Петербургский парадокс и функция полезности

Люди начали анализировать ситуации риска, когда широкое распространение получили азартные игры. Одним из первых был Гюйгенс. В своём сочинении «De ratiociniis in ludo aleae» ( «О расчётах в азартной игре» ) (1657 год) он ввёл понятие математичекого ожидания для дискретных случайных величин. В этой же работе Гюйгенс писал: « Во всяком случае, я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». [1]

Лишь спустя более полувека под оценку справедливого жребия с помощью математичекого ожидания была подложена мина замедленного действия, так называемый, петербургский парадокс.

Петербургский парадокс был впервые изложен Н. Бернулли в сентябре 1713 г. [2, с. 35], однако получил название петербургского благодаря работе [3]. Петербургский парадокс состоит в следующем: «Петр бросает вверх монету, пока она не упадет лицевой стороной вверх; если это произойдет после первого броска, он должен дать Павлу 1 дукат, но если только после второго – 2 дуката, после третьего 4, после четвертого – 8 и так далее, так что после каждого броска число дукатов удваивается. Спрашивается: какова оценка жребия для Павла?» И далее: «Ведь хотя вычисления показывают, что ожидания Павла бесконечно велики… не найдется ни одного сколько-нибудь разумного человека, который охотно не продал бы это ожидание за 20 дукатов» [3, с. 22 – 23 (здесь и далее цитируется русский перевод)]. Любопытно, что в [3] парадокс разрешается по сути «экономическим путем», т. е., говоря современным языком, рассматривается модель максимизации функции ожидаемой полезности рискизбегающего субъекта. При этом разрешается парадокс или нет, зависит от того, ограничена или нет функция ожидаемой полезности субъекта (см. также [4], с. 75 – 76).

Любопытно, что эта идея весьма плодотворно разрабатывалась для решения других экономических задач, в т. ч. видными экономистами (см., например, [5]).

Петербургский парадокс привлекал внимание и математиков (см., например, [6, с. 55 – 56], [2, с. 35 – 38], [7, т. 1, с. 263 – 267, т. 2, с. 274]). Так, Бюффон, Крамер и другие предложили исходить из предположения об ограниченности ресурсов (денег) [2, с. 36]. В [7] доказывается, что отношение суммарного выигрыша к суммарному вступительному взносу сходится к 1 при n →∞ (n – число игр, в которых участвовал игрок). При этом вступительный взнос должен быть равен n ld n. Здесь ld означает логарифм при основании 2. Очень интересное исследование петербургской игры привел в своей книге [8] Борель.

Однако автор данной работы, вплоть до опубликования работы [9], нигде не нашел ответа, каков должен быть справедливый вступительный взнос Павла для участия в одной петербургской игре, а не в серии петербургских игр. А ведь именно этот вопрос стремился разрешить Бернулли в работе [3]. Для этого представляется разумным ответить на вопрос, сколько раз надо в среднем бросать монету, пока она не упадет лицевой стороной вверх? Интуитивно ясно, что два (в данном случае интуиция подтверждается математикой, см. [10], с. 27 – 28). Это число носит название математического ожидания длины чистой серии (см.[2, c.43]). Поэтому кажется справедливым, чтобы Павел перед началом игры заплатил Петру два дуката (если их капиталы одинаковы и бесконечны), так как если ожидаемая длина чистой серии равна двум, то и ожидание выигрыша будет таким, как если бы игрок ожидал что монета упадёт лицевой стороной вверх только после второго броска, и тогда в среднем никто из них не останется в накладе, так как по условию игры Пётр должен дать Павлу 2 дуката, если монета выпадет лицевой стороной вверх только после второго броска. Но почему же все-таки кажется несправедливым предложить Павлу заплатить триллион дукатов, ведь «ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длиной серии из одних лишь гербов» [6, с. 56]? Отвечу так: это будет противоречить так называемому принципу практической уверенности, который является одной из необходимых предпосылок для приложения теории вероятности к миру действительных событий [11, с. 12]. В [11, с. 13] этот принцип формулируется так: «Если Р(А) очень мало, то можно практически быть уверенным, что при однократной реализации условий σ событие А не будет иметь место». Наконец, с точки зрения теории информации, можно ответить так: когда вероятность выигрыша стремится к нулю, его неопределённость ( измеряемая как энтропия по формуле Шеннона ) также стремится к нулю, а неожиданность неограниченно возрастает [12, с. 243 – 244].

В силу доводов приведенных выше, петербургский парадокс успешно разрешается не только при ограниченной сверху вогнутой функции полезности Бернулли у Павла, но и при линейной, и даже, если речь идет о двадцати дукатах (20>2), которые предлагают за его ожидание, и для выпуклой на данном участке функции полезности Бернулли у Павла, но при этом приходится отказаться от оценки стоимости жребия, предложенной Гюйгенсом. [9]

В петербургской игре люди столкнулись со случаем, когда использование математического ожидания выигрыша для справедливой оценки жребия, то есть, фактически, для построения прогноза выигрыша, привело к явно парадоксальному результату, однако для гауссовского распределения вероятностей парадоксов не возникает. При этом, безусловно, наиболее общим является подход, основанный на концепции субъективных вероятностей, так как он позволяет оценивать ожидания и риски для нестационарной ситуации и, более того, для ситуации, когда имеются активы, не имеющие предистории. Этот подход, предложенный ещё Пигу, применительно к теории портфеля исследуется в работе [13].