Острая фокусировка оптического вихря с посекторно азимутальной поляризацией

Цилиндрически е векторные пучки (пучки, в которых направление поляризации имеет радиальную симметрию) в оптике в настоящий момент активно изучаются [1]. При этом в последнее время отмечен рост интереса к исследованию фокусировки азимутально- и радиально-поляризованных оптических вихрей [2 – 9]. Так, например, в [10] было показано, что азимутально-поляризованный оптический вихрь образует фокусное пятно с площадью (0,147λ2) на 13,5 % меньше, чем радиально-поляризованный свет (0,17λ2). Аналогичный пучок использовался в работе [8] для формирования иглоподобного фокуса с большой глубиной (12λ) и субволновой шириной (изменялась от 0,42λ до 0,49λ). Заметим, что при фокусировке азимутально-поляризованного пучка в фокусе формируется световое кольцо. Поэтому, чтобы в фокусе сформировалось световое пятно, надо фокусировать азимутальный пучок с фазовой синг улярностью.

Существует несколько способов получения цилиндрических векторных пучков с посекторной азимутальной или радиальной поляризацией: используя волновые пластинки [11 –14], нелинейные оптиче- ские кристаллы [15], поляризующие плёнки [16] и субволновые решётки [17 – 19].

Ранее острая фокусировка цилиндрических векторных пучков, поляризованных посекторно, была численно исследована в [20]. Было показано, что для 8-секторного пучка отклонение от идеального не превышает 5,3 %. В [20] однако не рассматривался случай азимутально-поляризованных оптических вихрей.

В данной статье мы численно рассмотрели острую фокусировку оптического вихря с посекторной азимутальной поляризацией (длина волны λ =532 нм) зонной пластинкой Френеля с числовой апертурой NA=0,95. Численно показано, что при фокусировке пучка с сек-торностью 6 результаты фокусировки практически не отличаются от фокусировки идеального азимутально-поляризованного вихря – расхождения в размерах фокусного пятна по полуспаду интенсивности, вызванные асимметрией, не превышают 0,001λ. Для 4-секторного пучка расхождение не превышало 0,03λ.

Моделирование

В моделировании использовались формулы Ричардса–Вольфа [21]:

if

E(p, V, z ) = "Y л

J J B(6,ф)T(6) P(6,ф)exp{ik[p sin6cos(ф-ф)

+ z cos 6] } sin 6 d 6 d ф ,

где B (θ, φ) – электрическое поле на входе широкоапертурной системы в координатах выходного зрачка (θ – полярный угол, φ – азимутальный), T (θ) – функ- ция аподизации линзы, f – фокусное расстояние k = π/λ – волновое число, P (θ, φ) – матрица поляризации, имеющая вид:

[1 + cos2 ф(cos 6-1)]a (6,ф) + sinфcosф(cos 6-1) b(6, ф)

P (6, ф) =

sin ф cos ф ( cos 6 - 1 ) a ( 6 , ф ) + [ 1 + sin² ф ( cos ^6- 1 ) ] b ^{(6 ,} ф )

- sin 6 cos ф a (6, ф) - sin 6sin ф b (6, ф)

где a (θ, φ) и b (θ, φ) – функции поляризации для x- и y-компонент фокусируемого пучка. В моделировании считалось, что зонная пластинка (T (θ) = cos–3/2θ, NA = 0,95) фокусирует плоскую волну, в которой по- ляризация и фаза изменяется посекторно в зависимости от значения азимутального угла φ. В таком случае, например, для 4-секторного пучка a (θ, φ), b (θ, φ) и B (θ, φ) буд ут иметь вид:

a ( 6 , ф ) = -	-1, 0 <ф<п /2 - 1, п /2 < ф< п 1, п < ф< 3 п /2 , 1 3 п /2 <ф< 2 п 1, 0 < ф < п /2	(3)
b (6 , ф ) = -	- 1, п /2 < ф< п - 1, п < ф <  3 п /2 , 1, 3 п /2 <ф< 2 п 1, 0 < ф < п /2	(4)
B ( 6 , ф ) =	i , п /2 < ф < п . - 1, п<ф< 3 п /2 - i , 3 п / 2 < ф <  2 п	(5)

На рис . 1 показана схема фокусировки – свет, поляризованный азимутально в четырёх секторах, проходит через секторную спиральную фазовую пластинку (СФП) с единичным топологическим зарядом, а затем фокусируется фазовой зонной пластинкой. При этом секторный поляризатор и фазовая пластинка могут быть совмещены в одном элементе [17 –19].

Рис. 1. Схема моделирования: четырёхсекторный азимутально-поляризованный пучок и четырёхсекторная фазовая пластинка

Результаты моделирования

Фокусировка секторно-поляризованного пучка, прошедшего через секторную фазовую пластинку

Результаты моделирования показаны на рис. 2–4. На рис. 2 показана фокусировка пучка, состоящего из четырёх секторов, на рис. 3 – из шести секторов. Для сравнения на рис. 4 показана фокусировка идеального азимутально-поляризованного оптического вихря.

Из сравнения рис. 2 и 3 с рис. 4 видно, что секторно-поляризованный пучок, прошедший через секторную СФП, в отличие от идеального азимутально-поляризованного оптического вихря содержит продольную компоненту напряжённости электрического поля. Хотя вклад её в формирование фокуса мал – для 4-секторного пучка максимум поперечной компоненты примерно в 21 раз превышает максимум продольной, а для 6-секторного – примерно в 80 раз. На рис. 5 показана относительная погрешность расхождения интенсивности в фокусе идеального пучка (Iideal) и секторно поляризованного (Iquasi), вычисленная как |Iideal – Iquasi|/max(Iideal).

Максимум погрешности на рис. 5 а не превышал 18%, а на рис. 5 б – 9%.

О

1.0

г)

J

1.5

1.0

0.5

К)

Рис. 2. Распределение в фокусном пятне интенсивности и отдельных составляющих интенсивности: I x (а), I y (б), I z (в), I (г), при фокусировке 4-секторного азимутального пучка, прошедшего 4-секторную СФП

а)   -1,0      -0.5        0        0.5       1,0         б)   -1,0      -0,5 О 0,5       1,0

в)   -1,0      -0,5        0        0,5       1.0          г)   -1,0      -0.5 О 0.5       1,0

Рис. 3. Распределение в фокусном пятне интенсивности и отдельных составляющих интенсивности: I x (а), I y (б), I z (в), I (г), при фокусировке 6-секторного азимутального пучка, прошедшего 6-секторную СФП

а)    -1.0      -0,5        0        0.5       1,0         б)    -1,0      -0,5        0        0.5       1.0

в)    -1.0      -0,5        0        0,5       1.0

Рис. 4. Интенсивность в фокусном пятне I x (а), I y (б), I (в), при фокусировке идеального азимутально-поляризованного оптического вихря

б)   -1.0      -0,5       0        0,5       1.0

Рис. 5. Ошибка в фокусе, вычисленная как |I ideal – I quasi |/max(I ideal ) для 4-секторного (а)

и 6-секторного (б) азимутально-поляризованного пучка

Фокусировка секторно-поляризованного пучка, прошедшего через непрерывную фазовую пластинку

На втором этапе моделирования считалось, что сек-торно азимутально поляризованный свет, проходит через непрерывную (спиральную) СФП ( B (θ,φ) = e^{i ϕ} ) и затем фокусируется зонной пластинкой (рис. 6). Распределение интенсивности в фокусе в данном случае показано на рис. 7, а на рис. 8 –погрешность.

Рис. 6. Схема моделирования: четырёхсекторный азимутально-поляризованный пучок и непрерывная фазовая пластинка

Фокусировка непрерывно-поляризованного пучка, прошедшего через секторную фазовую пластинку

На третьем этапе моделирования была рассмотрена фокусировка непрерывного азимутально-поляризованного пучка, прошедшего через секторную фазовую пластинку. Распределение интенсивности в фокусе в данном случае показано на рис. 9, а на рис. 10 – погрешность. Можно отметить, что в данном случае в связи с отсутствием продольной состав- ляющей напряжённости электрического поля в ис- ходном пучке продольная составляющая интенсивности в фокусе также отсутствует.

Рис. 7. Распределение интенсивности в фокусном пятне при фокусировке 4-секторного азимутального пучка (а), 6-секторного азимутального пучка (б), прошедшего непрерывную СФП

0.15

0,10

0,05

б)    -1.0

0,5      1.0

0,08

0,07

0,06

0.05

0.04

0,03

0.02

0,01

Рис. 8. Ошибка в фокусе, вычисленная как |I ideal -I quasi |/max(I ideal ) для 4-секторного (а) и 6-секторного (б) азимутально-поляризованного пучка

б) '-1,0      -0,5        0        0,5       1,0

Рис. 9. Распределение интенсивности в фокусном пятне при фокусировке азимутально-поляризованного пучка, прошедшего 4-секторную (а), 6-секторную (б) СФП

-1.0

-0.5

О

0.5

1.0

б)    -1.0      -0,5        0         0,5       1,0

Рис. 10. Ошибка в фокусе, вычисленная как

|I ideal – I quasi |/max(I ideal ) для 4-секторного (а) и 6-секторного (б) азимутально-поляризованного пучка

Для наглядности в табл. 1 и 2 показаны результаты сравнения проведённых моделирований. Погрешность показана в табл. 1, а диаметры пятна – в табл. 2.

Табл. 1. Максимальная погрешность распределения интенсивности в фокусе

	Чис ло секторов	Максимальная погрешность max(| I ideal – I quasi |/ max( I ideal )), %
Секторная СФП Секторная поляризация	4	18,0
	6	8,6
Непрерывная СФП Секторная поляризация	4	18,9
	6	8,8
Секторная СФП, Непр ерывная поляриз ация	4	18,9
	6	8,8

Табл. 2. Значения диаметров фокусного пятна по полуспаду интенсивности

	Чис ло секторов	FWHM min , λ	FWHM max , λ
Секторная СФП Секторная поляризация	4	0,456	0,489
	6	0,460	0,461
Непрерывная СФП Секторная поляризация	4	0,460	0,468
	6	0,460	0,460
Секторная СФП Непр ерывн ая поляризация	4	0,452	0,474
	6	0,460	0,460
Идеальный азимутально-поляризованный оптический вихрь		0,460

Из табл. 1 видно, что секторность пучка и сектор-ность СФП оказывают примерно одинаковое влияние на результаты фокусировки. Хотя, сравнивая рис. 5 и рис. 8 и 10, можно отметить, что в случае одновременного использования секторного пучка и се ктор-ной СФП расхождение в распределении интенсивности вносится в большей степени не центральным пиком, а боковыми лепестками.

Из табл. 2 видно, что уже использование 6-сек-торного пучка практически не влияет на результат фокусировки – расхождение в размерах фокусного пятна по полуспад у интенсивности, вызванное асимметрией, не превышает 0,001λ. Для 4-секторного пучка расхождение не превышало 0,03λ.

Заключение

В данной статье мы численно рассмотрели острую фокусировку оптического вихря с посекторной азимутальной поляризацией (длина волны λ =532 нм) зонной пластинкой Френеля с числовой апертурой NA= 0,95. Численно показано, что при фокусировке пучка с секторностью 6 результаты фокусировки практически не отличаются от фокусировки идеального азимутально-поляризованного вихря – расхождения в размерах фокусного пятна по полуспад у интенсивности, вызванные асимметрией, не превышают 0,001λ. Для 4-секторного пучка расхождение не превышало 0,03λ.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, гранта Президента РФ поддержки вед ущи х научных школ (НШ-4128.2016.9) и молодого кандидата наук (МК-9019.2016.2), а также грантов РФФИ (15-07-01174, 15-47-02492, 16-2911698, 16-47-630483).