Отображение единичного круга на многоугольник специального вида
Автор: Очирова И.В., Горяева С.П.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 10 (52), 2019 года.
Бесплатный доступ
Данная статья посвящена рассмотрению отображения единичного круга на многоугольник специального вида, построению функции, реализующей такое отображение.
Конформное отображение, формула шварца - кристоффеля, бесконечно удаленная точка
Короткий адрес: https://sciup.org/140273992
IDR: 140273992
Текст научной статьи Отображение единичного круга на многоугольник специального вида
Рассмотрим однолистное конформное отображение круга Е на область D, полученную из плоскости w удалением луча вдоль вещественной оси с симметричной относительно этой оси вилкой, причем точка z 1 переходит в конец луча w 1 = —го, точки z 1 , z2, z3, z4, z5, z6 переходят соответственно в точки w 1 , w2, w3, w4, w5, w6, где z4 = —1.
Используя функцию
-
1 — z s(z:) = ‘1+7 (1)
причем s(0) = ‘, отобразим круг Е на верхнюю полуплоскость D + : применив формулу Шварца - Кристоффеля для функции, реализующей конформное отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника, получим 5 f ds
w(s) = с I A(s)7----—--- —, (2)
J (s — a)2(s — а)
где
Л(s) = П(s —S y ) " ' " 1. (3)
j=1
Известно, сто если одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке, то угол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке пересечения, взятых со знаком минус. В данном случае точке z 1 = 1 соответствуют точки S 1 = 0 и w 1 = —го, поэтому первый сомножитель в (3) равен s.
В силу того, что отрезки w2w3 = w5w6, то z6 = z2, z5 = z3 и s3 =
-
-s5, S 2 = -s6 , тогда
(S - Sg)2-1 = S + S3,
(s - Sg)a5-1(s - S3)a3-1 = (s + S3)2-1(S - S3)2-1 = S2 - S2 , (4)
(s - s6)“6-1 = (s + S2)“2-1,
(s - s6)“6-1(s - S2)“2-1 = (s + s2)“2-1(s - S2)“2-1 = (s2 - S2 )a2-1. (5)
Если одной из вершин многоугольника соответствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к этой вершине множитель в формуле Шварца - Кристоффеля выпадает.
Так как соответствующая точкам z4 = -1 и w4 точка s4 = ю, то множитель s - s4 выпадает.
Точка s = а G D+ соответствует бесконечно удаленной точке многоугольника, тогда S1 = 0, то есть а = 0.
С учетом вышеизложенного получаем
^(s)
s(s 2 - S 2 ) “2 1 (s 2
—
S 3 2 )
(s - a) 2 (s - а) 2
= (s 2 - S 3 2 )(s 2
s 3
s 4
—
S 2 2 Г2 - 1
.
Пусть « 2 - 1 = - 1 , тогда, подставляя (6) в (2), получим
S w(s) = с J S o
S 2 -
(s 2
—
s 2 ds
1 ^ 73'
s 2 ) ^ S
где1 < «2 < 1.
Интеграл (7) не будет содержать логарифмической функции или арктангенса при
S2 = ks2 .
Первообразная подынтегральной функции в (7) в этом случае равна rz 4 k(s2-S 2 2 )1- k
так как из (9) с учетом (8) имеем
I'(s) =
s2 —
s3(s2 —
с 2
s 3
S2 )k
C учетом (9) выражение в (7) перепишется в виде
ck(s2 w(s) =--
—
S2 )1-1
2s2
■
Из (10), (11) имеем
w(z) = /? —-
-ie 2 z ) 1 к (1
^^^в
e^z) 1
(1-z) 2
-1 2
z (1 + z) k
,
функция
(1 — 2cos62z + z2)1 w(z)=£--------k—
k (1 + z)k
,
W(z) = £ [
(1 — 2cos0 2 z + z 2 ) 1 (1 — z) 2
fc (1 + z)k
"I
будет удовлетворять условию W(0) = 0.
При cos 0 2 = —0,2, k = 4 выражение в (11) перепишется в виде
f(z) = C [
(1 + 0,4z + z2) 4 (1 + z) 2 ( 1 —z ) 2
1] GS,
а соответствующая ей функция w2 (z) G S2 имеет вид
/ 2 (z) = c([-
(1 + 0,4z + z2) 4 (1 + z) 2 ( 1 — z ) 2
—
'I)2 GS-
Список литературы Отображение единичного круга на многоугольник специального вида
- Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. - Томск, 2001. с. 220.
- Береславский Э.Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках. Журнал Дифференциальные уравнения, 1997, том 3, номер 3, 296-301с.
- Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. 1973 - 749с.