Отображение единичного круга на многоугольник специального вида

Автор: Очирова И.В., Горяева С.П.

Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j

Рубрика: Основной раздел

Статья в выпуске: 10 (52), 2019 года.

Бесплатный доступ

Данная статья посвящена рассмотрению отображения единичного круга на многоугольник специального вида, построению функции, реализующей такое отображение.

Конформное отображение, формула шварца - кристоффеля, бесконечно удаленная точка

Короткий адрес: https://sciup.org/140273992

IDR: 140273992

Текст научной статьи Отображение единичного круга на многоугольник специального вида

Рассмотрим однолистное конформное отображение круга Е на область D, полученную из плоскости w удалением луча вдоль вещественной оси с симметричной относительно этой оси вилкой, причем точка z 1 переходит в конец луча w 1 = —го, точки z 1 , z2, z3, z4, z5, z6 переходят соответственно в точки w 1 , w2, w3, w4, w5, w6, где z4 = —1.

Используя функцию

  • 1    — z s(z:) = ‘1+7                       (1)

причем s(0) = ‘, отобразим круг Е на верхнюю полуплоскость D + : применив формулу Шварца - Кристоффеля для функции, реализующей конформное отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника, получим 5 f             ds

w(s) = с I A(s)7----—--- —,                 (2)

J     (s a)2(s а)

где

Л(s) = П(s —S y ) " ' " 1.                    (3)

j=1

Известно, сто если одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке, то угол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке пересечения, взятых со знаком минус. В данном случае точке z 1 = 1 соответствуют точки S 1 = 0 и w 1 = —го, поэтому первый сомножитель в (3) равен s.

В силу того, что отрезки w2w3 = w5w6, то z6 = z2, z5 = z3 и s3 =

  • -s5, S 2 = -s6 , тогда

(S - Sg)2-1 = S + S3,

(s - Sg)a5-1(s - S3)a3-1 = (s + S3)2-1(S - S3)2-1 = S2 - S2 ,       (4)

(s - s6)“6-1 = (s + S2)“2-1,

(s - s6)“6-1(s - S2)“2-1 = (s + s2)“2-1(s - S2)“2-1 = (s2 - S2 )a2-1.  (5)

Если одной из вершин многоугольника соответствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к этой вершине множитель в формуле Шварца - Кристоффеля выпадает.

Так как соответствующая точкам z4 = -1 и w4 точка s4 = ю, то множитель s - s4 выпадает.

Точка s = а G D+ соответствует бесконечно удаленной точке многоугольника, тогда S1 = 0, то есть а = 0.

С учетом вышеизложенного получаем

^(s)

s(s 2 - S 2 ) 2 1 (s 2

S 3 2 )

(s - a) 2 (s - а) 2

= (s 2 - S 3 2 )(s 2

s 3

s 4

S 2 2 Г2 - 1

.

Пусть « 2 - 1 = - 1 , тогда, подставляя (6) в (2), получим

S w(s) = с J S o

S 2 -

(s 2

s 2    ds

1 ^ 73'

s 2 ) ^ S

где1 < «2 < 1.

Интеграл (7) не будет содержать логарифмической функции или арктангенса при

S2 = ks2 .

Первообразная подынтегральной функции в (7) в этом случае равна rz 4     k(s2-S 2 2 )1- k

так как из (9) с учетом (8) имеем

I'(s) =

s2 —

s3(s2 —

с 2

s 3

S2 )k

C учетом (9) выражение в (7) перепишется в виде

ck(s2 w(s) =--

S2 )1-1

2s2

Из (10), (11) имеем

w(z) = /? —-

-ie 2 z ) 1 к (1

^^^в

e^z) 1

(1-z) 2

-1      2

z (1 + z) k

,

функция

(1 — 2cos62z + z2)1 w(z)=£--------k—

k (1 + z)k

,

W(z) = £ [

(1 — 2cos0 2 z + z 2 ) 1 (1 — z) 2

fc (1 + z)k

"I

будет удовлетворять условию W(0) = 0.

При cos 0 2 = —0,2, k = 4 выражение в (11) перепишется в виде

f(z) = C [

(1 + 0,4z + z2) 4 (1 + z) 2 ( 1 —z ) 2

1] GS,

а соответствующая ей функция w2 (z) G S2 имеет вид

/ 2 (z) = c([-

(1 + 0,4z + z2) 4 (1 + z) 2 ( 1 — z ) 2

'I)2 GS-

Список литературы Отображение единичного круга на многоугольник специального вида

  • Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. - Томск, 2001. с. 220.
  • Береславский Э.Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках. Журнал Дифференциальные уравнения, 1997, том 3, номер 3, 296-301с.
  • Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. 1973 - 749с.
Статья научная