Особенности развития зарубежных подходов к стохастическому дополнению CVP-модели

Модель CVP (Cost-Volume-Profit) – один из самых простых аналитических инструментов современного менеджмента, повсеместно включаемый в программы обучения ВУЗов на экономических специальностях. CVP-анализ позволяет руководству компаний оценить возможное влияние управленческих решений, касающихся, к примеру, ценовой политики, структуры и объема продаж.

Для оперирования моделью необходимо знание трёх показателей: цены, переменных и постоянных издержек. Однако из простоты модели следуют следующие недостатки: модель не учитывает некоторые практические особенности экономической деятельности, чтобы избежать излишнего усложнения, что достигается за счет допущений и ограничений.

Среди них можно выделить следующие [1]:

• 1.    Все переменные, кроме объема производства, остаются постоянными.

• 2.    Предполагается, что предприятие производит единственный вид продукции. Либо, если ассортимент состоит из нескольких видов продукции, то ассортимент считается постоянным, а для целей расчета прибыли определяется средняя по ассортименту цена и средние удельные переменные затраты.

• 3.    Постоянные затраты, связанные со сложностью производства, не меняются.

• 4.    Прибыль рассчитывается по системе калькуляции по переменным затратам.

• 5.    Затраты и выручка есть линейная функция от объема производства.

• 6.    Анализ проводится в пределах приемлемого диапазона объемов производства (релевантного диапазона).

• 7.    Затраты можно точно разделить на постоянные и переменные.

• 8.    Анализ проводится в краткосрочном периоде времени.

Главной ограничивающей силой модели является её детерменированность, что приводит к игнорированию моделью неопределенности. К примеру, при рассмотрении двух проектов с аналогичным значением прибыльности и точек безубыточности, используя классическую модель CVP-анализа, нельзя было бы выбрать наилучший, однако эти проекты могут различаться в дисперсии возможных объемов выручки, а, следовательно, в риске неудачи в достижении целевых объемов прибыли.

Примечательно, что несмотря на ограничения классической модели CVP-анализа, ухудшающие её результативность в условиях неопределенности, в России её популярность среди инструментов по анализу прибыльности выросла в посткризисные годы с 9% до 21% среди респондентов. Наиболее популярен анализ безубыточности на 2018 год в регионах с «от- стающей» от средних по стране на 10% и более экономикой, в промышленности, торговле, сельском хозяйстве, туризме, среди малых и средних компаний [2].

В тоже время, в рамках исследования ученых, на результаты которого мы ссылаемся, нет разделения на классический и стохастический анализ безубыточности, но в силу отсутствия упоминания в методической литературе по управленческому учету стохастического и иных подходов к дополнению классического анализа безубыточности, можно предположить, что в основном используется классический подход [3]. В силу этого, рост её популярности может быть связан с банальным отсутствием известных менеджменту аналогов. Однако аналоги есть: CVP-модель стала предметом научных изысканий зарубежных ученых, проводившихся с целью преодоления её недостатков. Существуют несколько подходов к изучению данной модели [4]:

• 1.    классический подход;

• 2.    стохастический     (вероятностный)

• 3.    подход, основанный на реальных опционах;

• 4.    подход, основанный на использовании нечеткой логики.

подход;

Предметом изучения настоящей работы стал процесс развития стохастического подхода, основанного на вероятностном дополнении CVP-модели. Первыми работами, связанными с учетом неопределенности классической моделью CVP-анализа стали работы Р. Джаэдика и А. Робичека (1964) и Бирмана (1963). И Джаэдик с Ро-бичеком, и Бирман предположили, что объем продаж - нормально распределенная случайная величина. Однако Джаэиди-ком и Робичеком подобное утверждение было распространено и на цену, постоянные и переменные издержки, в отличие от Бирмана, который считал, что они - константы [5, 6]. В 1971 году подход Бирмана был распространен на мультипродуктовую модель Г. Джонсоном и С., также они выявили корреляции между потреблениями продуктов [7].

Предположение о нормальности распределения прибыли, сделанное в предше- ствующих работах было раскритиковано В. Феррарой, Д. Хайя и Д. Нэшманом (1972). Они установили, что нормальность прибыли может быть, если сумма коэффициентов параметров меньше или равна 12% [8]. В 1973 году Джэфри Джаррет предложил, на что опираться в их статистических оценках параметров модели - на собственные данные или дополнительные сторонние исследования, что достигалось использованием Байесовской теорией принятия решений [9].

Ким Ч. (1973) отметил проблему, связанную с допущением о нормальности распределения параметров модели: при нулевом объеме производства и наличии постоянных издержек в рамках модели компания допускается получение прибыли [10]. В силу неоднозначности выбора нормального распределения параметров модели С. Базби (1974) было предложено использование свободного типа распределения инструмента оценки вероятности -неравенство Чебышева [11].

В 1974 году Г. Джонсон и С. Симик отметили трудность определения функции распределения, при известных статистических характеристиках одних или всех параметров CVP-модели, распространив подход Базби в использовании неравенств для определения вероятностей на мульти-продуктовую CVP-модель, однако они использовали неравенства Успенского или Хёфдинга [12].

Дикинсон (1974) подверг критике статью Джонсона и Симика (1974) года за неспособность получения ожиданий, дисперсий и ковариаций вероятностных распределений будущих продаж. В качестве источника информации он предложил использовать исторические данные [13, 14].

Дж. Хиллиард и Р. Лейч (1975) предложили использовать логнормальную функцию распределения при характеристике объемов продаж и маржинальной прибыли на единицу товара, считая постоянные издержки постоянной величиной. Они отметили несоответствие реальности допущений исследователей стохастического дополнения CVP-модели о взаимной независимости параметров. Предложенный Хиллиардом и Лейчем подход был свободен от этого допущения, к тому же, он позволял решить проблему возможности возникновения отрицательных значений параметров [15].

Лиао М. (1975) раскритиковал использование неравенств в силу их относительно низкой точности [16]. Автором было предложено использование симуляции параметров и определение статистических характеристик из каждой получившейся выборки, расчет 2-4 моментов, их использование для построения кривой Пирсона по точкам и собственно расчет вероятностей. Использование симуляций было также предложено Дж. Коттасом и Х.-Ш. Лау [17, 18].

В 1975 году Р. Маги попытался сформулировать правило принятия решений руководством в соответствии с целью максимизации благосостояния стейкхолдеров. Для этого он использовал модель CAPM, в качестве меры риска для фирмы взял не дисперсию прибыли, а ковариацию прибыли с доходностью портфеля ценных бумаг [19].

Адар З., Барнеа А. и Барук Л. (1977) помимо стохастичности добавили в CVP-модель учет отношения ЛПР к риску. Интересно, что при принятии решения о выборе производственного плана, согласно разработанной модели, нужно руководствоваться не только переменными затратами, но и постоянными, поскольку хотя последние не влияют на предельную выручку, они могут влиять на предельную полезность [20]. В рамках своего подхода они допускали, что объём – детерминирован, остальные параметры CVP-модели – стохастичны.

Б. Исмаил и Дж. Лаудербэк (1979) поставили вопрос о том, что параметр объема продаж не всегда может быть равен объему производства, что приводит к возникновению издержек [21]. В случае превышении производства над продажами возникают издержки перепроизводства, наоборот – альтернативные издержки. В своей стохастической CVP-модели они учли данный нюанс. В качестве случайной величины были взяты только объемы спроса, остальные параметры остались детерминированными. Схожий способ сто- хастического дополнения CVP-модели в 1979 году использовал В. Ших [22].

Г. Константинидес и Ю. Лжири (1981) скомбинировали ранее упомянутые модели и ввели учёт как зависимости прибыли от неопределенного спроса, представленный Исмаилом и Лаудербэком, так и подход Р. Маги, связанный с использованием САРМ, допуская, впрочем, нормальное распределение параметров CVP-модели и спроса [23].

Дж. Юнкер и П. Юнкер (1982) разделили имеющиеся на тот момент стохастические модели по тому, на какой вопрос они отвечают менеджменту: «сколько производить?» или «производить ли?». Очевидно, что модели, отвечающие на первый вопрос, могут ответить и на второй, поэтому они – более применимы на практике, но, как отмечают авторы, модели данного типа представлены только в работе Адара, Барнеа и Барука (1977) и Моррисона-Какзки (1969). Подобные модели имеют целевую переменную и оперирующую переменную. Дж. и П. Юнкер развили их работы, изменив характер функции спроса и издержек на U-образную, предположив, что все параметры модели – нормально распределенные случайные величины [24]. В схожем ключе рассуждали А. Лау и Х.-Ш. Лау (1987) [25].

Опираясь на труды, посвященные развитию теории фирмы, К. Чанг (1993) ввел учёт ситуации, когда компания определяет объем производимой продукции, опираясь на стохастическую информацию о спросе, но сохраняет возможность корректировки этого объема после того, как реальный спрос становится известным [26].

С. Ким, М. Абдулмохаммади и Л. Кляйн (1996) изменили работы Р. Маги и З. Адара, опираясь на развитие агентской теории [27]. Так, если последние предполагали, что менеджмент компании во время принятия решений относительно производства продукции руководствуется максимизацией стоимости фирмы, то Ким, Абдулмохаммади и Кляйн считали, что зависимость вознаграждения менеджмента от роста стоимости компании снизилась, и обращать внимание менеджеры будут в первую очередь на собственное благосос- тояние, особенно – в условиях асимметрии информации. По схожему пути пошли Д. Чан и К. Вонг [28].

В 1998 году Ф. Гуидри, Дж. Хорриган и К. Крэйкрафт добавили учет стоимости капитала и уровень операционного рычага [29]. В 2016 году Х. Саид описал использование различных форм распределения в стохастической CVP-модели: нормальное, логнормальное, PERT и распределение Кумарасвами [3].

Таким образом, развитие стохастического подхода к дополнению CVP-модели связано как с углублением понимания человечеством экономических процессов, к примеру, теории фирмы, концепции временной стоимости денег, так и с развитием математических дисциплин, в частности касающихся теории вероятности. Работы, посвященные данному направлению, учитывают CVP-модель с одним и несколькими продуктами, ситуацию с объемом производства равным продажам и отличающимся, отношения агент-принципал и так далее.