Особенности подготовки учителей математики по основам описательной статистики в рамках курса «Вероятность и статистика»

С 2023 года в программу предмета «Математика» включен новый учебный курс «Вероятность и статистика» с содержательно-предметной линией «Представление данных и описательная статистика». В рамках освоения данного курса к окончанию 9-го класса учащиеся должны уметь описывать данные с помощью статистических показателей средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение), находить частоты числовых значений и событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений. В 10–11 классах изучаются числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия геометрического и биномиального распределений, стандартное отклонение; нарабатывается навык применения свойств математического ожидания в задачах из повседневной жизни [1].

Нужно отметить, что курс «Вероятность и статистика» по своему содержанию является новым не только для учащихся, но и для педагогов, которым приходится осваивать наравне с детьми основы теории вероятностей и статистики практически с нуля. Возникает сложности в процессе внедрения данного курса – от недостаточного методического инструментария до отсутствия полноценной методики преподавания многих тем. Из-за нехватки знаний, желания и по другим причинам многие учителя негативно относятся к новому курсу, используя выделенные часы на занятия алгеброй и геометрией [4].

Для выполнения многих заданий из учебников и пособий И.Р. Высоцкого, И.В. Ященко, авторов УМК курса «Вероятность и статистика», учащимся нужно обладать достаточным уровнем функциональной грамотности. Дело в том, что большинство заданий – текстовые задачи, часто с инфографикой, где, прежде чем построить математическую модель и применить формулы, нужно сначала структурировать и визуализировать текст и проч.

Более того, учителю для разъяснения теоретического материала курса требуется в гораздо большем объеме привлекать знания из жизни, науки и других учебных дисциплин. Например, учащимся предлагается выполнить задания на основе анализа экономико-статистических документов и материалов (смет расходов, платежных квитанций, контрольных листков отделов ОТК, элементов бухгалтерского баланса и пр.), иметь представление о спортивных турнирных таблицах, возрастно-половых диаграммах и проч.

Рассмотрим некоторые содержательные и методические особенности обучения учителей ма- тематики в рамках повышения квалификации по теме «Описательная статистика. Первичная обработка данных, расчет средних величин».

Как известно, при обучении взрослых крайне важно придерживаться основных принципов ан-драгогики:

– выстраивание на занятиях субъект-субъект-ных отношений с педагогами с учетом возрастных и профессиональных особенностей;

– заявительный способ включения слушателей программ для обеспечения их заинтересованности в результате обучения;

– опора на жизненный опыт и профессиональные умения учителей;

– своевременное применение полученных знаний и умений на практике и проч.

Первые два принципа являются организационными, их реализация достигается форматом и режимом обучения. Логика очных лекционных и практических занятий строится для максимального погружения в тему: определения перечня содержательных и методических задач нового курса, получения практических навыков решения задний по теории вероятностей и статистике, освоения методических приемов обучения, а также создания условий для взаимодействия среди слушателей, налаживания личных и деловых отношений и пр. Дистанционная форма занятий нужна для отработки полученных навыков, выявления образовательных дефицитов в содержании и методике. Для создания комфортной рабочей среды на практических занятиях предлагается организовывать преимущественно групповую работу (в парах, тройками, четверками и проч.), чтобы снять психологический зажим и повысить мотивацию обучения. Тем более, что возрастной состав слу- шателей находится в диапазоне предпенсионного и пенсионного возраста.

В обязательном порядке часть практических занятий должна быть посвящена совместному разбору заданий из учебников и пособий УМК и освоения специфических приемов обучения в области теории вероятностей. В работе с учебником важно все: и логика изложения материала, и особенности использования заданий на разных этапах урока, и умение решать задачи разного уровня сложности.

Для реализации принципа «опора на жизненный опыт и профессиональные умения» педагогам предлагаются для анализа реальные данные статистических отчетов выполнения заданий ВПР, ОГЭ, ЕГЭ учащимися [2].

Приведем пример части занятия по содержательному блоку «Приемы работы с инфографикой». На рис. 1 представлена одна из диаграмм практической работы, где предлагается проанализировать результаты выполнения заданий ОГЭ по математике по группам участников, получивших «2», «3», «4», «5» за 2024 год.

Задание: проанализируйте диаграмму результатов и дайте ответ на вопросы:

• 1)    Каков процент выполнения алгебраических и геометрических заданий первой части? мета-предметных заданий базового уровня / повышенного уровня?

• 2)    Какие задания оказались успешными / неуспешными для всех групп учащихся? успешные/ неуспешные для участников, выполнивших работу на «2», «3», «4», «5»?

• 3)    Какие задания имеют потенциал для роста результатов у учащихся, получивших «2», «3», «4», «5»?

  

  Рис. 1. Диаграмма результатов выполнения заданий ОГЭ по математике по группам участников, получивших «2», «3», «4», «5» за 2024 г.

  
  

Как видно, третий вопрос задания носит предположительный характер, поэтому слушатели выдвигают различные версии, называют задания, имеющие потенциал для улучшения результатов, подкрепляя собственной практикой и другими статистическим данными.

В итоге обсуждения делаются оценочные суждения о фактуальной, концептуальной и контекстной информации, которую слушатели выявили с опорой на графики. Они также определяют сведения, являющиеся интерпретацией данных, формулируют выводы, носящие прогностический и гипотетический характер. Перефразируя И.Р. Высоцкого и И.В. Ященко, можно сказать, что материал теории вероятностей необходим не только учащимся, но и педагогам для «…умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты» [2, с.12].

Следующее задание на этом занятии логически переводит слушателей на содержательный блок: «Вычисление средних величин и мер рассеивания». Предлагается разделиться на 8 подгрупп: 4 группы вычисляют средние значения только по заданиям первой части ОГЭ по математике (задания № 1–19), другие 4 группы определяют средние по заданиям всей работы.

Задание: найдите размах, среднее арифметическое, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение для числового ряда. В качестве числовых рядов берутся данные диаграммы.

Слушатели выполняют практическое задание по алгоритму:

• 1)    сначала упорядочим данный числовой ряд;

• 2)    найдем размах (разность между наибольшим и наименьшим значением числового набора);

• 3)    найдем среднее арифметическое чисел (отношение суммы чисел к их количеству);

• 4)    найдем моду числового ряда – самое популярное значение;

• 5)    найдем медиану числового ряда – серединное значение ряда;

• 6)    найдем дисперсию числового ряда (среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического или разность среднего квадрата значений и квадрата среднего арифметического):

• 7)    среднее квадратическое отклонение («стандартное отклонение» – измерение степени разброса данных и степени изменчивости).

Кроме отработки нахождения средних значений и мер рассеивания, большое внимание нужно уделить интерпретации полученных данных. Важно организовать обсуждение полученных результатов: что показывает разница в значениях средне- го арифметического и медианы, величина размаха, дисперсии и стандартного отклонения и пр.

Обязательно вернуться к вопросу о заданиях, имеющих потенциал для роста результатов у учащихся. Слушатели приходят к выводу, что для учащихся репродуктивного уровня – это задания № № 1, 7, 9, 15, 18, а в заданиях № № 3, 4, 11, 13–15, 19 в каждом отдельном случае нужно выявлять причину низких результатов и проч.

Одним из инструментов описательной статистики является метод попарного сравнения В. Парето, целью которого является выявление главной причины, влияющей на качество процесса. Используем данный метод для определения доминирующей причины низкого выполнения задания № 4. Данное задание проверяет умение применять математические знания при решении жизненно-практических задач – находить время движения. Пример задания и чертеж к нему приведен на рис. 2.

Сначала организуется дискуссия по поиску возможных причин низкого результата выполнения задания № 4 ОГЭ по математике.

Задание № 4. Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревне Зябликово на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?

Рис. 2. Пример задания № 4 ОГЭ по математике.

В результате обсуждения слушателями были выдвинуты возможные причины невыполнения девятиклассниками данного задания: не знают формулу вычисления расстояния или не могут ее применить; не могут извлечь и преобразовать информацию, представленной на чертеже; не владеют способом перевода единиц измерения времени; не учитывают при вычислениях масштаб; допускают вычислительные ошибки и пр.

Одна из групп слушателей с помощью метода В. Парето определила как главную причину – несформированность навыка перевода единиц измерения (не могут перевести часы в минуты и наоборот), другая группа – неспособность учащихся извлекать и интерпретировать информацию, представленную в виде чертежа. С точки зрения В. Парето для повышения качества работы ресурсно нужно сосредоточиться именно на устранении главной причины какого-либо несоответствия. Поэтому каждая группа педагогов актуализировала методику работы по выявленным проблемам и предложила коллегам различные способы действий и алгоритмы работы с учащимися.

В итоге учителя математики, кроме освоения содержания модулей курса «Вероятность и статистика», погружаются в суть описательной статистики, осознают их прикладной характер, обогащая тем самым методическую составляющую актуальных тем не только математики, но и других учебных дисциплин.