Особенности планирования и реализации безопасного и оптимального навигационного процесса

Для навигационного процесса, как и большинства управляемых технологических процессов, наиболее существенное повышение его эффективности, в смысле снижения уровня текущих рисков и повышения уровня безопасности, следует связывать с оптимизацией установившегося режима функционирования элементного множества в рамках принятых правил.

Далее под установившимся стационарным режимом навигационного процесса будем понимать такой его режим, при котором для каждой из N составляющих yi(x, u, t) вектор-функции Y(X, U, t), i ∈ N (Меньшиков, Кукуи, 2002) справедливо условие t + T/2

(1/ T ) ∫ y i ( τ ) d τ = B ,                                               (1)

t - T/2

где B – постоянный параметр состояния безопасности мореплавания или постоянства требований, обеспечивающих эту безопасность, T - длительность временного интервала, на котором решается безопасная производственная транспортная задача или осуществляется безопасная в навигационном смысле промысловая операция, причем 0 <  T <  ∞ .

На этапе планирования управлений состоянием навигационного процесса большинство параметров этого состояния, как правило, задаются так, чтобы условие (1), накладываемое на вектор-функцию Y ( X , U , t ), выполнялось для всего временного интервала T . Поэтому плановую траекторию состояния процесса Х 0 ( t ) можно рассматривать как стационарную, на которой все составляющие вектор-функции Y ( X , U , t ), характеризующие как само состояние процесса, так и управляющие воздействия, постоянны.

На этапе реализации плановой траектории условие (1) может быть выполнено лишь для некоторых фиксированных интервалов времени T 0 , поскольку всегда будет существовать необходимость в корректирующих действиях, способных возвращать текущее состояние Х ( t ) в заданное безопасное состояние процесса Х 0 ( t ). Тогда реализацию плановой траектории навигационного процесса с учетом плановых управлений и соблюдением условия (1) следует рассматривать с позиции циклической управленческой деятельности судового персонала с периодом, равным T ₀ ⊂ T , который далее для упрощения будем принимать за постоянную величину.

• 2.    Особенности расширения экстремальной задачи планирования навигационного процесса

С формальной точки зрения, этапы планирования управления и реализации заданной траектории состояния навигационного процесса можно связать, если использовать существующее представление о возможности расширения экстремальных задач. Идею расширения экстремальной задачи, применительно к проблеме управления навигационным процессом, можно проиллюстрировать следующим образом.

Пусть текущее управляемое состояние навигационного процесса определено на множестве D 1 и реализуется в процессе управления так, что при этом обеспечивается минимум целевой функции R 1 ( z ), т.е.

R ₁( z ) → min.                                                 (2)

z ∈ D

Меньшиков В.И., Кукуи Фирмин Дживо Особенности планирования...

В то же время, при планировании безопасного состояния навигационного процесса это состояние было задано на множестве D ₂ и определено минимумом целевой функции R ₂( ω ). тогда задачу планирования состояния безопасного навигационного процесса, в общем, запишем

R 2 ( ω ) → min.                                           (3)

z ∈ D

Задачи реализации (2) и планирования (3) безопасной навигации можно назвать изоморфными, если каждому элементу или последовательности элементов из множества D 1 будет ставиться во взаимно однозначное соответствие элемент или последовательность элементов из множества D 2 . Причем это соответствие осуществляется так, что значения целевых функций R ₁( z ) и R ₂( ω ) на соответствующих элементах или их предельные значения на последовательностях равны. Тогда при изоморфности (2) и (3) решением экстремальной задачи (3), с позиций обеспечения безопасности мореплавания, следует считать такую задачу (2), которая по отношению к самой задаче (3) решается с соблюдением двух условий:

D 1 ⊆ D 2 ,

R 2 ( ω ) ≥ R 1 ( z ), ∀ z ∈ D 1 .                                     (4)

Записанные условия (4) определяют взаимно однозначную связь между плановой траекторией состояния навигационного процесса и траекторией его состояния при реальном управлении. Именно выполнение условий (4) обеспечивает реализацию плановой траектории навигационного процесса с качеством не хуже того, которым она обладала на этапе планирования, т.е.

R * 2 ≥ R * 1 ,                                                 (5)

где R * 1 = sup R 1 , R * 2 = sup R 2 , соответственно.

Если значение качества в расширении (2) совпадает со значением качества в задаче планирования (3), то такое расширение является не только изоморфным, но и эквивалентным. Следовательно, в случае, когда R * 2 = R * 1 , плановая траектория, а также ее практическая реализация, являются элементами одного класса эквивалентности Λ , т.е. не различимы по качеству.

Рассмотрим механизм, в соответствии с которым расширение задачи оптимального планирования управляемого навигационного процесса будет включать в себя траекторию состояния, получаемую в процессе оптимального управления этим процессом.

• 3.    Определение близости плановой и реальной траекторий навигационного процесса

Пусть навигационный процесс, идущий в системе "судно" с сосредоточенными параметрами, характеризуется переменными состояниями x ∈ X и управлениями u ∈ U . Тогда задачу планирования управления состоянием можно представить с помощью оптимальной стационарной математической модели, записанной, например, так:

f ( x , u ) = 0,

R 2 = f 0 ( x , u ) → min,                                          (6)

ϕ ( x , u ) ≥ 0,

• x ∈ X , u ∈ U .

Реализацию же плановой траектории навигационного процесса f(x, u) при управлении им с учетом корректирующих действий, выполняемых с постоянным периодом, равным T0 ∈ T, опишем оптимальной динамической моделью вида dx/dt = f(x(t), u(t)),

T 0

R 1 = (1/ T 0 ) ∫ f 0 ( x ( t ), u ( t )) dt → min, 0

T 0

∫ ϕ ( x ( t ), u ( t )) dt ≥ 0,                                                (7)

T ₀

∫ f ( x ( t ), u ( t )) dt = 0, 0

x ∈ X , u ∈ U , T ₀ > 0.

В моделях (6) и (7) приняты следующие обозначения: f 0 ( x ( t ), u ( t )) - текущее значение показателя эффективности процесса, ϕ ( x ( t ), u ( t )) – текущий расход материальных и энергетических затрат.

Как показатель качественной близости между плановой траекторией процесса (6) и ее управленческой реализацией (7) будем использовать метрику вида

Δ = R * 2 - R * 1 ,                                                (8)

причем, как это было сделано выше, вновь примем, что R * 1 = sup R 1 и R * 2 = sup R 2 .

Для определения показателя качественной близости Δ в (8) используем известные возможности, заложенные в классическую задачу Лагранжа. Так, пусть функция Лагранжа Ξ 2 ( x , u , λ , µ ), составленная для задачи (6), отвечает условию:

Ξ ₂( x , u , λ , µ ) = f ₀( x , u ) + λ f ( x , u ) + µϕ ( x , u ) > min,                     (9)

u ∈ U x ∈ X где векторы λ и µ – множители Лагранжа, а λf и µϕ - суть скалярные произведения этих векторов.

Используя введенную функцию Лагранжа (9), покажем, что задача по реализации плановой траектории навигационного процесса (7) может являться элементом расширения применительно к задаче планирования управления (6). Для этой цели дополнительно примем, что расширение задачи (6) существует при любых ограничениях вида λ и µ ≥ 0, если составляющая µ k вектора µ обращается в нуль тогда и только тогда, когда ϕ _k ( x , u ) > 0.

Пусть при отмеченном выше условии, которое в принципе можно отнести к условию дополняющей нежесткости, векторы λ и µ принадлежат множеству V . Тогда для любых пар множителей ( λ , µ ) Лагранжа, принадлежащих V , будет справедливо неравенство (5). Следовательно, с учетом особенностей поведения пар множителей Лагранжа ( λ , µ ), для расширенного подхода к задаче планирования управления безопасной траекторией X 0 ( t ) неравенство (5) можно записать следующим образом:

Ξ 2 *( λ , µ ) ≥ R * 2 ,    ∀ ( λ , µ ) ∈ V .

Очевидно, что для некоторых значений множителей Лагранжа λ0, µ0 последнее нестрогое неравенство может быть преобразовано в строгое равенство. В этом случае функция Ξ2 обязана иметь седловую точку, в которой она, например, может быть максимальна по состоянию и управлению x, u и минимальна по параметрам λ, µ, причем так, что min max Ξ2(x, u, λ, µ) = R*2.                                (10)

λ , µ    x, u

Следовательно, в рамках Лагранжевого подхода задачу текущего управления состоянием навигационного процесса (7), действительно можно, рассматривать как расширение задачи планирования (6), причем такое расширение, в котором при конкретно принятых значениях параметров λ ₀, µ ₀ порождается класс эквивалентности Λ траекторий X 0 ( t ) и X ( t ) с признаком равенства их целевых функций.

Однако на практике добиться строгого соотношения эквивалентности между плановой траекторией X 0 ( t ) и ее реализацией X ( t ), ориентируясь только на подбор соответствующих значений множителей Лагранжа λ ₀, µ ₀, достаточно сложно. Поэтому имеет смысл найти такую количественную оценку близости траекторий, которая позволила бы ограничить сверху границы класса эквивалентности.

• 4.    Оценка близости плановой и реальной траекторий навигационного процесса

Рассмотрим задачу управления (7) и отбросим в ней дифференциальные связи. При отбрасывании связей в (7) множество допустимых решений расширяется, и значение новой задачи (без дифференциальных связей) будет не меньше значения самой задачи (7), т.е. R * 0 ≥ R * 1 , где R * 0 – критерий качества задачи (7) без дифференциальных связей.

В то же время, как показано в ( Цирлин , 1974), значение R * 0 может совпадать со значением R * при решении следующей задачи

R * = ∑ γ k f 0 ( x k , u k ) → min,   ∑ γ k f ( x k , u k ) = 0,   ∑ γ k ϕ ( x k , u k ) ≥ 0,                (11)

k                             k                        k

Меньшиков В.И., Кукуи Фирмин Дживо Особенности планирования...

γk ≥ 0,  xk, uk ∈ V, ∑ γk = 1, k = 1, ..., rх + rϕ+ 1,

k причем значение R* для задачи (11) можно найти так:

R* = inf sup Ξ2 (x, u, λ, µ),(12)

λ, µ x, u где Ξ2(x, u, λ, µ) – функция Лагранжа для задачи планирования управления навигационным процессом (6).

Если теперь выражение (12) при условии R *₀ ≥ R *₁ поставить в (8), то окончательно получим

Δ ≤ inf sup Ξ2 (x, u, λ, µ) - R*2.(13)

λ, µ x, u ∈ V

Выражение (13) определяет допустимые границы класса эквивалентности Λ , в котором каждая плановая траектория X 0 ( t ) практически неразличима по качеству с ее реализацией X ( t ), полученной в результате управленческой деятельности судового персонала. Кроме того, из (13) с учетом (10) можно для строгого соотношения эквивалентности получить Δ = 0.

Если задача планирования типа (6) обладает расширением и для этого расширения найдены соответствующие значения λ *, µ * множителей Лагранжа, то вместо нахождения минимума по значениям λ , µ можно подставить определенные значения в функцию Лагранжа и получить грубую оценку для границ класса эквивалентности Λ . Эту грубую оценку можно записать так:

Δ ≤ sup Ξ ₂ ( x , u , λ , µ ) - R *₂.                                  (14)

x, u ∈ V

• 5.    Заключение

Для навигационного процесса, как и большинства управляемых технологических процессов, наиболее существенное повышение его эффективности, в смысле снижения уровня текущих рисков и повышения уровня безопасности, следует искать в области оптимизации установившегося режима функционирования элементного множества в рамках принятых правил. Однако на практике добиться строгого соотношения эквивалентности между плановой траекторией процесса и ее реализацией, ориентируясь только на подбор соответствующих значений множителей Лагранжа λ 0 , µ 0 в (9), достаточно сложно. Поэтому имеет смысл найти такой вариант количественной оценки близости плановой траектории и траектории реализации, который объединял бы эти траектории в один общий класс эквивалентности и делал бы их неразличимыми по качеству.

Выполненные в данной работе исследования позволили определить границы класса эквивалентности, в котором можно плановое качество переносить на траекторию состояния навигационного процесса, полученную по результатам управленческой деятельности судового персонала. В то же время близость по качеству между плановой моделью безопасного навигационного процесса и ее реализацией не исключает того, что фактическая траектория будет все же обладать своими индивидуальными особенностями.