Пифагоровы тройки с фиксированным значением одной из компонент

В этой научной статье рассматриваем различные варианты вывода формул для пифагоровых троек. В нашей исследовательской работе рассмотрен вопрос о числе пифагоровых троек с фиксированным значением одной из их компонент.

При этом мы ограничиваемся рассмотрением только пифагоровыми тройками, у которых НОД( , )=1 или даже квазипростейшими пифагоровыми тройками, у которых НОД( , ) ∈ {1;2}.

Для проведения исследования составляем таблицу квазипростейших пифагоровых троек. При этом сначала доказываем одно вспомогательное утверждение для НОД двух чисел.

Сначала решаем задачу 1 о числе квазипростейших пифагоровых троек ( , , ) c фиксированным значением первой компонента . Тогда мы получаем следующий результат о числе таких троек.

Предложение 1 для числа квз( ) ква-зипростей пифагоровах троек при постоянном значением справедливо формула

-1

квз( )=2

Где

• - функция числа простых делителей.

В предложениях 2 и 3 установлены аналогичные результаты.

Таблица пифагоровых троек и лемма о НОД

Теперь мы будем изучать пифагоровы тройки, обладающие какими-либо дополнительными свойствами, и при этом возникают интересные задачи. Так как для обнаружения некоторых свойств пифагоровых троек полезно иметь их таблицу для нескольких значений , с использованием формул (5) для пифагоровых троек. Мы строим таблицуквазипростейших пифагоровых троек для значений 2≤  ≤

• 10 и 1≤  ≤9․

Таблица.

X У a b c 2 1 4 3 5 3 1 6 8 10 3 2 12 5 13 4 1 8 15 17 4 3 24 7 25 5 1 10 24 26 5 2 20 21 29 5 3 30 16 34 5 4 40 9 41 6 1 12 35 37 6 5 60 11 61 7 1 14 48 50 7 2 28 45 53 7 3 42 40 58 7 4 56 33 65 7 5 70 24 74 7 6 84 13 85 8 1 16 63 65 8 3 48 55 73 8 5 80 39 89 8 7 112 15 113 9 1 18 80 82 9 2 36 77 89 9 4 72 65 97 9 5 90 56 106 9 7 126 32 130 9 8 144 17 145 10 1 20 99 101 10 3 60 91 109 10 7 140 51 149 10 9 180 19 181 способов выборов числа d с условием НОД (d,d ) = 1будет равно

♯ fd ∈ N ⁄d⁄ 71,НОД (d , -) =1 = l                        V d / J

∑%=o G =2 ¹ =2V⁽ n ⁾,

Где I=(П)  – число раличных про стых делителей числа П . Пользуясь этим, мы сможем теперь найти количество чисел d с условием НОД (d,d )=  ․

Так как в этом случае НОД (? ,    =

1 иd=  ∙t при этом некотором целом t то НОД (t,  ∙  =1. Поэтому применяя теперь предварительно рассмотренный случай (т. е. при 5=1), будем иметь

♯ [d ∈ N ⁄ d ⁄ n ,НОД (d , -) =   =

I                           \ d 7      )

2V(52)․

Лемма доказана.

Перейдем теперь к задачам, которые решаются в этом параграфе.

2. Пифагоровы тройки с фиксированным значением одной из компонент.

Задача 1. Найти всех квазипростейших пифагоровых троек ( a , b , c ) с фиксированным значением первой компоненты a.

Обозначим количество указанных троек через P квз ( a )

Решение этой задачи содержится в следующем предложении.

Предложение 1. Число p квз ( a ) квазипростейших пифагоровых троек ( d , b , c ) с фиксированным значением a определяется по формуле

n

p квз ( )=2

Где V – функция числа простых делителей.

Доказательство. В силу формул (5) для квазипростейших пифагоровых троек имеем a=2xy,x>у, НОД(x,у)=1․

В этой таблице простейшими пифагоровыми тройками будут следующие;

(4,3,5),  (12,5,13),  (8,15,17),  (24,7,25),

(20,1,29), (40,9,41), (12,35,37),

(60,11,61),     (28,45,53),     (56,33,65),

(84,13,85) и т. д.

Заметим, что класс квазипростейших пифагоровых троек шире класса простейших пифагоровых троек.

Перейдем теперь к изучению квазипростейших пифагоровых троек, один компонент которых будет фиксированным.

Но сначала докажем следующее вспомогательное предложение (см. [6])

Лемма. Справедливо соотношение для НОД

• #    fde М/сгМНОД (d, " ) = 5] =

2v(s2 )

Где v-функция числа простых делителей, # -знак мощности множества.

Доказательство. Пусть " , т.е. d делит я. Из условия НОД (d, " ) = 5

следует, что

• #    f de N/d/я, НОД (d, " ) = 1] =

2^{v( n)}.

Пусть я = pk\ .„,pk 1 -каноническое разложение числа я. Из условия

НОД (d," ) = 1 следует, что d должно иметь вид d = p i/,-,? iss

^Где i 1 , ■", is ^{e {1},2, ■", 0,

Ясно, что тогда НОД ^d, " ^ = 1.

Число способов выбора d, имеющего s простых делителей равно числу сочетаний из по без повторений (при этом мы исходим из того, что {Iг, ^,is) есть подмножество множества {1, „., Z}), Но тогда число всех

Ясно, что из (2) следует, что величина p квз ( о, ) определяется равенством

НОД (x ,s)=1 ,

p квз ( a _{)= ♯} (% ∈ N ⁄ x делит

Где ♯ - знак мощности мложества. Но тогда по лемме получаем

♯ {x ∈ N ⁄ x делит 2 ,НОД (^% ,^ )=1 =2 О ․  .

Следовательно, pквз(a.)=2v© 1․

Предложение 1 доказано.

Пример. Найдем квазипростейшие пифагоровы тройки (a, b , c ) для ci =60.

По предложению 1 их количество будет равно pквз(60) = 2Чт)"1 =2v( 30 )-1 =23-1 =24 =4․

Это будут пифагоровы тройки, получающиеся по следующей таблице для Значений X =6;10;15;30․

X		a	b	c
6	5	60	11	61
10	3	60	91	109
15	2	60	221	229
30	1	60	899	901

Следовательно, такими квазипростейшими пифагоровыми тройками будут (60, 11,61), (60, 91, 109), (60, 221, 229), (60, 899, 901).

Задача 2. Найти количество р квз ( b ) квазипростейших пифагоровых троек ( CL , b , c ) с фиксированным значением b определяется по формуле

( 2^у(|)-!            при4⁄ b ,

2V⁽ b ⁾¹ при b нечетном 0,               иначе

Доказательство. Из формул (5) § l квазипростейших пифагоровых троек следующеи условия b=   - y2,x>У, НОД(x,У)=1․                       (4)

Так как (x-У)(x+У)=b то обозначая НОД(х-У,х+У)=8, Будем иметь х-У=  ∙s,х+У=  ∙t

При некоторых целых и 8 ∙ t . Тогда получаем

8² ∙ s ∙ t = ,

S∙ t =  , НОД( S , t )=1․

Учитывая, что для квазипростейших пифагоровых троек 8 =1 или 8 =2. То поименяя теперь лемму к равенствам (5), получим

P квз ( b )= ♯ {s ∈ N ⁄ s делит ¥ ,НОД (s, ∙   =1 ․

Если 4∕ b то, придавая 8 значение 8 =2, получим

Pквз(b)= 5 ∙2 о =2О-1, т.е. получена первая формула в общей формуле (3).

Если же ь – нечетное, то тогда 8 =1 и

P квз ( b )= ∙2 V ⁽ b )₌₂V ⁽ ъ ⁾-¹ ․

2⁄ b ,     4⁄ b        p квз ( b ) =0,

В случае но получаем, что, т.к. не существует таких квазипростейших пифагоровых троек.

Тем самым предложение 2 доказано.

Пример. Найдем квазипростейшие пифагоровы тройки ( a , b c ) для b =24․

Т.к. 4⁄b то по предложению 2 их количество будет равно pквз(24) = 2Чт)"1=2v(6)-1 =22-1 =2

Получим обе такие пифагоровы тройки.

Имеем систему линейных уравнений

- У =2 s

( ∗ )

+ У =2 t _,

При этом s ∙ t =6 и ( s , t )=1, s < t , тогда получаем следующие возможные значения

Si=1,tl =6; S2 =2, ^2 =3․

Представляя эти значения в ( ∗ ), будем иметь

1)    ^- У =2

+ у =12

%i=7

У1 =5

2) Г-y=4

^y (x + У =6

^2 =5

У2 =1

Тогда находим d^ =70, Cl 2 =10․ Находим также значения компонентыс. Имеем

Cl =   + у2=49+25=74; c2 =   + y2 =25+1=26․

Таким образом, нами найдены квазипростейшие пифагоровы тройки (70, 24, 74), (10, 24, 26), удовлетворяющие поставленному условию, что fx -у=2s [x +у=2t,

( ∗ )

Наконец, рассмотрим также случай квазипростейших пифагоровых троек ( a, b, c ) при фиксированном значении c .

Предложение 3. Количество pквз(c) квазипростейших пифагоровых троек (a, b, c) при фиксированном значении определяется по формуле pквз(C)=2V1 (c)-1,                              (6)

Где V1 ( c ) - число простых делителей вида 4 /с+1 числа c .

Доказательство. Рассматриваемый случай в силу формул (5) §1 к нахождению числа представлений числа c суммой двух взаимно простых квадратов, т.е. имеем уравнение

X2 + У2 =                                              (7)

В целых числах, где НОД( x , У )=1.

Обозначим через p ( c )- число решений уравнения (7) в целых числах x , У с условием НОД( x , У )=1, т.е. мы имеем собственные представления числа

• ^s-    бинарной квадратичной формой x² + у² (по поводу этих врпросов см. [5]). Тогда ко-1

личество таких пифагоровы троек равно - p(c)- т.к. для пифагоровых троек X>У>0․ Ясно, что, есле мы рассмотриваем собственные представления числа c квадратичной формой X2 + y2 то c не кратно 4. Мы можем ещё считать, что число c не кратно 2, т.к. p (2 c)=p(c)․ Итак, мы можем ограничиться случаем, когда c - нечетное число поскольку будет выполняться равенство p (2nc)=p(c)․

Тогда для существования собственных представлений числа cформой X2 + y2 необходимо, чтобы каждый простой делитель числа c имеем вид 4 k,+1 ( см.[5]) и в этом случае существуют 4∙2Vi (c) собственных представлений числа C (здесь мы воспользовались известнеым результатом о числе решений двучленного квадратного сравнения z2 =-1(mod c), см. например [5, 6].

Таким образом, p(c)=4∙2Vi (c), откуда получаем pквз(C)=2V1 (C)-1 .