Особенности дифференциальной и вариационно-разностной формулировок задачи продольно-поперечного изгиба стержня от сил инерции

Разработан вариационно-разностный метод расчета устойчивости прямолинейных стержней на осевые инерционные нагрузки. Рассмотрена дифференциальная с конечно-разностной аппроксимацией разрешающих уравнений и вариационно-разностная формулировка краевой задачи продольно-поперечного изгиба в перемещениях. Задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел Ax = λBx - для нетривиального вектора x требуется подобрать собственное число λ (здесь A - матрица жесткости, B - матрица внутренних сил инерции). При рассмотрении дифференциальной формулировки задачи особенностью инерционных нагрузок является то, что дискретная матрица B приобретает нулевые значения на главной диагонали (могут вырождаться и строки матрицы). Другая особенность связана с аппроксимацией дифференциальных уравнений методом сеток, что образует матрицу B несимметричной относительно главной диагонали. Обобщенная проблема не имеет решения, также не имеет решения ее обратная форма Bx = λ *Ax, где λ * = 1 / λ. Приведение к проблеме собственных значений AB -1x = λEx и BA -1x = λ *Ex, где A -1, B -1 - обратные матрицы, E - единичная матрица, не дает результата. Поэтому выполнен переход от дифференциальной формулировки задачи к вариационной формулировке с дискретизацией вариационно-разностным методом. Для данного подхода разработан алгоритм формирования матриц A и B, основанный на единых свойствах вариаций функционала. Здесь матрица B всегда симметрична относительно главной диагонали и положительно определена. Нули на главной диагонали присутствуют (это особенность нагрузки); однако строки не вырождаются. Показана методика решения задачи. Приведены примеры вычисления собственных значений и форм потери устойчивости. Найдены критические осевые ускорения, при которых закрепленный с обеих сторон стержень теряет устойчивость, и критические угловые скорости для стержней, вращающихся в барабане центрифуги. Исследована сходимость решений от сгущения конечно-разностной сетки. Цель: разработать метод расчета стержней на инерционные нагрузки.