materials with Special Properties. Doct. diss.]. Ekaterinburg, 2002. 394 p.
- Druyanov B.A. Prikladnaya teoriya plastichnosti poristykh tel [Applied Theory of Plasticity of Porous Bodies]. Moscow, Mashinostroenie, 1989. 168 p.
- Kamenshchikov Yu.I., Barkov L.A. Teoriya deformiruemosti materialov [Theory of Materials Deforma-bility]. Chelyabinsk, ChSTU Publ., 1995. 123 p.
- Green R.J. A Plasticity Theory for Porous Solids. Int. J. Mech. Sci., 1972, vol. 14, no. 4, pp. 215-224 DOI: 10.1016/0020-7403(72)90063-X
- Kolmogorov V.L. Napryazheniya, deformatsii, razrushenie [Stresses, Strains, Fracture]. Moscow, Metallurgiya, 1970. 229 p.
- Gun G.Ya. Teoreticheskie osnovy obrabotki metallov davleniem [Theoretical Bases of Metal Forming]. Moscow, Metallurgiya, 1980. 456 p.
- Barkov L.A., Kamenshchikov Yu.I., Chaplygin B.A. et al. Osnovnye uravneniya teorii uplotnyaemykh materialov [The Basic Equations of the Theory of Compacted Materials]. Problemy razvitiya metallurgii Urala rubezha XXI veka [Problems of Development of Metallurgy of the Ural on the Threshold of the XXI Century]. Magnitogorsk, 1996, pp. 113-118.
- Barkov L.A., Vydrin V.N., Pastukhov V.V., Chernyshev V.N. Prokatka maloplastichnykh metallov s mnogostoronnim obzhatiem [Rolling Low-Plastic Metals with a Multilateral Compression]. Chelyabinsk, Metal-lurgiya, 1988. 304 p.
- Rudskoy A.I. Razrabotka novykh poroshkovykh materialov i razvitie teorii ikh plasticheskogo deformiro-vaniya s tsel'yu polucheniya izdeliy so spetsial'nymi fiziko-mekhanicheskimi svoystvami. Avtoref. dokt. diss. [Development of New Powder Materials and the Theory of Their Plastic Deformation to Obtain Products with Specific Physical and Mechanical Properties. Abstract of doct. diss.]. St. Petersburg, 1998. 31 p.
- Segal V.M. Plastic Deformation of Porous Bodies [Plasticheskaya deformatsiya poristykh tel]. Plasti-cheskaya deformatsiya legkikh i spetsial'nykh splavov. T. 2. [Plastic Deformation of Light and Special Alloys. Vol. 2]. Moscow, Metallurgiya, 1982, pp. 37-42.
- Grigor'ev A.K., Rudskoy A.I. Energy Methods for Solving Technological Problems of Plasticity of Porous Bodies [Energeticheskie metody resheniya tekhnologicheskikh zadach plastichnosti poristykh tel]. Poroshkovaya metallurgiya, 1988, no. 5. pp. 6-10.
- Morgun G.N. Obrabotka poroshkovykh materialov davleniem [Handling of Powder Materials by Pressure]. VINITI. Seriya “Poroshkovaya metallurgiya”. T. 3. [VINITI. Series “Powder Metallurgy”. Vol. 3]. Moscow, VINITI, 1989, pp. 67-124.
- Grigor'ev A.K., Rudskoy A.I. Deformatsiya i uplotnenie poroshkovykh materialov [Deformation and Compaction of Powder Materials]. Moscow, Metallurgiya, 1992. 192 p.
- Shima S., Oyane M. Plasticity Theory for Porous Metals. Int. J. Mech. Sci., 1976, vol. 18, no. 6, pp. 285291 DOI: 10.1016/0020-7403(76)90030-8
- Barkov L.A., Cheskidov P.A. Samodurova M.N. Matematicheskoe modelirovanie protsessa pressovaniya izdeliy tipa vtulki iz poroshkovykh magnitnykh materialov [Mathematical Modeling of the Compression of Products Such as Sleeve from Powdered Magnetic Materials]. Bulletin of the South Ural State University. Series “Mechanical Engineering Industry”, 2004, no. 5 (34), issue 5, pp. 149-153.
- Barkov L.A., Cheskidov Р.А. Consolidation Model of Powder Materials. J. of World Congress. Paris, 1994, pp. 561-566.
- Mymrin S.A., Kuznetsov V.E., Barkov L.A. et al. Eksperimental'noe issledovanie protsessa kholodnogo pressovaniya shtabikov iz poroshkov vol'frama [An Experimental Study of the Process of Cold Pressing of Rods from Tungsten Powders]. Kuznechno-shtampovochnoe proizvodstvo, 1990, no. 9, pp. 15-18.
- Andreeva N.V., Radomysel'skiy I.D., Shcherbakov N.I. Issledovanie uplotnyaemosti poroshkov [Investigation of compactibility of powders]. Poroshkovaya metallurgiya, 1975, no. 6, pp. 32-42.
- Shima S. A Study of Forming of Metal Powders. Doct. eng. thesis. Kyoto, 1975. 200 p.
- Aleksandrov A.E. Razrabotka metodov matematicheskogo modelirovaniya tekhnologiy obrabotki davle-niem poroshkovykh i poristykh materialov. Kand. diss. [Development of Methods of Mathematical Modeling of Technologies of Forming Powder and Porous Materials. Cand. sci. diss.]. St. Petersburg, 2009. 163 p.