Особенности составления неравенств по заданному множеству решений

Умение правильно использовать знания и добиваться их действенности не только в условиях формирования, но и в новых ситуациях необходимо для обеспечения успешной деятельности учащихся. Актуальность этой проблемы требует поиска эффективных путей её решения. Один из них связан с установлением и использованием внутрипредметных связей при изучении ведущих тем школьного курса математики. Такой темой является тема «Неравенства».

Анализ учебно-методической литературы и опыта работы учителей показал, что при изучении неравенств на первый план выступает обучение учащихся решению конкретных видов неравенств на основе конкретных алгоритмов. Такой подход необходим, ибо он обеспечивает прочные знания и умения репродуктивного характера, но применение полученных знаний и умений в изменённых и новых учебных ситуациях только на его основе затруднительно.

Если же изучать неравенства ещё и как аппарат для изучения иных вопросов курса, то их усвоение должно быть доведено до уровня переноса на такие вопросы, в частности на исследование свойств функций. Для этого нужна иная методика. Она может быть построена на основе концепции учебной деятельности.

Применительно к теме «Неравенства» учебная задача может быть поставлена так: сформировать аппарат, с помощью которого можно выполнять исследование свойств функции и решать задачи с практическим содержанием. Эта задача решается на основе формирования следующих учебных действий: «Составление линейных неравенств с одной переменной по заданному множеству решений».

Формирование учебных действий – длительный процесс. С целью облегчения выбора направления, по которому должна пройти мыслительная деятельность учащихся, в формировании учебного действия можно выделить три этапа.

На первом этапе в соответствии с требованиями теории поэтапного формирования действий создавалась система условий, на которую ученики опирались при выполнении действия. Выполняя задания по решению линейных неравенств с одной переменной и анализируя полученные результаты, учащиеся приходят к выводу: множество решений линейных неравенств может быть различным. В процессе такой деятельности учащиеся получали условия, которые необходимы для дальнейшего формирования действия.

Первый этап в формировании учебного действия считали законченным, если у учащихся были сформированы следующие учебные умения: выполнение действия по образцу при решении линейных неравенств с одной переменной аналитическим и графическим методом; подробное обоснование каждой выполняемой операции и аргументация правильности выполнения; осуществления перевода понятия «множество решений линейного неравенства с одной переменной» с языка аналитических фактов на язык геометрических образов.

Второй этап формирования учебного действия «Составление линейных неравенств с одной переменной по заданному множеству решений» происходил при предъявлении учащимся заданий в следующей последовательности: конструирование линейных неравенств по заданному множеству решений, если известны: один параметр; два параметра; все параметры.

В ходе выполнения этих заданий учащиеся при большей самостоятельности смогли выделить и представить в общем виде последовательность операций, которая составляет основу процесса решения задач на конструирование неравенств.

Задача 2. Найдите значения a и k в неравенстве ax +6 < ^k , при которых множество решений таково: а) Ø, б) (5;∞), в) (-∞;∞), г) (-∞;-7). Найдите конкретные числовые значения для а и к в каждом случае.

Данная, и аналогичные ей задачи, выполнялись при большей самостоятельности учащихся. Учащиеся сразу обращались к таблице и находили неравенство по внешнему виду такое же, как в условии задачи ax < b. Затем приводили данное неравенство к виду ax

Таблица 1

Анализ каждого из случаев, зафиксированных в правой части таблицы, позволяет учащимся осознано делать выбор. После выполненного анализа они находили значение переменной, удовлетворяющее неравенству, а параметрам давали конкретные числовые значения. В заключении записывали конкретное линейное неравенство.

На данном этапе работы уже значительное большинство учащихся класса смогли выделить и представить в общем виде выполняемую последовательность операций: привидение данного неравенства к простейшему виду; рассмотрение в отдельности всех случаев обобщающей таблицы, относящихся к данному неравенству; выбор нужных случаев; отыскание значений переменной х для этого неравенства; задание параметрам конкретных числовых значений в соответствии с данным в условии множеством решений; запись полученного линейного неравенства.

На втором этапе формирования учебного действия учителя предлагали вниманию учащихся и более сложные задачи, в частности задачи с тремя неизвестными параметрами.

Задача 3. Найдите такие значения ^a , ^b , ^c , чтобы множеством решения неравенства ax + c >b было: а) (-»;»), б) (10;^), в) 0, г) (-®;4).

Второй этап считается законченным, если у учащихся были сформированы следующие обобщённые умения:

• 1)    использование указанной последовательности операций;

• 2)    истолкование смысла каждой конкретной операции;

• 3)    установление и выделение математических фактов, лежащих в основе выполняемой операции;

• 4)    установление и понимание взаимосвязи выполняемых операций.

Третий этап в формировании учебного действия – это составление линейных неравенств с одной переменной только по заданному множеству решений. На данном этапе работы осуществляется постепенный перевод указанной выше операционной структуры в теоретический план; учащиеся в меньшей степени обращались к таблице.

Поскольку на первых двух этапах учащиеся приобрели определённый опыт творческой деятельности, то на данном этапе они смогли при полной самостоятельности представить в общем виде выполняемую последовательность операций.

• 1.    С помощью таблицы или без неё определить вид неравенства по заданному множеству решений. Записать неравенство в общем виде.

• 2.    Определить знаки параметров.

• 3.    Найти ^x из неравенства, записанного в общем виде.

• 4.    В соответствии с множеством, данным в условии, найти ^a .

• 5.    Дать параметрам конкретные числовые значения.

• 6.    Записать полученное линейное неравенство.

• 7.    Сделать вывод о количестве таких неравенств.

• 8.    Записать ответ.

b

На всех трёх этапах необходимо добиваться самостоятельности в действиях учащихся и тем самым формировать обобщённые учебные умения доказательств и оформления их в письменном виде.