Перепутывание кубитов при наличии атомной когерентности

Одной из основных проблем современной физики квантовых вычислений является проблема разработки эффективных схем генерации и контроля перепутывания состояний кубитов, взаимодействующих с различными полями [1]. В последнее время предложены и экспериментально реализованы различные схемы генерации перепутывания состояний атомов и ионов в резонаторах и оптических и магнитных ловушках, а также различных искусственных атомных объектов, таких как квантовые точки, примесные спины в твёрдых телах, сверхпроводящие цепи с джозефсонов-скими переходами и др. [2]. При теоретическом описании взаимодействия таких систем с квантованными полями используется модель Джейнса–Каммингса и её простейшие обобщения [3]. Для количественного исследования особенностей перепутывания кубитов, взаимодействующих с квантованными полями, широко применяется двухатомная модель Джейнса–Каммингса, так как строгие критерии перепутывания в настоящее время хорошо определены именно для систем двух кубитов [4]. Известно, что диполь-ди-польное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания. Наличие диполь-дипольного взаимодействия атомов, в частности, может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух атомов, взаимодействующих с модой поля в идеальном резонаторе [5–9]. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно увеличить, уменьшая относительное расстояние между кубитами. При этом, например, джозефсоновские сверхпроводящие кубиты могут иметь дипольные моменты, значительно превосходящие дипольные моменты обычных атомов [2]. В ряде работ [10– 12] для двухатомных моделей с различными типами разрешённых атомных переходов показано, что высокая степень перепутывания кубитов, взаимодействующих с квантованными полями, может быть также получена за счёт создания начальной атомной когерентности. Кроме того, было доказано, что перепутыванием атомов можно управлять, изменяя начальные параметры когерентных состояний кубитов и поля, такие как амплитуды поляризованных атомов и их фазы, интенсивность диполь- дипольного взаимодействия и среднее число фотонов в моде. В работах [5– 12] рассматривались двухатомные модели, в которых оба естественных или искусственных атома одновременно заперты в оптической ловушке. В то же время для практических применений в квантовой информатике часто необходимо перемещать атомы без потери квантовых корреляций между ними. Для реализации перепутывания атомов в таких условиях предложено большое число различных схем [13– 18]. В работе [6] предложена простая схема, в которой только один атом пойман в оптическую ловушку, а другой может свободно перемещаться вне резонатора. При этом взаимодействие между атомами реализовано не за счёт взаимодействия с общим полем, а благодаря прямому диполь-дипольному взаимодействию. При этом авторы ограничились рассмотрением простейшего начального состояния системы, когда оба атома приготовлены в основном состоянии. Представляет значительный интерес исследование динамики перепутывания между атомами в рамках модели, предложенной в [6], с учётом начальной атомной когерентности. В настоящей работе нами исследована динамика перепутывания как для неперепутанных, так и для перепутанных белловских когерентных начальных состояний атомов. Заметим, что рассматриваемая в настоящей работе модель может быть также более просто реализована для системы двух сверхпроводящих джозефсо-новских кубитов, один из которых взаимодействует со сверхпроводящим LC-контуром - SQIDом.

Модель и уравнения динамики

Рассмотрим модель, состоящую из двух идентичных двухуровневых атомов. При этом один атом заперт в идеальном микрорезонаторе и взаимодействует с модой квантового электромагнитного поля, а второй атом находится вне резонатора в свободном состоянии. В частности, мы можем иметь дело с двумя пучками атомов, один из которых пролетает вне резонатора, а второй - через резонатор как в одноатомном мазере. Скорость пролёта атомов можно подобрать так, чтобы вблизи атома из первого пучка находился только один атом из второго пучка. Будем полагать, что расстояние между атомами сравнимо с длиной волны их излучения на рабочем переходе. В этом случае мы должны принять во внимание диполь-дипольное взаимодействие атомов. В результате в рассматриваемой модели взаимодействие между атомами осуществляется только посредством прямого диполь-дипольного взаимодействия. В экспериментах по перепутыванию состояний атомов в одноатомном мазере, проводимых С. Арошем с соавторами, размер микрорезонатора составлял порядка сантиметра, поперечные размеры резонаторной ТЕМ900-моды не превосходили 1 мм, а длина волны излучении на рабочем переходе в ридберговском атоме составляет 6 мм (см. ссылки в [17]). Будем полагать, что частота атомного перехода ю0 двухуровневого атома, запертого в резонаторе, совпадает с частотой резонаторной моды ю. Гамильтониан такой модели в дипольном приближении и приближении вращающейся волны может быть записан как

H = (1/ 2)й ю ( а + g ; ) + й ю a ⁺ a + + h g ( а + a + a ⁺g - ) + h. J ( g + g - + g - g + ),

где (1 / 2) а Z - оператор инверсии для i -го двухуровневого атома, а + =| +>„(- |, а - =| -> .. {+ | - операторы переходов между возбуждённым |+ ) i и основным |- > i состояниями в i -м двухуровневом атоме ( i = 1,2), a ⁺ и a - операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды, g - эффективная константа атом-полевого взаимодействия и J - параметр прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов.

Будем полагать, что в начальный момент времени система «атомы+поле» находится в чистом перепутанном состоянии. При этом отдельные составные части единой системы, т.е. «первый атом», второй атом» и «поле» находятся в смешанных состояниях.

В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением атом-атомных перепутанных состояний. Перепутывание состояний атомов означает наличие квантовых корреляций между их состояниями. Информация о перепутанности двух атомов содержится в редуцированной атомной матрице плотности р atom ( t ), которая для случая начальных чистых состояний атомов и поля может быть получена следующим образом:

р atom ⁽ t ) = Tr ied I V ⁽ t ) >М t )|.

Здесь |^( t ) > - временная волновая функция системы «атомы+поле», а операция Tr field представляет собой усреднение по переменным поля.

Смешанное состояние квантовой системы, состоящей из двух подсистем A и B , является перепутанным, если оно несепарабельно, т.е. его нельзя записать в виде:

р = £ р” ®рВ ),

где рА)(t) и рв)(t) - матрицы плотности состояний двух подсистем A и B, а суммирование по индексу i (некогерентное смешивание) определяет наличие классических корреляций между подсистемами. Час- то говорят, что сепарабельные состояния являются «распутанными».

А. Перес и Хородецкие (см. [4]) доказали, что необходимым и достаточным условием сепарабельности двух кубитов является то, что некая дополнительная матрица р atom , полученная путём частичной перестановки индексов (транспонирование по переменным одного кубита) матрицы плотности р _atom ( t ), имеет только неотрицательные собственные значения.

Для двухкубитной системы редуцированная атомная матрица плотности р _atom ( t ) в двухатомном базисе |+,+ > , |+, ^- > , | ^- ,+ > , | ^- , ^- > имеет вид

Гр 11    р 12    р 13    р 14 )

р21 р22 р23 р24 р atom р31 р32 р33 р34 чр41   р42 р34 р44 у

Тогда для определения степени атом-атомного перепутывания можно воспользоваться параметром Пе-реса-Хородецких, который определим как

8 2Х рi,

где р - - отрицательные собственные значения транс -понированной по переменным одного кубита атомной матрицы плотности р T _tom , которая для двухкубитной системы с атомной матрицей плотности (2) может быть представлена как

Г р11   р12   р31

р

T atom

р21   р22   р41

р13   р14   р33

_ч ^р 23    ^р 24    ^р 43    ^р 44 у

Отсутствие у частично транспонированной по переменным одного кубита атомной матрицы плотности (4) отрицательных собственных значений означает, как уже было сказано выше, что атомы в любой момент времени остаются неперепутанными, в этом случае полагают е = 0. Для случая е >0 атомы находятся в перепутанном состоянии. Для максимально перепутанного состояния е = 1.

Рассмотрим теперь динамику параметра перепутывания (3) для различных начальных чистых когерентных распутанных и перепутанных состояний атомной подсистемы и состояния с определённым числом фотонов | n >  для резонаторной моды.

Полная временная волновая функция системы для выбранных начальных условий может быть представлена как

^ ⁽ t ) ) = X J ⁺ , ^{+ ;} n > ⁺ X ₂ ^{| +} , ^{- ;} n ⁺ 1 > ⁺

⁺ X 3 ^{| -} , ⁺ ; n ⁺ 1 > ⁺ X 4 ^{| -} , ^- , n ^{+ 2} > ⁺ X 5 ^{| +} , ^{- ;} n > ⁺

+ X 6 1 - , + ; n >+ X 7 1 - , - ; n >+ X 8 1 - , - , n + 1 > +        (5)

⁺ X 9 ^{| +} , ^{+ ;} n ^- 1 > ⁺ X 10 ^{| +} , ^{- ;} n ^- 1 > ⁺

⁺ X 11 ^{| -} , ^{+ ;} n ^- 1 > ⁺ X 12 ^{| +} , ⁺ , n ^{- 2} > .

Используя временное уравнение Шрёдингера, для временных функций X_i ( t ), входящих в выражение (5), может быть записана следующая система дифференциальных уравнений

X i = го ( n + 1) x i + g\!n + 1 x 3 , X 2 = го ( n + 1) X 2 + g^/n + 2 X 4 + a X 3 , X з = го ( n + 1) X з + g^]n + 1 X 1 + aX 2 , X 4 = го ( n + 1) X 4 + g л! n + 2 X 2 , X 5 = го nX 5 + g^n + 1 X 8 + a X 6 , X 6 = го nX 6 + gjnX 9 + a X 5 , X 7 = го ( n - 1) X 7 + g^X 10 , X 8 = го nX 8 + g^n + 1 X 1 , X 9 = го nX 9 + gjnX 6 ,

X 10 = го ( n — 1) X 10 + gJnX 7 + a X 1 1, X 11 = го ( n — 1) X 11 + g^jn — 1 X 12 + a X 1o , X 12 = го ( n — 1) X 12 + g^n — 1 X 11 .

Решения уравнений (6) могут быть найдены в аналитической форме в виде ряда по собственным функциям гамильтониана (1). Однако ввиду громоздкости в настоящей работе указанные решения не приводятся.

Расчёт параметра атом-атомного перепутывания и обсуждение результатов

Для модели, временная динамика которой описывается волновой функцией (5), элементы частично транспонированной по переменным одного кубита атомной матрицы плотности (4) могут быть записаны в виде

Р 11 =| X 1 | ² + 1 X 9 | ² + 1 X ,2 | ² , р ,2 = X 1 X * + X 9 X *0 ,

Р 13 = X 1 X 10 + X 9 X 1„ Р 14 = X 1 X 7 ,

Р 22 = | Х 2 | ² + | Х ₅| ² + | Х 10 | ² ,

*

*

*

*

*

Р зз =| Х з | ² + | Х б | ² + | Х 11 | ² ,

Р з4 = X 3 X 8 + X 6 X * , Р ₄₄ = | X ₄ | ² + 1 X 7 | ² + 1 X 8 | ² .

В результате мы можем вычислить параметр атом-атомного перепутывания (3). На рис. 1 – 4 показаны результаты численного моделирования временной зависимости параметра Переса–Хородецких для различных начальных состояний атомов и поля.

Предположим, что в начальный момент времени атомы находятся в неперепутанном когерентном состоянии

| V A1 (0) ) = cos 6 1 | +) + e ^{Ф 1} sin 6 1 | -) ,

| VA2 (0)) = cos 62 | +) + e Ф2 sin 62 | —), где cos θ1 и cos θ2 - амплитуды поляризованных атомов, φ1 и φ2 – относительные фазы возбуждённого и основного состояний каждого из атомов (в дальнейшем мы будем также использовать разность фаз Δφ = φ1 – φ2), а поле приготовлено в состоянии с

Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания (3) для начального состояния вида (7) и n=0. Штриховая линия соответствует начальному атомному состоянию c 9 ] = л /2, 9 ₂=0 (или | +,- ) ), а сплошная - 9 1 = л /4, 9 ₂= п /4. Параметр прямого диполь-дипольного взаимодействия J=g. Разность фаз состояний Д(р =0

Рис. 2. Временная зависимость параметра перепутывания (3) для начального состояния вида (7) и n=2. Штриховая линия соответствует начальному атомному состоянию c 9 1 = п /2, 9 2=0 (или | +,- ) ), а сплошная - 9 1 = п /4, 9 2 = п /4. Параметр прямого диполь-дипольного взаимодействия J=g. Разность фаз состояний Дср =0

Такие начальные состояния атомов можно получить, пропуская их предварительно через резонатор. Необходимые параметры можно подобрать, варьируя время их пролёта через резонатор. В случае сверхпроводящих кубитов необходимое начальное состояние может быть приготовлено значительно более простым способом при воздействии микроволнового излучения, напряжения или магнитного поля на кубиты [2]. В рассматриваемом случае под атомной когерентностью мы понимаем наличие суперпозиции возбуждённого и основного состояний атома.

Пусть атом приготовлен в чистом суперпозиционном состоянии

| V A (0) ) = cos 6 | +) + e ^ф sin 6 | —) .

Соответствующая атомная матрица плотности есть cos ² 6       e ' ^ф sin 6 cos 6

e - ' ^ф sin 6 cos 6       sin ² 6

р A (0) =

Максимальная степень когерентности атомного состояния соответствует случаю cos 6 = sin 6, поскольку в этом случае модули недиагональных элементов, описывающих квантовые корреляции между основным и возбуждённым состояниями атома, достигают максимального значения.

Рис. 3. Временная зависимость параметра перепутывания (3) для начального состояния вида (7) и n = 2. Параметр дипольного взаимодействия J = 0,1g (штриховые кривые) и J = g (сплошные кривые). Параметры начального состояния атомов 9 1 = 9 2 = П 4 (а), 9 1 = П 2, 9 2 = П 2 (б) и 9 1 = П 2, 9 2 =0 (в). Разность фаз состояний Аф= 0

В результате чистое начальное состояние для полной системы «атомы+поле» есть

| ЧЧ0) ><Ф A 1 (0) ) | Y A 2 (0) > | n > . (7)

Динамика атомного перепутывания существенно зависит от начального состояния резонатора, поэтому численное моделирование параметра атом-атомного перепутывания проведено для различных значений начального числа фотонов в моде n . На рис. 1 показано временное поведение параметра перепутывания для вакуумного начального состояния поля и атомных состояний с различной степенью когерентности. Значения параметра перепутывания не зависят от величины ω. При этом максимальная степень перепутывания достигается для атомных состояний с максимальной степенью когерентности, т.е. при условии

9 i = 0 ₂ = п/4. При этом если оба атома находятся в основном состоянии, перепутывание состояний атомов, естественно, не возникает. На рис. 2 показано временное поведение параметра перепутывания для начального состояния поля с двумя фотонами в моде n =2 и различных начальных состояний атомов. В случае наличия в резонаторе в начальный момент фотонов максимальная степень перепутывания достигается для начального атомного состояния вида |+,- > , т.е. для случая 0 1 = п/2, 0 ₂ = 0 .

На рис. 3 показана зависимость степени атомного перепутывания от интенсивности прямого диполь-дипольного взаимодействия. Рис. 3 а соответствует когерентному начальному атомному состоянию с параметрами 0 1 = 0 ₂ = п /4, рис. 3 б - начальному состоянию, когда оба атома приготовлены в основном состоянии |-,- > , и рис. 3 в соответствует начальному состоянию, в котором один из атомов находится в возбуждённом состоянии, а второй - в основном, т.е. двухатомная система описывается волновым вектором |+,- > .

Для всех рассмотренных атомных состояний увеличение интенсивности диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению максимального значения параметра перепутывания.

Однако для атомов, приготовленных в основном состоянии, такое поведение характерно только для области значений J <  g . Для области J >  g увеличение интенсивности дипольного взаимодействия атомов приводит к резкому уменьшению степени перепутывания.

Наконец, на рис. 4 показана зависимость параметра перепутывания от начального числа фотонов в моде.

Рис. 4. Временная зависимость параметра перепутывания (3) для когерентного начального состояния вида (7) и n = 5 (штриховая линия) и n = 10 (сплошная линия). Амплитуды поляризованных атомов 9 1 = 9 2 = П 4. Параметр прямого диполь-дипольного взаимодействия

J = g. Разность фаз состояний Аф =0

Из рисунка видно, что при увеличении начального числа фотонов в моде максимальное значение параметра перепутывания изменяется незначительно. Главная особенность поведения ε заключается в том, что при увеличении n (для рассматриваемого атомного состояния в случае n ≥ 10) практически исчезает эффект мгновенной смерти перепутывания, т.е. явление исчезновения перепутывания кубитов, не связанное с диссипативным взаимодействием с окружением, а обусловленное взаимодействием кубитов с полем. Мгновенной смертью перепутывания называют исчезновение некоторых квантовых корреляций (перепутывания) между кубитами на ранних этапах эволюции, не связанное с распадом других корреляций между кубитами за счёт диссипации [19]. Соответственно, через некоторое время после мгновенной смерти перепутывания (значительно меньшее времени диссипации) происходит мгновенное рождение перепутывания. Для рассматриваемой области средних чисел фотонов отсутствуют временные интервалы, для которых состояния атомов распутаны, перепутывание исчезает только для некоторых выделенных моментов времени. Отметим, что для когерентных начальных атомных состояний степень атомного перепутывания может значительно превосходить соответствующую величину для атомов, приготовленных в основном состоянии [6]. При этом когерентные начальные состояния предоставляют гораздо больше возможностей по управлению атомным перепутыванием. Для невозбуждённых первоначально атомов не удаётся исключить эффект мгновенной смерти перепутывания. Кроме того, в указанном случае увеличение интенсивности диполь-дипольного взаимодействия в области J > g приводит к резкому уменьшению степени атомного перепутывания.

Перейдём теперь к рассмотрению динамики атомного перепутывания для когерентных перепутанных начальных состояний атомов. Выберем в качестве начальных атомных состояний белловские состояния вида

| ψ _{A 1 A 2} (0) 〉 = cos θ | + , -〉+ sin θ e^{i ϕ} | - , +〉 ,

|ψA1A2(0)〉 = cosθ|+,+〉+sinθeiϕ | -, -〉, где cos θ и sin θ – параметры когерентности, ϕ – относительная фаза состояний, а в качестве полевого состояния – состояние с определённым числом фотонов. Полная начальная волновая функция системы тогда может быть записана в первом случае как

|Ψ(0)〉 =|ψA1A2(0)〉 |n〉 = =cosθ| +, -; n〉 +sinθeiϕ | -,+;n〉, а во втором случае - в виде |Ψ(0)〉 =|ψA1A2(0)〉 |n〉 = =cosθ| +, +; n〉 +sinθeiϕ | -, -; n〉.

Результаты численного моделирования параметра перепутывания (3) для начальных состояний вида (8) и (9) и различных значений параметра диполь-дипольной связи показаны на рис. 5 и рис. 6 соответственно.

В обоих случаях перепутывание атомов сохраняется с течением времени даже в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия, т.е. в случае J = 0. При увеличении значения параметра дипольного взаимодействия в обоих случаях в системе также исчезает эффект мгновенной смерти перепутывания.

В результате мы можем заключить, что использование когерентных неперепутанных начальных атомных состояний позволяет добиться значительной степени атомного перепутывания в процессе эволюции рассматриваемой системы за счёт диполь-дипольного взаимодействия кубитов. В случае перепутанных начальных атомных состояний дипольное взаимодействие приводит к исчезновению мгновенной смерти перепутывания. Кроме того, атомная когерентность может быть использована для эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов.

(3) для перепутанного начального состояния вида (8) и J=0 (штриховая линия) и J=8g (сплошная линия).

Амплитуда θ = π /4. Фаза ϕ =0

(3) для перепутанного начального состояния вида (9) и J=0 (штриховая линия) и J=8g (сплошная линия).

Амплитуда θ = π /4. Фаза ϕ =0

Заключение

Таким образом, в настоящей работе нами исследована простая схема, позволяющая получить перепутанные состояния двух кубитов, находящихся первоначально в когерентном состоянии. В случае начальных перепутанных кубитов и больших значений параметра диполь-дипольного взаимодействия в рассматриваемой схеме удаётся стабилизировать степень их перепутывания. При описании динамики перепутывания кубитов важен также учёт диссипативных процессов, возникающих за счёт взаимодействия кубитов с окружением. Такие взаимодействия приводят к распаду квантовых корреляций межу кубитами или декоге-ренции. Учёт влияния окружения на динамику перепутывания кубитов, оценка времени декогеренции и других механизмов контроля в рамках рассмотренной в настоящей работе модели будет предметом нашей следующей работы. Метод вывода управляющих уравнений для редуцированной матрицы плотности моделей, аналогичных рассмотренной в настоящей работе, предложен ранее в наших работах [20, 21].

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ № 1394.