Отображение единичного круга на многоугольник специального вида

Рассмотрим однолистное конформное отображение круга Е на область D, полученную из плоскости w удалением луча вдоль вещественной оси с симметричной относительно этой оси вилкой, причем точка z 1 переходит в конец луча w 1 = —го, точки z 1 , z₂, z₃, z₄, z₅, z₆ переходят соответственно в точки w 1 , w₂, w₃, w₄, w₅, w₆, где z₄ = —1.

Используя функцию

• 1    — z ^s(z:) = ‘1+7                       ⁽¹⁾

причем s(0) = ‘, отобразим круг Е на верхнюю полуплоскость D + : применив формулу Шварца - Кристоффеля для функции, реализующей конформное отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника, получим 5 f             ds

w(s) = с I A⁽s)₇----—--- —,                 ⁽2)

J     (s — a)²(s — а)

где

Л(s) = П(s —S y ) " ' " ¹.                    (3)

j=1

Известно, сто если одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке, то угол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке пересечения, взятых со знаком минус. В данном случае точке z 1 = 1 соответствуют точки S 1 = 0 и w 1 = —го, поэтому первый сомножитель в (3) равен s.

В силу того, что отрезки w₂w₃ = w₅w₆, то z₆ = z₂, z₅ = z₃ и s₃ =

• -s₅, S 2 = -s₆ , тогда

(S - Sg)2-1 = S + S3,

(s - Sg)a5-1(s - S3)a3-1 = (s + S3)2-1(S - S3)2-1 = S2 - S2 ,       (4)

(s - s6)“6-1 = (s + S2)“2-1,

(s - s6)“6-1(s - S2)“2-1 = (s + s2)“2-1(s - S2)“2-1 = (s2 - S2 )a2-1.  (5)

Если одной из вершин многоугольника соответствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к этой вершине множитель в формуле Шварца - Кристоффеля выпадает.

Так как соответствующая точкам z4 = -1 и w4 точка s4 = ю, то множитель s - s4 выпадает.

Точка s = а G D+ соответствует бесконечно удаленной точке многоугольника, тогда S1 = 0, то есть а = 0.

С учетом вышеизложенного получаем

^(s)

s(s ² - S 2 ) “² 1 (s ²

—

S 3 ² )

(s - a) ² (s - а) ²

₌ (s ² - S 3 ² )⁽s ²

s ³

s ⁴

—

S 2 ² Г² - ¹

.

Пусть « 2 - 1 = - 1 , тогда, подставляя (6) в (2), получим

S w(s) = ^с J S o

S ² -

(s ²

—

s 2    ds

1 ^ 73'

s 2 ) ^ ^S

где1 < «2 < 1.

Интеграл (7) не будет содержать логарифмической функции или арктангенса при

S2 = ks2 .

Первообразная подынтегральной функции в (7) в этом случае равна _{rz 4}     k⁽s²-S 2 ^{2 )1-} k

так как из (9) с учетом (8) имеем

I'(s) =

s2 —

s3(s2 —

с 2

^s 3

S2 )k

C учетом (9) выражение в (7) перепишется в виде

ck(s2 w(s) =--

—

S2 )1-1

2s2

■

Из (10), (11) имеем

w(z) = /? —-

^-ie 2 _z ) ¹ к (1

^^^в

e^z) ¹

(1-z) ²

-1      2

^z (1 + z) k

,

функция

(1 — 2cos62z + z2)1 w(z)=£--------k—

k (1 + z)k

,

W⁽z) = £ [

(1 — 2cos0 2 z + z ² ) ¹ (1 — z) ²

fc (1 + z)k

"I

будет удовлетворять условию W(0) = 0.

При cos 0 2 = —0,2, k = 4 выражение в (11) перепишется в виде

f(z) = C [

(1 + 0,4z + z²) 4 (1 + z) 2 ( 1 —z ) ²

1] GS,

а соответствующая ей функция w₂ (z) G S₂ имеет вид

/ 2 (z) = c([-

(1 + 0,4z + z²) 4 (1 + z) 2 ( 1 — z ) ²

—

'I)2 GS-