Подтверждение показателей надежности при экспериментальной отработке сложной технической системы с последовательным соединением элементов

Original article

Validation of Reliability Indices during Experimental Development of a Complex Technical Series System

Oleg Yu Tsarev 1©B , Yury A Tsarev²

• ¹    “Business Solutions and Technologies” JSC, 5B, Lesnaya St., Moscow, Russian Federation

• ²    Don State Technical University, 1, Gagarin sq., Rostov-on-Don, Russian Federation

Introduction. The article studies the problem of validating the specified levels of reliability during experimental development of a complex technical series system. Such tasks arise when it is required to make a decision on testing the system as part of a larger one or on the completion of experimental development and the start of series production. The study is aimed at validating the reduction of the experimental development time. The task is to determine whether the hypothesis Н _о is accepted or rejected.

Materials and Methods. To implement the research objective and task, a critical area described by the inequality was constructed based on the test results. The formulation of the requirements validation task was based on well-known approaches to testing statistical hypotheses. The conceptual apparatus of information theory, probability, and statistics was involved. The theoretical and applied literature on mathematical methods in reliability theory was studied. The particular tasks of the work were solved by known ways. Thus, the probability of obtaining the exact number of successful outcomes in a certain number of experiments was determined by the Bernoulli scheme. The exact confidence interval based on the binomial distribution was derived from the Clopper-Pearson relation. The theorem of A.D. Solovyov and R. A. Mirny made it possible to assess the system reliability based on the test results of its components.

Results. Control rules adequate to the stage of experimental development (with insufficient data on the technical system) and the stage of series production were mathematically defined. The probability of a successful outcome when testing technical systems was represented by:

• –    the probability of event for a system element;

• –    confidence value;

• –    required scope of tests

In these terms, the null and alternative hypotheses and the corresponding reliability control procedures were investigated. Two provisions were considered. The first one provided using the null confidence hypothesis Н_о = { F >  F_T } and an alternative Н = { F <  F_T } to confirm the requirements ( F_T, y) for the reliability indicator of one parameter for any ( F_T, y) . In this case, one trouble-free test was enough. The second provision considered a sequential technical system with independent elements that were tested separately from the system according to the Bernoulli scheme for one parameter. We considered the requirements for the system in the form of a set of values ( F_T , y) and the requirements for any of its elements ( F_T,, y). They coincided when the planned outcome of the tests corresponded to the cases when the ratio F = lim : F, = F was fulfilled, and the null alternative 1 < i <  N

Механика

hypothesis was selected from the theory of statistical hypothesis testing.

Discussion and Conclusions. The experimental development strategy should be implemented in two stages: the search and validation of the reliability of the elements through a series of fail-safe tests. In this case, the planned scope of tests of each element is determined taking into account the confidence probability, the lower limit of the confidence interval, and the requirements for reliability indices of one parameter of the technical system. If the use of the null confidence hypothesis is acceptable, one fail-safe test is sufficient to confirm the requirements for the reliability index.

Введение. Рациональные методы подтверждения заданных уровней надежности актуальны для экспериментальной отработки сложной технической системы, когда принимается решение о возможности ее испытания в составе более крупной структуры или о завершении экспериментальной отработки и начале серийного производства. Такие же задачи возникают и при серийном производстве, если нужно:

• –    оценить готовность предприятия к выпуску серийной продукции на основании данных испытаний установочной партии;

• –    сделать вывод о соответствии выпускаемой продукции требованиям технической документации с учетом данных по эксплуатации.

Цель работы — получить приемлемое решение для планирования и сокращения объема испытаний с помощью методов интервального оценивания показателей надежности последовательных технических систем. Для реализации заявленной цели необходимо определить, принимается или отклоняется гипотеза Н _о.

Материалы и методы. Задачу подтверждения требований целесообразно формулировать в терминах теории проверки статистических гипотез [1–4]. Пусть Р — надежность технической системы, Р Т — некоторый фиксируемый (требуемый) уровень для Р . До проведения испытаний относительно Р можно выдвинуть три исходных предположения: Р = Р_т , Р < Р_т , Р > Р_т.

Каждое из них называется нулевой гипотезой, если записано виде:

Н о = { Р = Р т } , Н о = { Р <  Р т } , Н о = { Р >  Р т } .

Множество Н_о = { Р = Р_т } содержит лишь один элемент, поэтому гипотеза Н_о = { Р = Р_т } называется простой. Гипотезы вида Н_о = { Р <  Р_т } и Н_о = { Р >  Р_т } называются сложными. Наряду с нулевой гипотезой, выражающей заранее сформулированную точку зрения, задают альтернативную гипотезу Н , выражающую противоположное высказывание Н_о ( Н_о п Н = Q ) . Задействуем понятийный аппарат теории информации [1], вероятности и статистики, применимый к решению подобных задач. Рассмотрим две совокупности множеств Н _о и Н :

Н о = { Р <  Р’т } , Н = { Р >  Р ’ Т } , (1)

Н о = { Р >  Р т } , Н = { Р <  Р т } . (2)

Гипотезу Н о в (1) будем называть жесткой, или гипотезой недоверия. Действительно, в случае (1) первоначально (до испытания) исходят из позиции недоверия к уровню качества системы. Показатель надежности Р принимается не выше некоторого фиксируемого уровня Р ’ . Гипотезу Н о в (2) будем называть гипотезой доверия, так как в этом случае первоначально исходят из положения, что показатель надежности Р не меньше некоторого фиксируемого значения Р_Т .

Смысл величин Р’_т и Р_Т различен. В (1) Р’_т — такое браковочное значение, что при Р <  Р’_т система считается неприемлемой. В (2) Р_Т — такое значение, что при Р >  Р_т система считается приемлемой для использования. Очевидно, что Р_т > Р’_т .

Результаты исследования. Итак, необходимо определить, принимается или отклоняется гипотеза Н _о. В теории статистических гипотез для этого по результатам испытаний строится критическая область. Она описывается некоторым неравенством. Причем нулевой гипотезы (вследствие исходного доверия к ней)

придерживаются до тех пор, пока это разумно с точки зрения принятого уровня значимости а. Поэтому заранее ясно, что процедура контроля надежности в случае (1) будет существенно отличаться по сравнению со случаем (2).

Действительно, далее убедимся, что для отклонения гипотезы Н о в (1) и принятия гипотезы Н = { Р >  Р_т } о выполнении требования к показателям надежности следует использовать критическую область (или условие):

Р > Р Т ,                                              (3)

где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р при значении доверительной вероятности у = 1 - а ; Р ’_г — нижняя граница браковочного интервала для Р при значении доверительной вероятности у = 1 - а .

В случае (2) для принятия гипотезы Н о о соответствии значения параметра Р предъявляемому требованию следует использовать условие:

P >  Рт ,                                                    (4)

где Р — верхняя граница доверительного интервала для Р при значении доверительной вероятности у = 1 - а.

В (3) и (4) под требованием к показателю надежности одного параметра Р понимается совокупность величин ( Рт, Y) или ( Р_т , у) , задаваемых до проведения испытаний.

Пусть в условиях схемы Бернулли проведено одно успешное испытание. Тогда, используя соотношения Клоппера — Пирсона, находим нижнюю и верхнюю границы одного параметра при значении, например, Y - 0,95:

P = ( 1 - у)^Ш = 1 - у = 0,05; Р = 1.

При этом даже для весьма умеренных значений Р _т е [ 0,05; 0,95 ] условие (3) не выполняется, в то время как (4) выполняется при любом Р_Т . Покажем справедливость принятого положения.

Первое положение. Если допустимо использование нулевой гипотезы доверия Н_о = { Р >  Р_т } при альтернативе Н = { Р <  Р_т } , то для подтверждения требований ( Р_т , у) к показателю надежности одного параметра при любых ( Р_т , у) достаточно одного безотказного испытания.

Если исходная гипотеза Н о — это гипотеза недоверия из (1), то необходимо существенно большее число испытаний. Так, при m = 0, получаем n >  log ( 1 - у ) / logР_т >>  1. Это вполне справедливо, т. к. при проверке гипотез первоначально исходят из справедливости нулевой гипотезы Н_о .

На этапе экспериментальной отработки нет достаточно полных данных о технической системе, поэтому целесообразно использовать правило контроля (3). На этапе серийного производства можно исходить из гипотезы доверия и использовать существенно более легкое правило контроля (4). Это допустимо, если, по данным экспериментальной отработки, условие (3) оказалось выполненным.

Рассмотрим систему, состоящую из N независимых последовательно соединенных элементов, которые могут испытываться отдельно. Тогда вероятность успешного исхода при испытании технических систем:

N

P = П P i .                                                (5)

i

Здесь Р_i — вероятность того же события для i -го элемента. К величине Р заданы требования в виде совокупности значений ( Р_т , у). Нужно спланировать процедуру контроля надежности одного параметра для каждого элемента системы, т. е. задать V z е [1, и ] пару ( Р_т„ у) .

Вследствие перемножения Рi в формуле (5) должно выполняться соотношение П P = P■ Кроме i того, у/ = у .

В результате требуемый объем испытаний n i каждого элемента резко возрастает и даже при безотказных исходах всех испытаний становится неприемлемым. При Р_Т — 0,9 и у — 0,95, N = 100 и m = 0, V i = 1, N :

Механика

Р тi ~ Рт^1,100 = 0,999, n_oi = log ( 1 - у ) / 1одР т, ~ 3000.

Такому способу планирования логически противоречит неравенство noi > no, следующее из РТ1> Рт при mi = 0. Понятно, что при безотказных исходах требуемый объем испытаний noi i-го элемента, проводимых отдельно от системы, должен быть равен требуемому объему испытаний системы nо. Во избежание этого противоречия следует использовать теоремы А. Д. Соловьева и Р. А. Мирного [5-7]. Итак, при m = 0, Vi = 1, N:

^P = min: ^p i = f ( n , 0, у ) = ^{( 1 -} уГ " •

Здесь Р — нижняя граница доверительного интервала для показателя надежности технической системы по одному параметру, при значении γ доверительной вероятности; P _i — значение нижней границы доверительного интервала для показателя надежности i-го элемента системы при той же доверительной вероятности; n — минимальное число испытаний элементов системы; f ( n ,0,у) — корень уравнения Клоппера — Пирсона:

m

1 - Y = £ ( "к ) P " - k q k = B ( n , P , m ) .                                       (7)

к = 0

Согласно [8–12]:

f ⁽ n , nq ,у) <  ^p <  ^{f (} n, ^[ nq ^],у) .                                           (8)

N

Здесь q = 1 - P ; P =П (1 — mJ nJ; " = min n ; [nq] — целая часть произведения nq; f (n,nq,у) — корень уравнения Jp (n, P, nq +1) = 1 - у .

Из (8) следует:

P = min : P, = Pm ,                                           (9)

—   1

P m = min: P i >  Р т О ( P 1 >  Р т ) О ( P 2 >  Р т ) _П ( P N >  Р т ) .

1 < i <  N

Это справедливо не только для случая (1), когда m = 0, Vi = 1, N, но и для случая (2), т. е. для исхода n = (n,n2, ...,nN) , m = (m, 0, 0, ..., 0) испытаний, где n и m — вектор испытаний и вектор отказов, если n = n.

При этом отказывает только один элемент, подвергшийся испытаниям минимальное число раз. Действительно, в этом случае nq = m_v — целое число. Расчеты позволили установить, что (9) приближенно выполняется также при исходе испытаний n , m , т. е. в случае (3), если для пары ( n , m ) возможно min : Р, = Р„ . 1 < i <  N

Во всех упомянутых случаях (9) не перемножаются нижние границы, а система вырождается в один слабейший элемент. Это позволяет подтвердить следующее положение.

Второе положение. Рассмотрим последовательную систему с N независимыми элементами, которые испытываются отдельно от системы по схеме Бернулли для одного параметра. Требования, задаваемые к системе в виде совокупности величин ( Р_т , у) , и требования к любому ее элементу ( Р_т, у_;.) совпадают, если планируемый исход испытаний соответствует упомянутым случаям выполнения соотношения (9), а нулевая альтернативная гипотеза выбирается, исходя из (1) и (2).

Следствие. В случае (3) выполнение (9) — планируемый объем безотказных испытаний ( N – 1) элементов определяется из:

n > n0 = log (1 - у) / logРт .

Объем отказов условно первого элемента при m ₁ находится из соотношения:

Р1 = f (П1, Ш1, у) = Рт .(11)

Доказательство (11) основано на том, что условие Р = Рн > Рт выполняется, если Рн = Рг = Рти

Р [ < V i е [2, N ]. Последнее же соотношение удовлетворяется, если выполняется (10), т. к.:

n > n 0 О P i = (1 - у) ¹ / ⁿⁱ > Р т .

Во всех рассмотренных случаях предполагалось, что до проведения испытаний нет никакой информации относительно Р , если не считать очевидный факт Р е [ 0, 1 ] . Однако может быть известно, что Р > Р_н , где

Р Н = 0. Значит, Р = P е [ Р_н , 1 ] . Величину Р Н можно найти по данным испытаний или расчетов к моменту планирования испытаний на надежность. Еще нет методики определения Р Н , и ее разработка — задача будущих изысканий. Но если известна величина Р_Н , по формуле полной вероятности можно найти: .

p = р + qP.

Отсюда: .                                                                                                                                                                                                                      .

Р = ( P - Р н )/(1 - Р н ) , P = ( P - Р н )/(1 - Р н ) .                            (12)

.

Последнее соотношение выполняется вследствие монотонности по Р , зависимости Р = ( P - Р_н ) .

С учетом (12) соотношение (2) примет вид: <

Р н + (1 + Р н )f ( n , nq , y) <  P <  Р н + (1 - Р н )f ( n ,[ nq ], y) .                         (13)

Пусть условием принятия решения о соответствии технической системы требованиям (Рт, у) по-прежнему служит (3), где нижняя граница доверительного интервала определяется из (13) с учетом Р = P е[ Рн, 1]. Тогда из соотношения .

P >  Р т                                              (14)

находим планируемый объем безотказных испытаний по одному параметру для каждого из N элементов:

n >  ⁿ ’ o = log ( 1 ^- Y ) log ⁽ Р т ^{- Р}н ) / ^{(1 - p}h ).   ⁽¹⁵⁾

Величина n ’ о убывает по P_H . Значит, n о (10) при Р_Н = 0 и n ’ о = 0 при Р_Н = Р_Т .

N

Пример. Требования к показателям P = ПP надежности системы заданы для одного параметра в виде i совокупности величин (РТ = 0,90; у = 0,95). Число элементов технической системы N = 100. По имеющимся данным, РТ > РН = 0,70. Требуется найти планируемый объем испытаний каждого из N элементов, если выполнение требований надежности проверяется условием (14). Из (15) находим:

n i > n ’ ₀ = log (0,05) / log (0,90 - 0,70) / (1 - 0,70) = 7.

Заметим, что при Р_Н = 0 n i > n’ ₀ = 29.

Соотношения (10) и (15) позволяют планировать необходимый объем испытаний i-го элемента технической системы при определенной последовательности экспериментальной отработки системы. Весь процесс экспериментальной отработки делится условно на два периода: поиск и подтверждение требований надежности для решения о переходе к следующему этапу испытаний или о принятии технической системы к серийному производству. В первом периоде возможны доработки, и целесообразно использовать модели с переменной вероятностью Р успешного исхода испытания системы.

Данные, полученные в первом периоде, могут использоваться для расчета величины Р Н .

Во втором периоде имеем дело с установившимся вариантом конструкции технической системы и технологического процесса. Это позволяет использовать рассмотренные выше модели испытаний биномиального типа с постоянной вероятностью Р .

Пусть первый период отработки N элементов технической системы закончен и ставится вопрос о подтверждении требований к показателю надежности системы по одному параметру. Целесообразно подтвердить надежность, если положительное решение принимается только в случае безотказного исхода испытаний последней серии для каждого из N элементов. Эта стратегия удобна тем, что она основана на минимально возможном числе испытаний элементов технической системы и допускает простые аналитические решения (10) и (15).

В общем случае есть смысл исследовать стратегию, допускающую отказы элементов при проведении испытаний и основанную на оптимизации некоторой целевой функции. Но здесь ограничимся рассмотрением лишь упомянутой стратегии с безотказными заключительными сериями.

Обсуждение и заключения. Результаты научных изысканий позволили сформулировать приведенные ниже выводы.

• 1.    Даже при большом числе N элементов системы возможно планирование объема их испытаний. В этом случае методы интервального оценивания показателей надежности последовательных технических систем позволяют получить приемлемое решение, однако только по одному параметру.

• 2.    Стратегия экспериментальной отработки технических систем тесно связана с методом подтверждения надежности элементов. Рациональная стратегия экспериментальной отработки предусматривает после

• 3.    В серийном производстве при испытаниях модернизированных технических систем можно использовать метод контроля со сменой нулевой и альтернативной гипотез. Если допустимо использование нулевой гипотезы доверия, то для подтверждения требований к показателю надежности достаточно одного безотказного испытания.

поискового периода подтверждение надежности элементов заключительной серией безотказных испытаний. В этом случае планируемый объем испытаний каждого из N элементов не зависит от N и определяется по соотношению (15), в которое входят требования ( Р_Т , у) к показателям надежности одного параметра     ^

технической системы в целом и Р Н . Получаемый по (15) объем испытаний каждого элемента технической системы при любом их числе невелик, если на систему из N элементов заданы умеренные требования

( Р Т = 0,80 …0,95; γ = 0,90 … 0,95), однако только по одному параметру. При этом объем убывает с ростом величины Р_Н .