Особенности дифференциальной и вариационно-разностной формулировок задачи продольно-поперечного изгиба стержня от сил инерции
Автор: Сабиров Рашид Альтавович
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Математика, механика, информатика
Статья в выпуске: 3 (55), 2014 года.
Бесплатный доступ
Разработан вариационно-разностный метод расчета устойчивости прямолинейных стержней на осевые инерционные нагрузки. Рассмотрена дифференциальная с конечно-разностной аппроксимацией разрешающих уравнений и вариационно-разностная формулировка краевой задачи продольно-поперечного изгиба в перемещениях. Задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел Ax = λBx - для нетривиального вектора x требуется подобрать собственное число λ (здесь A - матрица жесткости, B - матрица внутренних сил инерции). При рассмотрении дифференциальной формулировки задачи особенностью инерционных нагрузок является то, что дискретная матрица B приобретает нулевые значения на главной диагонали (могут вырождаться и строки матрицы). Другая особенность связана с аппроксимацией дифференциальных уравнений методом сеток, что образует матрицу B несимметричной относительно главной диагонали. Обобщенная проблема не имеет решения, также не имеет решения ее обратная форма Bx = λ *Ax, где λ * = 1 / λ. Приведение к проблеме собственных значений AB -1x = λEx и BA -1x = λ *Ex, где A -1, B -1 - обратные матрицы, E - единичная матрица, не дает результата. Поэтому выполнен переход от дифференциальной формулировки задачи к вариационной формулировке с дискретизацией вариационно-разностным методом. Для данного подхода разработан алгоритм формирования матриц A и B, основанный на единых свойствах вариаций функционала. Здесь матрица B всегда симметрична относительно главной диагонали и положительно определена. Нули на главной диагонали присутствуют (это особенность нагрузки); однако строки не вырождаются. Показана методика решения задачи. Приведены примеры вычисления собственных значений и форм потери устойчивости. Найдены критические осевые ускорения, при которых закрепленный с обеих сторон стержень теряет устойчивость, и критические угловые скорости для стержней, вращающихся в барабане центрифуги. Исследована сходимость решений от сгущения конечно-разностной сетки. Цель: разработать метод расчета стержней на инерционные нагрузки.
Расчет стержней, устойчивость, вариационно-разностный метод
Короткий адрес: https://sciup.org/148177265
IDR: 148177265 | УДК: 539.3
Features of differential and variational-differential formulations of the problem of the longitudinally cross bend of the core from inertia forces
The variational-differential method of calculation of rectilinear cores stability on axial inertial loadings is developed. The formulations of the boundary value problem of longitudinal cross bending movements are calculated: differential formulation with a final and differential approximation of the allowing equations and variational-differential one. The task is reduced to the generalized problem of own numbers Ax = λBx - for an non-trivial vector x it is required to identify its own number λ, here A is a matrix rigidity, B is a matrix of internal forces of inertia. In considering the differential formulation of the task the main particularity of the inertial loads is that the discrete matrix B gets values on the main diagonal (the rows of matrix can degenerate). Another feature is associated with the approximation of the differential equations by the method of grids, which forms the matrix B asymmetrical about the main diagonal. The generalized problem has no decision like its feedback form Bx = λ *Ax where λ * = 1 / λ. Brining to the problem of eigenvalues AB -1x = λEx and BA -1x = λ *Ex where A -1 and B -1 are the inverse matrix, E is the identity matrix, doesn’t give any result. Therefore transition from the differential formulation of a task to the variation formulation with sampling by a variational and differential method is executed. The algorithm of formation of matrixes A and B is developed for this approach, which is based on uniform properties of variations of functional. Here the matrix B is always symmetric to the main diagonal and is positively defined. Zeros on the main diagonal were presented because it is a feature of loading, however rows don’t degenerate. The technique of the solution of a task is shown. Examples of calculation of own values and forms of stability loss are given. The critical axial accelerations lose their stability and critical angular speeds for the cores rotating in a drum of the centrifuge when the core is fixed from both sides. Investigated the convergence of solutions from condensation of a finite-difference grid. Purpose: to develop a method of calculation of cores on inertial loadings.
Текст научной статьи Особенности дифференциальной и вариационно-разностной формулировок задачи продольно-поперечного изгиба стержня от сил инерции
Совершенство конструкций техники космического назначения с позиции механики деформируемых сред связано с уменьшением массы, обеспечением прочности и жесткости в связи с активными воздействиями управления и космического пространства. В качестве конструкций, создающих ускорения в наземных условиях, можно назвать центрифугу для тренировки космонавтов, создающую центростремительное ускорение порядка 30 g [1]; многофункциональные высокоскоростные центрифуги для решения медикобиологических проблем [2], развивающие скорость вращения до 500 об/с; в атомной промышленности [3] известные центрифуги имели скорость 2000 об/с.
Основоположниками расчета устойчивости конструкций являются Я. Бернулли, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж, С. Д. Пуассон [4]. По проблемам устойчивости пластин, оболочек, стержневых систем назовем имена С. П. Тимошенко, А. В. Александрова, И. А. Биргера, А. С. Вольмира, Г. С. Писаренко, В. И. Феодосьева, П. М. Варвака, Я. Г. Пановко, Е. П. Попова, Ю. В. Захарова, В. А. Светлицкого, А. Ф. Смирнова, В. В. Кабанова, Л. П. Железнова, В. В. Новожилова, В. З. Власова, Х. М. Муштари, Э. И. Григолюка, В. В. Болотина, В. И. Мяченкова, Ю. В. Немировского, Н. П. Абов-ского, Я. М. Григоренко, Н. В. Пустового, А. Н. Андреева, Л. И. Шкутина, Н. А. Алфутова, С. Н. Кана.
Список литературы Особенности дифференциальной и вариационно-разностной формулировок задачи продольно-поперечного изгиба стержня от сил инерции
- Центрифуги. Технические характеристики центрифуги ЦФ-18/Научно-исследовательский испытательный центр подготовки космонавтов им. Ю.А. Гагарина [Электронный ресурс]. URL: gctc.ru›print.php?id=131/(дата обращения: 20.08.14).
- Центрифуга высокоскоростная Avanti J-30I [Электронный ресурс]. URL: promix.ru›catalog.htm?catalogID=1538 (дата обращения: 2.08.14).
- Ядерный волчок [Электронный ресурс]. URL: http://dn66.ru/fromnet/id/823-YAdernyiy-volchok.html/(accessed 2012-10-01).
- Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1957. 536 с.
- Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.; Л.: ОГИЗ-ГОСТЕХИЗДАТ, 1946. 532 с.
- Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.; М.: ОГИЗ, 1948. 170 с.
- Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1. Статика. М.: Высш. шк. 1987. 320 с.
- Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней//ПМТФ, 2002. Т. 43, № 5. С. 124-131.
- Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
- Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
- Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра, приближение функций. Киев: Наук. думка, 1987. 288 с.
- Ланцош К. Вариационные принципы механики: пер. с англ. М.: Мир, 1965. 408 с.
- Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: пер. с англ. М.: Мир, 1987. 542 с.
- Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001, 528 с.
- Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.
