Пифагоровы тройки как целые точки на круговом конусе

Пифагоровы тройки, известные ещё в древневавилонской математике, остаются фундаментальным объектом исследований в теории чисел и смежных дисциплинах. Их изучение имеет не только теоретическое значение, но и практические приложения в криптографии, компьютерной графике и теории алгоритмов.

В данной статье мы рассматриваем пифагоровы тройки через призму их геометрической интерпретации – как целочисленных точек на поверхности кругового конуса в трёхмерном пространстве. Такой подход позволяет:

• -    установить связь между комбинаторными свойствами троек и геометрией квадратичных поверхностей;

• -    разработать эффективные методы подсчёта троек с заданными ограничениями;

• -    построить новые алгоритмы генерации троек, основанные на преобразованиях конуса.

Цель работы – решение двух взаимосвязанных задач:

• 1.    Получить точную формулу для количества троек F(v) с z < v, используя теорию делителей чисел.

• 2.    Разработать параметрический метод построения троек, расширяющий классические подходы.

Актуальность исследования обусловлена:

• -    необходимостью уточнения асимптотик распределения троек;

• -    потенциальными приложениями в задачах дискретной оптимизации.

Методология сочетает аналитические вычисления с геометрической интуицией, что открывает новые направления для изучения диофантовых уравнений.

Методология исследования

• 1.    Аналитическая теория чисел

• - Формула R(n) = 4(d₁(n) — d₂(n))  для

• 2.    Геометрический подход:

представления чисел суммой квадратов.

• - Уравнение конуса и параметризация прямых (х = mA. + а,у = nA + b,z = рЛ + с.

• 3.    Алгоритмический метод:

• - Построение новых троек (А, В, С} через условия m² + n² — р² = 1.

Обсуждение

Формула F(v) согласуется с асимптотикой, но не учитывает тривиальные случаи (напри-

В связи с этим точки (а,Ь,с), координаты которых удовлетворяют уравнению (1) мы будем называть пифагоровыми тройками. Рассмотрим поэтому вопрос о числе пифагоровых точек (троек), удовлетворяющих условию z < V, т.е. пифагоровых точек, апплткаты которых превосходят числа V. Обозначим количество пифагоровых троек (точек) с этим условием через F(v). Ясно, что такой вопрос сводится к нахождению числа целых точек (х,у,z) Е Z3., т.е. точек с целыми координатами на поверхности конуса (1), для которых х, у > 0, 0 < z < V. Для решения этого вопроса рассмотрим на плоскости хОу систему мер, z = х). Метод генерации требует дополнительных ограничений на параметры (m, n, р) Сравнение с классической параметризацией Евклида (а = m2 — n2, b = 2mn).

Так как пифагоровы тройки (а,Ь,с) удовлетворяют соотношению а2 + b2 = с2, то их можно интерпретировать как целые точки на круговом конусе х2 + у2 — z2 = 0

концентрических окружностей с целыми значениями радиусов т²< V. В такой поетановке эта задача равносильна вопросу о числа представлений числа т² суммой двух квадратов целых чисел. Из классической теории чисел известно (см. [5]) следующее утверждение: количество представлений целого числа n бинарной квадратичной формой х² + у² равно учетвереной разности между числом нечетных делителей вида 4к + 1 и числом делителей вида 4к + 3 числа n. Значит, если через R(n) обозначим указанное число представлений, то справедливо следующее соотношение

R(n) = 4{d1(n) — d2(n)}, где d1(n) —число делителей вида 4к + 1      Но так как пифагоровы тройки соответ- числа n, а d2(n) — число делителей вида 4к + ствуют точкам на конусе (1), росположенных 3 числа n.                                    в первой октанте, то интересующая нас функ ция F(v') задаётся равенством

F(v)= У 1R(-T²) = о

0

= 1 У ^{d₁⁽r²⁾ — d2(T²)}.

0<Т

Таким образом, нами получен следующий результат

Теорема 1. Количество F(v) пифагоровых точек (х,у,z), аппликаты которых т < V, определяется формулой

F(v)=| У {di(T2) — d2(T2)), 0< Т < V где d1(т2) —число делителей вида 4к + 1 числа т2; а d2(T2) —число делителей вида 4к + 3 числа т2.

В связи с интерпретацией пифагоровых троек целыми точками на круговом конуса (1) рассмотрим ещё один вопрос о расположении пифагоровых точек, определяющих связкой прямых, проходяющих через пифагоровы точки на этом канусе. При этом получается следующий результат о пифагоровых точках, дающих один процесс их получения.

Теорема 2. Если (а, Ь, с) —пифагорова тройка, то пифагоровой будет и тройка.

А, В, С, где

А = а(1 — 2m²) — 2Ьтп + 2стр,

В = —2атп + Ь(1 — 2п²) + 2спр,                       (2)

С = —2атр — 2Ьпр + с • (1 — 2р²).

Причем числа т, п, р связаны соотношени-      Доказательство. Пусть (а, Ь, с) —произ- ем т2 + п2 — р2 = 1.                          вольная пифагорова тройка. Рассмотрим пря мую х — а у — Ь z — с т      п      р ’

Проходящую через пифагорову точку (а,Ь,с). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде х = тХ + а, у = пХ + Ь, z = рХ + с,

где параметр Х удовлетворяет условию —от < Л < от. Связка прямых, прохдяющих через пифагорову точку (а, Ь, с), получается при все возможних значениях параметра Х и чисел т,п,р связаннах соотношением т2 + п2 — р2 = 1. Найдём пифагоровы точки, являющихся пересечением прямых (3) с (1).

Тогда получаем систему уравнений х2 + у2 — z2 = 0, х = тЛ + а, у = пЛ + Ь, z = рЛ + с.

{

Из системы (4) получаем

(тЛ + а)2 + (пЛ + Ь)2 = (рЛ + с)2,

Отсюда после преобразований с учётом соотношения а² + Ь² = с² получим уравнение относительно Х :

(т2 + п2 — р2)Л2 = (2рс — 2та — 2пЬ)Л.

Решениями этого уравнения будут

Л = 0 (соотвествует точке (а, Ь, с) и

2рс — 2та — 2пЬ т2 + п2 —р2  .

Чтобы это значение Х было целым при все-    2пЬ и, подставляя это значение в уравнение возможных значениях а, Ь, с, по требуем т2 +    (2) после преобразований получим, что п2 — р2 = 1. Тогда имеем Х = 2рс — 2та — х = а(1 — 2т2) — 2тЬп + 2стр, у = —2атп + b(1 — 2п2) + 2спр, z = —2атр — 2Ьпр + с(1 + 2р2), где т2 + п2 — р2 = 1. Таким образом, нами получена новая пифагорова тройка (А, В, С) определяемая равенствами (2).

Теорема доказана.

Замечание. Можно также рассмотривать выражения для А, В, С, исходя из другого вос-помогаете много соотношения т² + п² — р² = —1, только нужно вместе них взять противоположные им значения.

А = 3(1 — 2^72) — 2^4^7^4 + 2^5^7^8 = 3(1 — 98) — 224 + 560 = —291 + 336 = 45, В = —2 • 3 • 7 • 4 + 4(1 — 2 • 42) + 2 • 5 • 4 •8

= —168 — 124 + 320 = 28,   В =28

С = —2 • 3 • 7 • 8 — 2 • 4 • 4 • 8 + 5(1 + 2• 8

= —336 — 256 + 645 = 53,    С =53

Следовательно, (45,28,53) —пифагорова тройка, но, чтобы она попала в таблицу надо переставлить значения для А и В, т.е. получим пифагорову тройку (28,45,53), содержащуюся в таблице (Мякишев, [15]).

Проверка: Имеем А = 45, В = 28 и С = 53 тогда А² + В² = 2809 и С² = 2025 + 784 = 2809 = 53².

Заключение

• 1.    Теорема 1:

• 2.    Теорема 2:

P⁽v) = ¹Yo<₁:(d₁⁽T²⁾ — d2⁽T²S).

Если уравнение т² + п² —р² = —1 имеет бесконечно много решений справедливость такого утверждения следует из арифметической теории тернарных квадратичных форм, то приведённый процесс дает бесконечно много пифагоровых троек, но при этом ещё неизвестно даёт ли этот процесс все пифагоровы тройки.

Пример. Возьмем в уравнении т² + п² — р² = 1 т = 7, п = 4, р = 8. Тогда получаем =

А = 45

Явные формулы для (А, В, С) через параметры (т,п,р). Пример:   (3,4,5)——

• (28,45,53).

Работа демонстрирует эффективность геометрического подхода для:

• 1.    Подсчёта пифагоровых троек.

• 2.    Построения новых троек через преобразования конуса.

Перспективы: применение в криптографии и расширение на многомерные случаи.