Парадоксы теории множеств

Теория множеств является универсальным фундаментом для всего здания математики. Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Область исследования каждой математической дисциплины можно представить в виде набора множеств заданной структуры. Однако неограниченное, свободное использование понятий канторовской теории множеств порождает парадоксы.

Парадоксы были типичными способами постановки проблем в античном мышлении. Сначала парадоксы рассматривались только как продукт философских измышлений, теперь наука признала их полноправными членами сообщества научных проблем [1]. Парадоксы возникают главным образом в области крайних обобщений, за пределами фактического применения понятий геометрии и анализа. В теории множеств парадоксы и противоречия возникают при переход от конечных множеств, содержащих конечное число элементов, к бесконечным. Рассмотрим два таких парадокса.

Парадокс Рассела. Обозначим через S множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Это множество, во всяком случае, не конечно.

Допустим, что S ∈ S Но тогда, по определению S должно быть S ∉ S .

Допустим, что S ∉ S . Но тогда, по определению S , должно быть S ∈ S . Получено противоречие (парадокс).

Исходные множества расселовского парадокса обычные, поэлементные, определение нейтрально к своему предмету. Множество всех множеств, не являющихся своими элементами, не может наличествовать в качестве своего элемента и не может не наличествовать. Оно порождает себя в качестве своего элемента и тем самым порождает себя в качестве множества, не могущего быть своим элементом. Оно не собственный элемент и не "не собственный элемент", оно - потенция того и другого, или, точнее, субъект, формирующий то и другое множества. Такое множество порождает себя как предмет определения и одновременно как определение предмета

Парадокс Кантора. Пусть T это множество всех множеств (снова бесконечное множество) и 2 ^т его булеан. Тогда 2 ^Т с Т . Доказано, что если A и B бесконечные множества и если A с B, то| A | < | В | и, что | A | < |2 B (теорема Кантора). Таким образом, с одной стороны |2 ^T | < | Т |.

С другой стороны, | Т | < |2 ^т |. Снова получено противоречие.

Однозначного ответа на вопрос, как избежать парадоксов, не существует и сегодня. Ясно, что парадокс возникает, если никак не ограничивать свободу конструирования множеств (свободу выбора характеристического предиката).

Множество S из парадокса Рассела описывается характеристическим предикатом S = { A| A — множество и A £ A } .

Множество T из парадокса Кантора описывается характеристическим предикатом Т = { A| A — множество } .

Следовательно, можно попытаться избежать противоречий, если ограничить себя рассмотрением множеств, которые разрешены определенным списком аксиом. Эти аксиомы сформулированы так, что известные парадоксы из них не выводятся. Таких списков аксиом предложено несколько. В системе аксиом Цермело – Френкеля принцип абстракции заменяется аксиомой выделения: Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств

Идея этого подхода заключается в том, что допускается использовать только множества, построенные из уже построенных множеств при помощи определённого набора аксиом. Так, например, одна из аксиом Цермело говорит, что можно построить множество всех подмножеств данного множества (аксиома булеана). Другая аксиома (схема выделения) говорит, что из каждого множества можно выделить подмножество элементов, обладающих данным свойством. В этом состоит главное отличие теории множеств Цермело от наивной теории множеств: в наивной теории множеств можно рассмотреть множество всех элементов, обладающих данным свойством, а в теории множеств Цермело — только выделить подмножество из уже построенного множества. В теории множеств Цермело нельзя построить множество всех множеств. Таким образом и расселовское множество там построить нельзя.

Парадоксы теории множеств - закономерный результат развития математики, в котором выражаются особенности формального способа описания действительности с помощью искусственного языка. Парадоксы важны,    поскольку    размышление    о    них    затрагивает наиболеефундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления.