Параметрическое взаимодействие сонаправленных магнитоакустической и альфвеновской волн в условиях магнитоакустической неустойчивости

Процессы трёхволнового взаимодействия активно исследуются в различных областях физики. Это связано с тем, что данные процессы охватывают широкий круг нелинейных явлений: различные виды вынужденного рассеяния электромагнитных и акустических волн на волнах иной природы; генерацию волн суммарной и разностной частот, возбуждение второй гармоники, параметрическое усиление и тому подобные. В частности, в астрофизике сильный интерес к трёхволновому взаимодействию вызван задачей объяснения аномально высоких температур короны солнца по отношению к низ-лежащим слоям. По одной из моделей нагрева солнечной короны перекачка энергии происходит с помощью альфвеновских волн, которые могут переносить энергию на большие расстояния [1]. В отличие от магнитоакустических волн эти волны способны преодолевать большие расстояния, поскольку не образуют резкого ударного фронта. В корональной зоне происходит распад мощных альфвеновских волн на альфвеновские волны меньшей величины и медленные магнитоакустические волны, которые в процессе диссипации и нагревают корону. В пользу данной теории говорят результаты наблюдений, которые подтверждают наличие в короне солнца альфвеновских волн достаточной мощности [2], способных при своём распаде нагреть корональ-ную зону до наблюдаемых температур. Однако природа возникновения альфвеновских волн большой амплитуды в нижних слоях атмосферы пока не выяснена. В то же время известно, что в неравновесных тепловыделяющих средах магнитоакустические волны могут стать неустойчивыми и усиливаться, в то время как альфве-новские волны остаются устойчивыми [3, 4]. Наличие тепловыделения, как было показано нами ранее в [5 – 9], приводит в условиях тепловой неустойчивости к возникновению вынужденного рассеяния акустических волн в газовых средах при гораздо меньших интенсивностях волны накачки по сравнению с требуемыми для возбуждения вынужденного рассеяния в равновесных средах.

В настоящей работе впервые показана возможность усиления альфвеновской волны в результате трёхволнового взаимодействия с неустойчивыми магнитоакустическими волнами в тепловыделяющей акустически активной среде.

1. Основная система уравнений.

Дисперсионные соотношения альфвеновских и магнитоакустических волн

В данной работе исследуется трёхволновое взаимодействие магнитогазодинамических волн в однородной, сжимаемой, идеально проводящей плазменной среде, находящейся под действием внешнего магнитного поля, на которую не влияют гравитационные силы. Газодинамические процессы в подобных средах описываются системой МГД уравнений:

д^ = rot [V х 6], divB = 0 , dV         1 -     =

ρ   = -∇P-   ⋅B×rotB ,

dt        4π

dp ,■ т7           dT кв • T dP

+ div ρ V = 0 , C _{V ∞} ρ    -      ⋅    = -ρℑ ( ρ , T ) ,

∂ t                  dt m dt

P = k ^B T ^ρ , ℑ ( ρ , T ) = L ( ρ , T ) - Q ( ρ , T ).

m

В (1) ρ , T , P – плотность, температура и давление в плазменной среде соответственно, V , B – это вектора скорости и магнитного поля соответственно, k B – постоянная Больцмана, C V ∞ – высокочастотная теплоёмкость при постоянном объёме, m – 1/2 молекулярной массы, L ( ρ , T ), Q ( ρ , T ) – функции, описывающие охлаждение и нагрев, d / dt = ∂ / ∂ t + V ∇ , -ρℑ ( ρ , T ) – обобщённая функция тепловых потерь, широко применяемая при исследовании тепловых неустойчивостей, начиная с пионерских работ [10, 11]. В стационарных условиях она равна 0. В системе (1) ионизованный газ является идеальным, если пренебречь влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости, теплопроводности и конечной проводимости.

Исследования волн проводились в декартовой системе координат x, y, z. Вектор стационарного магнитного поля находится в плоскости x, z , т.е. B 0 = B 0 • sin a • x ₀ + B 0 • cos a • z ₀ , где B ₀ - абсолютное значение длины вектора индукции магнитного поля; α – угол наклона между магнитным полем и осью z; x ₀ , z ₀ - единичные векторы. В работе рассматривались волны, распространяющиеся вдоль оси z . Зависимостями от x и y пренебрегалось ( ∂ ∂ x = ∂ ∂ y = 0) .

Стандартная процедура линеаризации системы (1) относительно возмущений стационарного состояния вида   р = р0 + р exp(-i го t + ikz) позволяет получить дисперсионное соотношение для альфвеновских волн (тепловыделение не приносит сюда ничего нового) 2

-г- = с2 • cos2 а k2

и магнитоакустических волн [3]

го = 0.5 (с2 + c2 )± 0.57с4 + c4 - 2с2c2 cos2a ,(3)

где с2 = BО2    с2 = квТо Cpо — iготСр- a   4про ’ m Cvо - iготCv-’

Ср = C +

P -      V -

kB ft _ kB 30 T_

, CV 0 =        , Ср о = mm кв \^0T -Зор)

m

,

t = '    _ З = TL(d5/dTLP T_T , m • Qо     0 T Qо            P=P0,T=T0

З = Р^(ЭЗ / dp )₀__{0 T}__T .

^0p Z") ^x         ~^/р=^р0, ¹ = T 0

Q ₀

Здесь C_{р ю} - высокочастотная теплоёмкость при постоянном давлении, C V0 , C P0 – эффективные низкочастотные теплоёмкости при постоянном объёме и давлении в тепловыделяющей среде [12, 14] соответственно, т - характерное время нагрева, c_a - скорость альфвеновских волн, Q 0 – стационарное значение мощности нагрева.

Без учёта тепловыделения ё2 = с- и выражение (3) совпадает с ранее известным [2]. Зависимость от частоты комплексной величины ё2 обуславливает по- явление в тепловыделяющей среде дисперсии скоро- сти магнитоакустических волн.

Дисперсионное отношение (3) существенно уп- рощается в низкочастотном и высокочастотном при- ближениях [3]:

ГО ГО^о к =---- 1 + г----н , гот<< —P0-,, сп,       4р„с 2    0 С „ С ’

0 f , s у       ^р 0 0 f , s у            ^Р - V -

ГО к = c-f, s l

¹ ^0^ V 0^ -

Л

⁴ Р о ^c - f , s ^ГОТ 2 ^CV - ,

, ГОТ>>

С С

P 0 V 0

,, р -  '-v -

где ^Н

1 ±      с о^{2 - c2} c^{os2 a}

, V с о4 + с4 - 2 с о2 c2cos2a у г

¹ ±

l

с - - с ² cos 2 а

\ с - + с 4 - 2 с - C 2 cos2 a _у

е     Тр о C V - ^{( с} - ^{- с} 02 ) ^Р о ^Т о ^(З 0р ^{/( y} - 1) ^{+ З} о T )

^ 0 =------т;--------=---------------------

C V о                       ^З 0 T

• ^с о = ^С Р о ^k B ^T 0 / ^mC V о = ^Y о ^k B ^T 0 / ^m , с - = С р - k B T ) / mC V - = Y - k B T ) / m ,

• 2. Условия фазового синхронизма. Укороченные уравнения

c 02 f ,s = 0, 5( с о2 + с2 ± V с4 + с4 - 2 со2 с4cos2а ), c-f, s=0,5( с -+са ± 4 с -+с4 - 2 с -с4cos2а), (7) ^0 - низкочастотный коэффициент второй вязкости в тепловыделяющей среде [12-15], cо, c- - низкочастотная и высокочастотная скорости звука, cоf,s, c- f,s -низкочастотная и высокочастотная скорости магнитоакустических волн, индексы f, s соответствуют быстрой (знак «+» в (3), (6), (7)) и медленной (знак «–») магнитоакустическим волнам. Выражение для низкочастотной скорости звука совпадает с полученным выражением в работах [12, 16].

Согласно (2) – (7) альфвеновская волна является устойчивой, а магнитоакустические волны теряют устойчивость при ^ ₀ <  0, то есть при выполнении условия

[З ор /( Y - - 1) +З о T ] <  о. (8)

Это условие совпадает с известным условием акустической неустойчивости тепловыделяющих сред в отсутствие магнитного поля [10 – 12].

Рассмотрим параметрическое взаимодействие между двумя сонаправленными альфвеновскими волнами и одной магнитоакустической волной. Таким образом, необходимо описать условия, при которых возможен обмен энергией между модами. В литературе подобные условия известны как условия фазового синхронизма, которые в случае трёхволнового взаимодействия записываются как

• 3                  3 --

• ^ ni гог = Аго; ^ пк = А к .(9)

i=1

В дальнейшем будем считать, что волны взаимодействуют когерентно, то есть Аго = А к = 0 .

Альфвеновские волны по своей природе распространяются вдоль силовых линий внешнего магнитного поля. Таким образом, в рамках рассматриваемой задачи для выполнения условий синхронизма все волны должны быть коллинеарны вектору внешнего магнитного поля, то есть угол наклона между магнитным полем и осью z равен 0.

Обозначим индексами 0 и 1 альфвеновские волны, индексом 2 магнитоакустическую волну. Основываясь на описанных выше результатах, запишем дисперсионные уравнения для волн, параллельных вектору магнитного поля.

гоо = cak0, го1 = cak1, го2 = cSk 2, cs =

Ср о i го2 то Ср - kБT0 — cV0 - i го2 Т0cV-   m

Легко видеть, что условие синхронизма для сона-правленных волн го0 > 0, го1 > 0, го2 > 0; к0 > 0, к1 > 0, к2 > 0

может выполняться в одном случае, когда скорости альфвеновской и магнитоакустической волн равны.

В этом случае возможен либо распад магнитоакустической волны на две альфвеновские волны:

го2 = го0 + го1 , к2 = к0 + к1 , to0    cak0, to1 cak1, to2 cSk2 ,

либо распад альфвеновской волны на магнитоакустическую волну и альфвеновскую волну:

to o — ^ 2 + to’ к о — к 2 + k 1 , ^to 0 ^— c a k 0 , ^to 1 ^— c a ^k 1 , ^to 2 ^— c S ^k 2 '

Стандартная процедура укорочения исходной системы уравнений магнитной гидродинамики (1) в приближении медленно меняющихся во времени и пространстве амплитуд взаимодействующих волн приводит к следующим уравнениям, описывающим трёхволновое взаимодействие в высокочастотном пределе toT >>  С р 0 / С р и , C V 0 / C v и .

1) Параметрический распад магнитоакустической волны:

д Vx

—— + с

a

д t       '

д й\х

—— + c д t       ‘

a

д V1 x д z д U1 x д z

• ^to 0 Т/ —*

^— i".----^V1 z^u1 x ,

4 c и

— 1

■ i — V V * 4 c ^{1 z 1 x} ’

и

В результате системы (13), (14) преобразуются к

следующим системам соответственно:

f д С ₂      д С ₂

--+ c --+ c а С^ — — iA • С_п С , д t       д z         ^{2         01}

^{д С} 0 , _c ^С а д t a д z

д С

—¹ + c„ д t “

д С 1 д z

: — iAC ₂ С * ,

— iAC ₂ С ₀* ,

и

^2- + c ^2- + c а С₂ — — iA • С„С ,* , д t        д z            ^{2           0}

^{д С} 0 , „ ^ С л д t a д z

д С ,

д t

д С 1 д z

^: — iAC 2 С 1 ,

— iAC ₂* С ₀ .

х I to₍₎to.to₂

В (15), (16) A — ^{V 0 1 2} .

_{+ c} ' ^V_{+c a} у ₌

-x ' c и -x ' c и^аи' 1 z д t       д z

■ to2      -

^— i Z-- ^V 1 x ^U 1 x .

4 c и

2) Распад альфвеновской волны:

д V, —— + с

a

д t       '

д u

—— + c д t ‘

a

д V x д z д u1 x д z

^— i T"⁰"" ^V₁z^U _{1 x} ’

4 c и

—

■ i — V * V

4 c ^{1 z 1 x} ’ _и

д^^+c д!^+c a у c c ^a и          и и 1z д t       дz

■ to 2      -♦

^{— 1} Z-- ^V 1 x ^U 1 x .

4 c и

Здесь V_1Z - это амплитуда магнитоакустической

волны, V _1x , u 1 _x новских волн,

- амплитуды сонаправленных альфве- c _и - высокочастотная скорость магни-

тоакустической волны,

а

и

1 C v 0 ( С и — С 0 ² )

c   2c2 C., t и и V и 0

высокочастотный инкремент усиления магнитоакустической волны при нулевом угле наклона между магнитным полем и осью z .

В низкочастотном пределе уравнения (13), (14) сохраняют свою форму, но заменяют коэффициенты на низкочастотные, то есть на c ₀ и низкочастотный инкремент усиления магнитоакустической волны

^a 0

1 ^{to C}V и ^Т 0 ( ^С и ^С 0 )

^c 0        ^{2 c} 0 ^C V 0

.

Для определённости будем использовать уравнения, полученные в высокочастотном приближении. Сделаем следующую замену переменных

С = V1 x  С* = V1 x  С =

С 0 —  I—, С 0 —  I---, С1 —  I ,

V to,       7 toV

.     и *            v       .iz*

у* _ U1 x  у _ V1 z  y* _

С1       I----, С 2       I----, С 2       I.

to

to ₂

to ₂

Полученные системы уравнений могут быть сведены к ранее известным системам уравнений [1, 17], описывающим параметрическое взаимодействие аль-фвеновских (или геликонов) и магнитоакустических волн путём отбрасывания влияния тепловыделения, приближения длин волн, сравнимых с размерами рассматриваемой среды, учётом слабых расстроек по ча-

стоте и волновым векторам.

Системы (15), (16) будем решать, используя следующие приближения.

Во-первых, полагаем, что волной накачки является магнитоакустическая волна достаточно большой амплитуды, и применим известное приближение заданной диссипирующей волны накачки [18]:

С ₂ — C ₂₀ e ^—а и t .

Во-вторых, в случаях, если длина волны сопоставима или больше размеров рассматриваемой области,

то можно не учитывать изменения амплитуды воз-

мущений в зависимости от координаты и рассматривать только временную динамику. Данное приближение, в частности, может быть применено для волн в корональных областях солнца.

В этих приближениях системы (15), (16) прини-

мают простой вид

f д С_о

~дГ ^{д С} 1 . д t

или <

д С ₀

д t д С ₁

I д t

— iA • С ₂ С 1* ,

— iA • С ₂ С ₀ ^* .

— iA С 2 С 1 ,

— iAC 2* С 0 .

Эти системы должны быть дополнены следующи-

ми начальными условиями .

C 1 ( 0 ) — C 10 ; C 0 ( 0 ) — C 00 ; C 00 , C 10 , C 20

— const .

Решения систем (17), (18) получаются аналитически с использованием подстановки

τ=

1 - e ^-α∞

t

α

∞

В результате получаем решение системы (17) в виде

C 0 ⁼

C 00 + iC 10 e - A ⋅ C 20 τ₊ C 00 - iC 10 e A ⋅ C 20 τ

C 1 =

C 10 + iC 00 _e - A ⋅ C ₂₀ τ ₊ C 10 - iC 00 _eA ⋅ C ₂₀ τ

Решение системы (18) имеет вид

C 0 =

C ₀₀ + C _{10 e - i} I A I _{C 20 τ +} C ₀₀ - C _{10 ei} I A I C 20^τ

^С 1 ⁼

C 00 ⁺ C 10 e ^{- i} I ^A I ^C 20 ^τ _- C 00 ^- C 10 e ⁱ I ^A I C 20 ^τ

Таким образом, в магнитоакустически активной среде, то есть при α∞<0 , имеем параметрическое усиление сонаправленных альфвеновских волн только при выполнении условий фазового синхронизма, удовлетво- ряющих условию параметрического распада магнитоакустической волны (11). Причём согласно (19) происходит не линейное, а экспоненциальное нарастание параметрического инкремента с ростом времени.

Заключение

Рассмотрена возможность процесса параметрического усиления альфвеновских волн, сонаправленных с магнитоакустической волной, распространяющихся в тепловыделяющей плазменной среде . Как было показано , данный процесс может протекать только в том случае, если скорости альфвеновских волн и магнитоакустической волны равны. В приближении медленно меняющихся во времени и пространстве амплитуд в работе были получены дифференциальные уравнения, описывающие процесс перекачки энергии между модами. Как можно видеть из аналитических решений в приближении длинных волн, усиление альфвеновских волн возможно лишь в том случае, если частота магнитоакустической волны превышает частоту альфвеновских волн. Это соответствует процессу распада магнитоакустической волны на две сонаправленные альфвеновские волны.

Работа частично поддержана Минобрнауки РФ, государственное задание на выполнение работ на 2012-2014 годы, шифр 2.560.2011 и ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг., ГК № 14.740.11.0999, 14.740.11.1140, соглашения 14.B37.21.0767, №14.132.21.1423, 14.132.21.1440, грантами РФФИ 13-01-97001 р_поволжье_а, 13-01-97005 р_поволжье_а, 12-01-31229 мол__а, НИР №ГР 01201156352 и стипендией Президента РФ для молодых учёных и аспирантов, осуществляющих перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики 2013-2015 годов.