Пятый инвариант линий тока для осесимметричных закрученных течений газа

На. сегодняшний день известны три инварианта, линий тока, незакрученных осесимметричных течений. Два из них - это общие инварианты течений идеального газа: полная энтальпия и энтропия (в областях без скачков уплотнения). Третий инвариант был получен Л. Крокко [1] для изоэиергетических (но, возможно, небаротропных) течений -это отношение величины завихренности к произведению давления на расстояние до оси.

Для закрученных осесимметричных течений картина, иная. Кроме энтропии и полной энтальпии, известны еще два инварианта. Они существенным образом связаны с закруткой. Один из них - произведение окружной скорости на. расстояние до оси симметрии [2], пропорциональное окружной циркуляции. Другой - отношение проекций векторов

«Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2018

завихренности и скорости на меридиональную плоскость, деленное на плотность [3]. Оба эти инварианта вырождаются при отсутствии закрутки. В данной работе найден новый инвариант закрученных течений, который при отсутствии закрутки не вырождается, а совпадает с инвариантом Крокко [1].

2.    Основные обозначения и уравнения движения

Рассмотрим осесимметричное стационарное изоэнергетическое течение идеального газа в цилиндрической системе координат г, р, г (ось г совпадает с осью симметрии). Обозначим: V — вектор скорости, р — плотность, р — давление, О = rotV — завихренность. Давление р и плотность р связаны соотношением р = ар\ где к — показатель адиабаты, а — энтропийная функция, которая постоянна вдоль линий тока и может принимать разные значения на различных линиях тока (адиабатичность, небаротропность) или быть всюду одинаковой (изоэнтропичность, баротропность). Далее предполагается изоэнергетичность течения, означающая, что полная энтальпия (энергия) ^--у^ + у- одинакова всюду в потоке. Для дальнейшего анализа течения газа используем известную теорему Крокко:

О х V = ^Р V lna к — 1 р

и уравнение неразрывности div(pV) = 0.

Газодинамические функции V, р и р координат г, г считаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Пусть er, e^, ег — правая тройка единичных векторов в радиальном, окружном и осевом направлениях соответственно. Вектор скорости закрученного течения имеет компоненты Vr, Vp, V, по всем трем пространственным направлениям: V = Vr er + Vpep + V, e, = Vr + Vp + V ,.

В статье [4] было замечено, что в силу осевой симметрии (dp = о) меридиональная составляющая завихренности Огг, равная векторной сумме радиальной и осевой составляющих (Огг = Ог + Ог), является ротором окружной скорости: Vp: Огг = rot Vp. Аналогично, окружная составляющая завихренности Ор является ротором меридиональной составляющей скорости: Vr + V;: Ор = rot (Vr + Vz). Поскольку, очевидно, векторное произведение Op х Vp = 0, то левая часть уравнения (1) распадается на три слагаемых:

О х V — О гг х (V г + V_z ) + O p х ( V г + V_z ) + О гг х V p.

Здесь первое слагаемое направлено вдоль e_p, а два других лежат в меридиональной плоскости, проходящей через ось симметрии. Поэтому векторное уравнение (1) равносильно системе двух уравнений:

O p х ( V r + V )+ О гг х V p =

к

—

- ^Р V lna, 1р

О _гг х ( V _r + V, ) = 0.

3.    Пятый инвариант линий тока

Если в какой-либо точке течения меридиональная скорость V_r + V, = 0, то проходящая через эту точку линия тока представляет собой окружность с центром на оси симметрии, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. На такой линии тока сохраняются все параметры осесимметричного течения. Рассмотрим более общий случай течения в области, где V_r + V, = 0. В такой области из (4) следует, что

О гг = ^ ( V r + V; ) , ^ = (( V r + V, ) • О гг) /( V r + V, )².

Поэтому уравнение (3) можно записать в виде

(Пу - 3Vy) х (Vr + Vz) =     P V In ст, k — 1 p или

(Пу — З Vy) e_v х ( V + Vz ) — ^PV In ст, k — 1 p

Пу — (Q^*e^) *

Введем обозначение:

I5 — — (Пу — 3Vy) , и, учитывая, что еу х er — — ez и e^ х ez — er, перепишем последнее уравнение в виде

^5 (rpVze_T — rpVre_z ) —

------V In ст* k — 1

Применение операции rot дает

І5 rot (rpV_ze_r — rpV_re_z ) — (rpV_ze_r — rpV_re_z ) х VI5 — 0*

Первое слагаемое левой части (6) записывается в виде

І5 ( ГТ (rPVz) + ГТ (TPVr) ) e^, у dz        dr и, в силу уравнения неразрывности (2), записанного в цилиндрических координатах, сумма в круглых скобках обращается в нуль, то есть первое слагаемое в левой части (6) равно нулю. Поэтому второе слагаемое также равно нулю. Поскольку его можно представить в виде —rp (Vr dlrI5 + Vz дД) ey- им сем ((Vr + Vz) • VI5) — 0. Таким образ ом. величина I5 сохраняется вдоль векторных линий вектора (Vr + Vz). Для осесимметричных течений это означает сохранение величины I5 вдоль линий тока.

В итоге приходим к следующему основному результату.

Пусть в некоторой области осесимметричного стационарного изоэнергетического течения идеального газа отсутствуют скачки уплотнения и тангенциальные разрывы, а меридиональная скорость V_r + V_z не обращается в нуль. Тогда в этой области величина

І5 —    (^ — Vy (( V r + Vz ) • Qrz ) /( V r + V z)²)                  (7)

сохраняется вдоль линий тока.

Интересно, что при отсутствии закрутки (Vy — 0) новый инвариант I5 совпадает с инвариантом Крокко [1].

4.    Другие формы записи нового инварианта

Для качественного анализа и для верификации расчетов течений путем проверки сохранения нового инварианта I5 на линиях тока его представление в виде (7) является слишком громоздким. Однако с использованием других известных инвариантов I5 можно представить в более обозримом виде.

Применение оператора дивергенции к уравнению (5) дает 3div (V_r + V_z ) + (V_r + V_z ) V3 — 0. С другой стороны, из уравнения неразрывности следует, что pdiv (V_r + V_z ) + (V_r + V_z ) Vp — 0. Поэтому (V_r + V_z ) V(3/p) — 0. 11 отношение I4 — (З/p) сохраняется вдоль линий тока (как указано во введении, этот инвариант впервые получен в [3]). Учитывая формулу (5) для З, имеем

I5 — - (Пу — pV^I4) * rp

Наконец, с использованием третьего инварианта Із = т!Д, получим

П> = Т-1рІзІ4 + ТРІ5.

Поскольку П^ вычисляется по векторному полю меридиональной скорости V_T + V,, новую закономерность можно сформулировать как свойство меридионального движения (без упоминания окружной скорости и связанных с ней компонент завихренности).

Пусть в некоторой области осесимметричного стационарного изоэнергетического течения идеального газа отсутствуют скачки уплотнения и тангенциальные разрывы, а меридиональная скорость V _r + V, не равна нулю. Тогда в этой области окружная составляющая завихренности представима в виде

|Пр| = |rot (V + V,)| = т-1рС1 + трС2, где С1 и С2 суть функции линий тока.

5.    Пример использования нового инварианта

В качестве примера применения нового инварианта решим одну задачу теории вихревого движения для рассматриваемых течений. После работ [5, б, 7] вихревые течения, в которых завихренность параллельна скорости ( П х V = 0), называются винтовыми течениями. Рассмотрим трубку тока в стационарном изоэнергетическом течении газа. Пусть в каком-нибудь сечении трубки П х V = 0. Тогда, согласно теореме Крокко, энтропийная функция ст будет константой ^о в этом сечении. Далее, поскольку энтропийная функция постоянна вдоль линий тока, заключаем, что ст = сто во всех точках трубки тока. Снова, используя теорему Крокко, приходим к выводу, что П х V = 0 во всей трубке тока. Аналогичное рассуждение неприемлемо в случае, если известно только то, что равенство П х V = 0 выполнено в одной точке, а про значение П х V в остальных (соседних) точках ничего не известно. Будет ли линия тока, проходящая через такую точку, винтовой линией (линией, во всех точках которой П х V = 0)? До настоящего времени этот вопрос был открыт для всех типов течений. Новый инвариант І5 позволяет дать положительный ответ для осесимметричных стационарных изоэнергетических течений.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что

| П х V | = | V _r + V | |n_v -^ (( V + V ) • П _г,)/( V + V )²| .

Сравнивая это выражение с (7), получаем

| П х V | = | V _r + V ,| трІ5.                                (8)

Осевая линия тока (т = 0) всегда либо безвихревая, либо винтовая. На остальных линиях тока сохранение равенства П х V = 0 вытекает из (8) (для областей, в которых меридиональная скорость V_T + V , не обращается в нуль).

Если П х V = 0 в какой-либо точке, то это равенство будет верным на окружности, проходящей через эту точку, имеющей центр на оси симметрии и лежащей в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. То есть винтовыми будут все линии тока, начинающиеся на этой окружности. Таким образом, приходим к следующему выводу.

Пусть в осесимметричном стационарном изоэнергетическом течении есть точка Р, лежащая не на оси течения, в которой П х V = 0. И пусть в рассматриваемой области меридиональная скорость V _r + V , не обращается в нуль. Тогда во всех точках поверхности тока, образованной вращением вокруг оси симметрии течения векторной линии Vr + V z. проходят,ей, через точку Р. выполняете:я равенство П х V = 0. То есть указанная поверхность является винтовой поверхностью.

6.    Заключение

При исследовании уравнений Эйлера для стационарных закрученных осесимметричных изоэнергетических течений найден новый инвариант линий тока (формула (7)). Тем самым обнаружена еще одна закономерность в сложной связи окружного и меридионального движений в закрученных осесимметричных течениях газа. Приведен пример качественного вывода, полученного с использованием нового инварианта.

Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (соглашение №14.G39.31.0001 от 13.02.2017).