Плазменные методы повышения эффективности использования твердых топлив

Процессы восстановления представляют собой случайные явления, связанные с отказом и восстановлением элементов какой-либо сложной системы [1]. Наиболее существенное свойство этих явлений – полное возобновление их вероятностных свойств в некоторые случайные моменты времени.

Рассмотрим простой процесс восстановления и его характеристики (рис. 1).

Рис. 1. Простой процесс восстановления

Пусть 1, 2,..., k ,... – последовательность положительных независимых случайных величин.

Предположим, что в начальный момент t 0 начинает работать первый из взаимозаменяемых идентичных элементов системы. Тогда ₁ – это время безотказной работы 1-го элемента.

«Восстановление» происходит в случае выхода из строя i -го элемента и мгновенной замены его новым, который в свою очередь проработает случайное время _{i +1} и т.д.

Обозначим суммы

< 0=0, ^k= h+2₂+...+k_k , k >1.                        (1)

Величина _k называется моментом k-го восстановления.

При фиксированном t определим следующие величины:

a t  Cvv +1   t - перескок, или остающееся время ожидания до момента времени t.

_t t     – недоскок, или время, прошедшее с момента восстановления t.

Величина H ( t ) = M _х называется функцией восстановления .

Пусть в процессе восстановления, описываемом последовательностью (1), все случайные величины 1 , , i > 1, имеют одно и то же распределение вероятностей. В этом случае процесс называем простым процессом восстановления.

В настоящее время по-прежнему остается актуальной проблема прогнозирования поведения сложных систем. Существует множество различных подходов для решения этой задачи, один из которых представлен в [7]. В случае модели, основанной на концепции дискретных процессов восстановления, для вычисления и прогнозирования значений параметров процессов возможно использование нормированных матриц из однородных полиномов Белла.

Понятие полинома разбиений, полинома от нескольких переменных, определяемого с помощью суммы по различным разбиениям значений его индекса, введено Беллом в [2]. Один из таких полиномов, связанный с производными от композиции функций, в [3] назван полиномом Белла. Ряд свойств коэффициентов n -го полинома Белла, так называемых однородных полиномов Белла A(gg ) приведен в [4]. Однородные полиномы Белла (А-полиномы) в явном виде можно представить следующим образом [5]:

n-k +1                 ^-1

A ,,. ( g) = n l^ Fl g i- T r'^H , n 21,1< k,                         (2)

• n, k i =1

где сумма берется по всем разбиениям натурального числа n на k целых неотрицательных слагаемых, т.е. по всем таким наборам ( r, r₂,..., r_n__{k +1}) неотрицательных чисел, что

П-k + 1                      n-k + 1

Е ^iri⁼ⁿ,          ^^ri=^k .

i =1                                 i =i

Комбинаторные полиномы широко применяются при обращении комбинаторных сумм и моделировании дискретных распределений ([5], [6]), поэтому задача построения матриц A-полиномов на ЭВМ становится актуальной. Однако вопрос о составлении оптимального алгоритма с позиции определения А-полиномов в вычислительной системе остается открытым. В работе [8] сделана попытка сформировать интегрирующую структуру, позволяющую связать способ хранения данных и алгоритмы, направленные на выполнение операций над полиномами, в единый комплекс.

Данная работа посвящена моделированию простого дискретного процесса восстановления на основе матриц из однородных полиномов Белла средствами специально разработанного программно-алгоритмического комплекса.

Применение нормированных матриц А-полиномов для вычисления параметров простого дискретного процесса восстановления

В простом дискретном процессе восстановления каждая случайная величина _i имеет одну и ту же производящую функцию распределения g ( t ) = ^ g-i^g »*" , полагаем g 1 *0. Приведем соотношения, связывающие показатели распределений введенных выше случайных характеристик процесса восстановления.

Пусть   g _n= n\ g _n . Возьмем нижнюю треугольную матрицу   A g=|| A ^{( n}; k , g)^ ⁿ> ⁰

0 <  k <  n , A ( n ;0, g) = c> _no , A (0, k; g) = 3_ok , и диагональную матрицу C с элементами c _nn = n!, n> 0 .

Для простого процесса восстановления справедливы следующие утверждения [5]:

Теорема 1

Каждый k -й столбец матрицы, представленной следующим соотношением, выражает распределение случайной величины _k :

S = C "1 AgC.(3)

Теорема 2

Если известно распределение случайной величины i , то справедливы следующие со- отношения:

H (n ) = £ 2 k’(n'» ' A (i, k^ ~),n> 2;(4)

k=1 i=k ndnd

P ( Pn =J ) = I k ’[( n- J )!]   A ( n-j , k ; ~)Z[ k ’( i !) ¹ A( i , k Й-

-(k-1)!(it)-1 A(i,k + 1;~)], n >1,0< J

P(“n = J) = Uk'![(n + J)'l  A(n + J'k;~) 51 [(k - 1)!(i’)"1 x x A( i, k-1; ~)-k!(i!)-1 A(i, k; ~)], n,.J >1.(6)

Из приведенных соотношений видно, что для получения распределений характеристик рассматриваемых процессов применяются нормированные матрицы А-полиномов, построение которых вручную является довольно трудоемким процессом.

Рекуррентные соотношения и алгоритмы построения А-полиномов

В литературных источниках, посвященных комбинаторным полиномам разбиений, рассматриваются различные соотношения, которые могут быть использованы для их построения (см. например [5], [6]).

В частности, использование соотношения (2) предполагает построение A-полиномов на основе их явного описания, что, в свою очередь, требует нахождения разбиений натурального числа на целые неотрицательные слагаемые. Однако при формировании матрицы полиномов различные разбиения требуются каждый раз для построения очередного полинома, что сопряжено с дополнительными вычислительными операциями, приводящими к загрузке алгоритма.

Для A-полиномов известно следующее рекуррентное соотношение (см. [5]), которое позволяет получать очередной полином матрицы на основе уже имеющихся, построенных на предыдущих вычислительных этапах:

An.k (g) = g 1 An-1,k-1 (g) + DAn 1,k (g), n, k ^ 1, k ^ n, где D  g2 / g1  g3 / g2...

В случае построения первого столбца нижней треугольной матрицы, состоящей из изучаемых полиномов, используется соотношение:

An,1(g) = gn .

Для построения главной диагонали указанной нижней треугольной матрицы применяем соотношение:

An, n (g) = gn .(9)

Используя соотношение (7) в качестве основного, а соотношения (8) и (9) в качестве вспомогательных, составим алгоритм построения полинома A_n,_к (g) в явном виде.