Подход к формализации вложенной кусочно-линейной регрессии

При анализе сложных объектов различных объектов широко применяются методы регрессионного анализа (см., например, [1, 2]). Особенно они востребованы в экономике, где с их помощью разрабатываются эффективные эконометрические модели.

Пусть при анализе некоторого объекта исследователь, исходя из соображений содержательного и (или) формального характера, считает, что поведение зависимой переменной у определяется значениями независимых переменных х 1 , х₂,., х_т , то есть предполагает наличие регрессионной зависимости у от х 1 , х₂,..., х_т :

Ук = F (a; хк1,хк2,..., хкт) + £к, к = 1, п,

где k – номер наблюдения, n – их количество, a - вектор оцениваемых параметров, Е к — ошибки аппроксимации, F - аппроксимирующая функция.

Для случая, когда переменная у представляет собой выпуск продукции, а х1,х2,.,хт - ресурсные факторы, в рамках математической экономики разработаны различные типы производственных функций. К числу наиболее известных, наряду с простейшей, линейной, относятся, в частности, следующие [3-5].

• 1.    Функция Кобба-Дуг ласа

• 2.    Функция с постоянной эластичностью замещения

• 3.    Многорежимная функция с различными параметрами крутизны

• 4.  Функция Солоу

• 5.  Функция Аллена

• 6.    Функция Сато

• 7.    Функция Кокса-Бокса

У = a0 Пт=1 х“‘ + E,at > 0,1 = 1, т.

У = (хт=1а1х-р)-у/р + е.

У = (£т=1а,х-р-)"к,/Р,(2"1^,х-р2)"К2/Р2 + е.

У = (z^i а1х^£)У +Е.

У = ^i>j atjXtXj - 1,^=1 PSX2 + е.

У = «0 ПЙ1 х“‘ (im,! Е '   \ ' ' + е.

4-1 ₌ „   , ym _ 4-1

д     ^a 0 ⁺ ^ 1=1 ^a t д ⁺ Е.

В работе [4] рассмотрена возможность комбинирования приведенных выше классических производственных функций по- средством использования, в частности, мультипликативных (а, как следствие, и аддитивных тоже) конструкций вида:

F(-) = F i (-)F₂(-) .

Несколько менее часто по сравнению с перечисленными выше производственными функциями в эконометрике используется производственная функция с нулевой

Построение функции (3) целесообразно тогда, когда объем выпуска продукции в исследуемой системе определяется «узким местом», а именно, количеством ресурса, обеспечивающего лишь наименьший возможный выпуск. При этом любое увеличение количества других потребляемых ресурсов не может компенсировать дефи-

Ук =

Здесь зависимая переменная имеет негативный по отношению к объекту характер, например, риск, уязвимость, угроза и т.д., а независимые факторы являются частными индикаторами этого агрегирующего показателя.

эластичностью замены ресурсов, или с постоянными пропорциями [3,4,6], в математическом отношении представляющая собой кусочно - линейную регрессию:

y_k = min{a i x_k i , « 2 X_k 2 , ..., а_тх_кт} + г_к .

цит лимитирующего фактора. В работе [6] описаны особенности оценивания параметров регрессии (3) методом наименьших модулей [7], сводящимся к решению задачи линейно - булевого программирования.

В работе [8] предложена противоположная по смыслу модели (2) функция риска maX{«iXki, «2Xk2, ■. , «mXkm} + Ek.

Возможным способом комбинирования (обобщения) кусочно - линейных регрессий (3) и (4), наряду с формой (2), является введение двух типов вложенных кусочнолинейных регрессий следующим образом.

• 1.    Вложенная кусочно - линейная регрессия первого типа:

• 2.    Вложенная кусочно-линейная регрессия второго типа: y_k = maX{min_teI i {a 1 X_ki},... ,min_iEI G {a f X_kt},

^maXtej i ^{ P i^Xkt^} ,... ^,maXtej H {P r ^Xkt^{}} + E}k . ⁽⁶⁾

Способ идентификации параметров вложенных кусочно-линейных регрессий (5) и (6) может быть аналогичен тому, который используется при оценивании параметров регрессий (3) и (4), и сведен, таким образом, к решению специальным образом сформированных задач линейно-булевого

Отметим, что в формулах (5) и (6) отражен первый порядок вложенности. Он может также вторым, третьим и т.д.

Автор намерен заняться дальнейшим исследованием вложенных кусочнолинейных регрессий.

программирования.