Поиск новых направлений совершенствования технологии управления рудными потоками

Современные горнорудные предприятия используют различные технологии в планировании и управлении технологическими процессами, которые с развитием науки и техники требуют совершенствования. На основе математических методов и моделей построено большинство приемов управления технологических процессов. Внедрение динамического программирования позволит оптимизировать задачи в горной промышленности постепенно, находить оптимальное решение поэтапно.

Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации многошаговых процессов. Теория выглядит так:

система n обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

1 = f 1 (x 1 ,x 2 ,…,x n )

2 = f 1 (x 1 ,x 2 ,…,x n )                                                        (1)

n = f 1 (x 1 ,x 2 ,…,x n )

записывается также в векторной форме

=f(x)                                                               (2)

Векторное поле в правой части равенства (2) определено в пространстве Rn или его части. Независимая переменная, в качестве, которого чаще всего выступает время, обозначается буквой t ;     кроме того, х i=dxi/dt, где i=1,2,...,n. Решением системы (1) является совокупность функций

φ 1 (t), φ 2 (t), …, φ n (t),                                                        (3)

которые удовлетворяют исходным уравнениям (1). Предполагается, что решение определено для всех t є R и что, функции стоящие в правых частях уравнений (1), достаточно гладкие.

В векторной форме решение записывается так

φ (t) = (φ 1 (t), φ 2 (t), … , φ n (t)).                                             (4)

Уравнения x 1 = φ 1 (t), x 2 = φ 2 (t), …, x n = φ n (t), t є R представляют собой параметрические уравнения кривой в Rⁿ. Эта кривая называется траекторией системы ОДУ.

Множество всех траекторий системы (1) образует в Rn фазовый портрет системы. С помощью дифференциальных уравнений описываются реальные системы, и их изменение во времени. Решением системы (2) определяется эволюция исследуемой системы во времени.

Состояние системы в момент t зависит не только от указанного момента, но и от исходного состояния системы, в котором она находилась в момент времени t=0:

Х о = ф(0).                                                               (5)

Соотношение (5) называется начальным условием для решения системы (2), а решение, которое удовлетворяет этому условию, обозначается

ф(t, Х о ) или    Фх_й ⁽ t ).                                                   (6)

Решение (6) удовлетворяет соотношению ф(0,  x0)=  х0  или, соответственно, Ф^ (0).

В большинстве случаев не удается найти общее решение нелинейных систем дифференциальных уравнений ф (t, x) = (ф1(t,x), ф2(t,x), _ , фn(t,x)),                                   (7)

в котором функции ф i (t, х) заданы явными аналитическими выражениями.

Как правило, математическая модель не описывает реальную систему в точности. Нет оснований предполагать, что значения ф₀(t, х₀) (при известном x₀) точно соответствуют точным измеренным значениям, если известно общее решение (7). Предполагается, что математическая модель дает обычно качественное совпадение с поведением реальной системы.

Решение x(t) системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx = f (t, x) dt

с начальным условием x(0) = х₀ обычно находится численными методами [1].

В частном случае, при линейной целевой функции и линейных ограничениях, система (8) решается методом линейного программирования.

Решения систем дифференциальных уравнений приводят к оптимальному выбору результатов, направленных на максимум или минимум поставленных задач. К такой ситуации можно отнести задачи минимизации затрат на управление процессами очистных работ по добычи руды при одновременном соблюдении требований к качеству рудной массы.

Например, задача формулируется следующим образом: обеспечить заданный планом объем добычи руды Q_пл при минимальных эксплуатационных затратах Э_i и соблюдении планового содержания меди в рудной массе а_пл [2].

В качестве примера решения задачи рассмотрим условия месторождения, аналогичному меднорудному Учалинскому. При этом рассматриваемый нами объект в большей мере будет приближен к указанному аналогу в части условий залегания и качества залежи и в меньшей - по принятым при его освоении техническим решениям.

Месторождение отрабатывается комбинированным открытоподземным способом в варианте одновременной (совместной) разработки :

верхняя часть – карьером, запасы в бортах и под дном карьера – подземными технологиями.

Предполагается, что на некоторый фиксированный момент времени добычные работы сосредоточены в основном на трех участках месторождения: в северной части карьера (№1), на верхних горизонтах подземного рудника в северном борту карьера (№2) и в подземных очистных камерах в средней части месторождения (№3).

Исходные данные для решения поставленной задачи представлены в табл.1.

Таблица 1.

Показатели	Участки
	1	2	3
Затраты на добычу Э i , руб/т.	270	210	70
Содержание меди в руде α i , %	2,8	1,7	1,0
Максимальный объем добычи Qi , млн.т/год	0,4	0,8	5,0

При производственной мощности обогатительной фабрики 6 млн.т/год, содержание меди в рудной массе, поступающей на обогатительную фабрику, должно быть в пределах 1,2…1,3 %.

За критерий оптимальности принимается наименьшие затраты на добычу, тогда целевая функция оптимизации записывается в общем виде:

n z = ZЭ0 ■ Qi ^ mn(9)

i = 1

Переписав ее в каноническую форму, получаем математическую модель задачи в виде:

Z = 270Q1+210Q2 + 70Q3 → min.(10)

При ограничениях:

• 1)    по максимальной производственной мощности участков

Q1 ≤ 0,4; Q2 ≤ 0,8; Q3 ≤ 5,0;(11)

• 2)    по производственной мощности обогатительной фабрики

Q + Q2 + Q3 ^ 6.(12)

• 3)    по минимальному и максимальному содержанию меди в руде

1,0 Q3+1,7 ■ Q2 + 2,8 ■ Qi £, 2.     1,0 ■Q3+1,7 ■ Q2 + 2,8 ■ Q ^ f

Qi + Q2 + Q3        , ’           Q1 + Q2 + Q3

• 4)    по неотрицательности переменных

Q1 , Q2 , Q3 ≥ 0.(14)

После некоторых преобразований имеем ограничения в виде системы линейных уравнений и неравенств:

Q3 ≤ 5,0; Q2 ≤ 0,8; Q1 ≤ 0,4;(15)

Q1 + Q2 + Q3 = 6;(16)

Q1 , Q2 , Q3 ≥ 0;(17)

• 1,6    Q1 + 0,5 Q2 – 0,2 Q3 = 0;(18)

• 1,5    Q 1 + 0,4 Q 2 – 0,3 Q 3 = 0.

Далее задача решалась симплекс-методом на ПК с использованием программы Microsoft Office Еxcel.

В результате решения получены следующие значения неизвестных:

Q 1 = 0,356 ; Q 2 = 0,8; Q 3 = 4,844.                               (19)

Округлив, с учетом ограничения (11) получаем:

Q 1 = 0,35млн.т/год ; Q 2 = 0,8млн.т/год; Q 3 = 4,85 млн.т/год. (20)

При полученных значениях переменных из функции (10) получаем величину минимальных годовых эксплуатационных затрат:

Z = 270х0,35 + 210х0,8 + 70х4,85 = 602 млн.руб/год            (21)

Средняя себестоимость руды:

602 млн.т/год : 6000 тыс.т = 100,3 руб/т.

Для этих же условий мы можем сформулировать задачу несколько иначе: обеспечить максимальный объем добычи руды по участкам Q_i при заданных эксплуатационных затратах Э_i и планового содержания меди в рудной массе α_пл . Такую задачу мы также можем решить методом линейного программирования.

Таким образом, для данных условий мы можем решать методом линейного программирования частные задачи оптимизации в различных формулировках, но методы динамического программирования, как было показано ранее, позволяют решать эти задачи совокупно или в определенной последовательности.

Динамическое программирование позволяет учитывать изменение параметров (технологических, технико-экономических, геомеханических и др.), влияющих на эксплуатационные затраты предприятия.