Погрешность в классической теории взаимодействующих тел

Показано, что в замкнутой системе взаимодействующих тел, массы которых зависят от времени, центр масс системы этих тел совершает сложное движение в инерциальной системе отсчета, в которой суммарный импульс системы равен нулю.

Для замкнутой системы N взаимодействующих тел из 2-го закона Ньютона вытекает следствие

Ndp

Ё = 0 ^ Ё Pi = P0 = const,(1)

i=1 dt где Pi = m^j - импульс i -го тела, mz-, Vz - его масса и скорость соответственно.

N

Выражение Ё Pi = Pq = const i=1

характеризует собой закон

сохранения импульса замкнутой системы тел.

Классическая механика трактует это обстоятельство таким образом:

центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, а ее внутренние силы не могут изменить его

скорости.

С этим можно согласиться только в том случае, если массы тел замкнутой системы не зависят от времени. Если же массы тел зависят от времени, то, как будет показано ниже, центр масс замкнутой системы тел совершает сложное движение.

Если перейти в инерциальную систему отсчета, в которой P o = 0 (что всегда можно выполнить), то из (1) получим

N

E miVi

ii i=1

N

=   mtd-i = 0 .

Ё1 i dt

Обращаем особое внимание на то, что из уравнения движения замкнутой системы тел выводится равенство (2), являющееся основой для получаемых из него следствий.

Центр масс системы тел определяется уравнением

N

E miri = mR , i=1

N где m = E mi i=1

– общая масса всех тел замкнутой системы;

R – радиус-вектор центра масс, имеющий начало в произвольной точке O ; r _i – радиус-вектор тела m_i с началом в той же точке O .

Если в выражении (3) массы тел не зависят от времени, то дифференцируя его по времени, получим dr    dR

7 mi —L = m--= mV = P ,

Д i dt      dt          0 , где V – скорость движения центра масс. Равенство (4) эквивалентно равенству (1) и выражает закон сохранения импульса замкнутой системы тел в трактовке классической механики.

Если же в выражении (3) массы тел зависят от времени, m i = m i ( t ) , то дифференцируя (3) по времени, получим

NN E m i r i + E i = 1 i = 1

drdR

mi- —L = m-- dtdt

Учитывая равенство (2), получим

N

> m i r = m--

E1 i i dt

Равенство (6) свидетельствует о сложном движении центра масс замкнутой системы при выполняющемся условии (2).

Таким образом, если mi = mi (t), то при импульсе замкнутой

системы, равным нулю, происходит сложное движение ее центра масс.

Этот вывод существенным образом отличается от вывода классической механики, упомянутого выше.

Поскольку в классической механике массы m_i считаются постоянными, не зависящими от времени, то из (2) при соответствующем выборе системы координат следует

N

E miri = 0 •                                        (7)

i = 1

Однако в начале XX века стало известно, что массы тел зависят от скоростей их движения (а следовательно от времени), вследствие чего равенство (7) из выражения (2) не может быть получено. И хотя для малых скоростей движущихся тел погрешность нарушения равенства (7) невелика, но при описании движения тел на длительном отрезке времени возникнут ощутимые расхождения с наблюдениями. При описании эволюции планетных систем на космогонических интервалах времени, кроме гравитационных сил, учитывают малые диссипативные и приливные силы, влияние которых оказывается весьма ощутимым. Также и погрешность нарушения равенства (7) является фактором, влияющим на эволюцию планетных и звездных систем на космогонических промежутках времени. В теориях двух, трех и более тел равенство (7) используют как точное с точки зрения классической механики, что является недопустимым по указанным выше причинам. Поэтому в задачах многих взаимодействующих тел целесообразно равенство (7) не использовать, что конечно приведет к усложнению расчетов, но зато избавит от погрешностей вычислений в указанном аспекте.

Рассматривая движение двух взаимодействующих тел, из выражения (2) получим drdr mi    + m2 j = 0 ’(8)

dtdt где массы m1 и m2 считаем зависящими от времени. В общем случае два взаимодействующих тела движутся вдоль линии их соединения, вращающейся в некоторой плоскости.

Поставим вопрос: будет ли центр этого вращения неподвижным?

Классическая механика, в предположении независящих от времени масс, отвечает на этот вопрос утвердительно. С ее точки зрения этот неподвижный центр существует и находится в центре масс взаимодействующих тел. Но, как было показано выше, с учетом существующей зависимости масс от времени, такой ответ классической механики нас более удовлетворить не может. Мы показали, что в этом случае центр масс совершает сложное движение, описываемое выражением ( 6).

Предположим однако, что такой неподвижный центр существует (точка O ) и что он расположен на линии, соединяющей оба тела. Выберем положительное направление оси Ox , вдоль которой направлен единичный вектор n . Пусть радиус-векторы двух взаимодействующих тел соответственно равны ri = — ri n и r2 = r2 n

Расстояние между телами

равно

r = r2 -ri = (r2 + ri)n .

Подставив эти радиус-векторы в уравнение (8), получим

Lt n (         dn)

mi rn + r — + m2 r2 n + Г2 — = 0 , к dt 7

dn ^

к

dt

dndn где — ± n , — ^ 0. Умножая равенство (9) скалярно на n и dtdt dn поочередно, получим dt

• —    mi ri + m2 r2 = 0 ,(10)

• —    mi ri + m2 Г2 = 0 .(11)

Равенство (11) является условием центра масс системы двух тел, когда начало координат выбрано в точке O , расположенной в центре масс этих тел. Умножив равенство (11) на вектор n , получим

• m i r i + m 2 r 2 = 0 .                                  (12)

Равенство (12), в предположении существования неподвижного центра масс, было получено чисто математически из выражения (2), в котором массы m_i могут зависеть и от времени, в отличие от классической механики. Следовательно для двух тел равенство (12) совпадает с равенством (7), но равенство (12) более сильное, так как массы m_i могут зависеть от времени.

Продифференцировав равенство (11) по времени и учитывая равенство (10), получим еще одно равенство

• —    m i r i + m 2 r 2 = 0 .                                 (13)

ml  m 2

Поделим равенства (13) и (11) друг на друга: ---=---, откуда m1  m2

после интегрирования и учета начальных значений, получим m l = m 01 = const ,

^m 2   ^m 02

где m ^~ ₀₁ и

~ m02 – значения масс движущихся тел в момент времени

t = t о.

В предположении существования неподвижного центра (точка O ), вокруг которого вращается линия, соединяющая два взаимодействующих тела, мы получили равенства (10), (11), (13), следствием которых является соотношение (14). Остается теперь проверить: выполняется ли соотношение (14) в задаче двух тел?

Поскольку это соотношение было получено при произвольном

dn значении скорости вращения вектора n , то при достаточно dt малом значении этой скорости движение двух тел происходит вдоль сильно вытянутого эллипса.

Пусть в начальный момент времени два тела с сильно различающимися массами находились на достаточно большом расстоянии друг от друга и их начальные скорости были невелики. Тогда в этом случае с высокой точностью выполняется соотношение mO1 = mO1 m~02 m02

где m ₀₁, m ₀₂ – массы покоя тел. Пусть для определенности m ₀₁ <<  m 02 , тогда при положении этих тел, находящихся друг от друга на наименьшем расстоянии (перигелий), они будут иметь скорости движения

v

vi >> v2 ^ — >> 1 .                      (16)v2

Подставив в (14) известные зависимости масс тел от скоростей их движения и учитывая равенство (15), получим

1 - β22 m01   m01

⇒ β ₁ = β ₂ или v ₁ = v ₂ . (17)

⋅=

1 - β ₁ ^{2 m} 02   ^m 02

Равенства (16) и (17) противоречат друг другу, следовательно наше предположение о существовании неподвижного центра масс при рассмотрении движения двух тел, массы которых зависят от времени, оказалось неверным. А из этого следует невозможность выполнения равенства (7) для произвольной замкнутой системы взаимодействующих тел.

Таким образом мы доказали, что для замкнутой системы взаимодействующих тел, массы которых зависят от времени, N

равенство ∑ miri = 0 не выполняется.

i = 1