Поиск приемлемых стратегий совместного бурения двух газовых месторождений

Россия — одна из крупнейших и богатейших экономик мира. Территория России занимает огромную площадь. Она простирается на многие тысячи километров. Наша страна также богата природными ресурсами. В ее недрах находятся залежи практически всех минералов из таблицы Менделеева, запасы которых сосредоточены в разных регионах России: Западной Сибири, Волго-Уральском бассейне, Северном Кавказе, на Дальнем Востоке и в Тимано-Печорском бассейне.

Природный газ занимает особое место в списке полезных ископаемых [1]. Он относится к невозобновляемым полезным ископаемым, находящимся в газообразном состоянии под

(с) Скиба А. К., 2025

• (с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2025

поверхностью земли при высоком давлении и температуре. Природный газ содержит много полезных веществ, используемых в промышленности. Это так называемый газовый конденсат, который выпадает из газовой смеси при понижении давления или температуры. Для добычи полезных веществ используются пробуренные в толще земли скважины.

Природный газ является экологически чистым и ценным продуктом. Спрос на него непрерывно растет. Запасы природного газа и сопутствующего ему газового конденсата в России высоки. По данным на 2019 год, доказанные запасы природного газа в России составляют 24,4% от общемировых запасов.

Однако, как правило, места добычи и потребления газа находятся на большом расстоянии друг от друга. Необходимо обеспечить доставку газа. Одним из наиболее эффективных способов снабжения потребителей данным продуктом является транспортировка его по газопроводу.

Добыча газа — это сложный, дорогостоящий и трудоемкий процесс, который происходит в течение достаточно длительного периода времени. Для мониторинга термодинамических процессов, происходящих в пласте, используются различные средства, которые позволяют нам анализировать поведение термодинамических систем, исследовать процессы преобразования энергии и проводить всевозможные оптимизационные вычисления [2-5]. Эти инструменты могут быть представлены в виде приборов, методов и программного обеспечения.

Для численных расчетов используется большой объем исходных данных. В процессе разработки месторождения исходные данные могут претерпевать значительные непредсказуемые изменения, что существенно влияет на результаты расчетов. Поэтому добыча газа прогнозируется на достаточно короткий период времени.

В представленной работе автор использует другой подход для долгосрочного прогнозирования с минимумом исходной информации. В данном подходе применяется приближенная динамическая модель газовых месторождений [6, 7]. Эта модель может быть использована для предварительного долгосрочного прогноза разработки группы газовых месторождений. В своих работах [8-11] автор не только модифицировал модель газовых месторождений, но и решил ряд задач оптимального управления.

Настоящая статья является продолжением работы [11]. В ней строится модель газовых месторождений и решается практическая задача оптимального управления. Однако в некоторых частных случаях реализовать оптимальное решение практически невозможно. Поэтому для преодоления возникших трудностей предлагаются различные пути их решения.

1.    Построение модели для двух месторождений

Исследуется приближенная динамическая континуальная модель функционирования двух газовых месторождений [1] с взаимозависимыми скважинами [6, 7].

Мы делаем следующие аппроксимирующие предположения:

• •    все скважины бурятся вертикально на одинаковую глубину и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга;

• •    в процессе разработки месторождения предполагается равномерное уплотнение сетки скважин;

• •    после завершения бурения скважины мгновенно производится ее строительство и ввод в эксплуатацию;

• •    все скважины на месторождениях обладают одинаковым текущим дебитом.

Введем следующие обозначения, включая для удобства прочтения данной работы те из них, которые были ранее описаны:

• •    постоянная Т укатывает на копен, периода разработки месторождений [0, Т ]:

• •    фазовая переменная qi(t) означает объем газа, извлекаемый одной скважиной из недр земли в момент времени t (дебит скважины);

• •    фазовая переменная Ni(t) означает действующий фонд скважин, используемый в момент t для извлечения газа из недр земли;

• •    величина rii(t) задает прирост за един иду времени в момент t действующего фонда скважин N(t):

• •    фазовая переменная Vi(t) означает извлекаемый запас газа в момент t, который с этого времени может быть полностью добыт из недр земли;

• •    управление Ui(t) задает механическую скорость буровых установок в момент t при разработке месторождения;

• •    фазовая переменная Qi(t) означает текущую добычу газа из продуктивного пласта залежи;

• •    постоянная hi означает среднею глубину залегания залежи;

• •    постоянная и задает максимальные совокупные механические возможности скорости бурения скважин всеми имеющимися буровыми установками в любой момент времени.

Здесь индекс i принимает они о из значений: 1 пли 2.

Динамику фазовых переменных qi(t), q2(t), Ni(t), N2(t), Vi(t) и V2(t) получаем из решения системы дифференциальных уравнений:

qi(t) = -Ni(t)qi(t)q0/Vi0 = -Ni(t)qi(t)ai,(1)

N (t)=ni (t)=Ui (t)/hi,(2)

V (t) = -Ni (t)qi (t) = -Qi (t).(3)

Управления Ui(t) и U2(t) в модели подчиняются ограничениям:

0 < Ui(t) + U2(t) = и,(4)

0 < Ui(t) < u.(5)

Для системы (l)-(3) заданы начальные условия:

q^ > 0,(6)

N0 = 0,(7)

V0 > 0.(8)

Заметим, что в описании выражения (1) мы использовали обозначение, облегчающее в дальнейшем написание формул:

q^{0 ai} = ya .

Кроме того, дифференциальное уравнение (1) дублирует уравнение (3) с точностью до постоянной величины ai. Поэтому достаточно вместо системы дифференциальных уравнений (1)-(3) использовать систему (1)-(2).

2.    Совместный анализ дифференциальных уравнений (1) и (2)

В первой части данного раздела исследуется на управляемость система, описываемая дифференциальными уравнениями (1) и (2). Управляемость является одним из важнейших свойств в теории управления. Для линейных систем она определяется в пространстве состояний с помощью рангового критерия, известного как критерий Калмана. Согласно этому критерию строится прямоугольная матрица управляемости. Если ранг матрицы управляемости совпадает с размерностью пространства состояний, то система является вполне управляемой.

Принимая во внимание начальные значения (6) и (7), проинтегрируем дифференциальные уравнения (1) и (2). В результате получаем

Qi(t) = Qi exp{-ai f Ni(O')dO},(10)

Ni(t)= Г ru^dO = Г ^i^dO.(11)

J о

Откуда, как и следовало ожидать, при 0 <  Ui вытекает qi(t) >  0, Ni(t) > 0.

Рассмотрим новые переменные а0

^Х1 = ^1п 71,

70 < х2 = In т2, хз = N1, Х4 = N2.

Для векторов-столбцов x = [xi,... ,Х4]Т и n = \п1,П2]т, имеющих соответственно размерности п = 4и m = 2, с учетом (10) и (11) получаем линейную автономную систему с постоянными коэффициентами в векторно-матричной форме x = Ax + Bu.

Здесь матрицы A и B, имеющие соответственно размерности 4 х 4 и 4 х 2, принимают вид:

	0	0	а1	0		0	0
A =	0 0	0 0	0 0	«2 0	, в =	0 1/h1	0 0	.                        (13)
	0	0	0	0		0	1/^2 .

Таким образом, система уравнений (1), (2) является эквивалентной специфической линейной стационарной системе (12).

Рассмотрим множество допустимых управлений Vt, состоящее из всех измеримых ограниченных функций Ui(t) и U2(t) и заданное на отрезке [0, Т ]. Система (12) называется управляемой, если для произвольных начальных и конечных векторов x⁰, x¹ G R⁴ существуют такие Т >  0, u G Vt- что спетсюа (12) с u ( t ) = [(ui(t), U2(t)]^T имеет fюшеиие x ( t ). удовлетворяющее краевым условиям x ( 0 ) = x ⁰, x ( T ) = x ¹.

Согласно условию управляемости Калмана, управляемость системы (12) эквивалентна ранговому критерию:

rang[W] = rang[B, AB, A2B, A3B] = п, где п = 4 — размерность пространства состояний системы (12).

С учетом заданных значений матриц (13) и в соответствии с критерием Калмана построим матрицу управляемости W.

AB = a1/h1 0 0 0 0 a2/h2 0 0 , A2B = 00 0 0 0 0 00 , A3B = 0 0 0 0 0 0 0 0 , - 00 a1/h1 0 0 00 0 W = 00 0 a2/h2 0 00 0 1/hi    0 0 0 0 00 0 . 1 0    1/h2 0 0 0 00 0 Отсюда вытекает, что ранг матрицы Кальмана W равен 4. Следовательно, система (12) является управляемой (вполне управляемой).

Во второй части настоящего раздела мы будем проверятв на выполнимость условия нормальности (или условия общности положения) для системы (12). Если для задачи максимального быстродействия условие нормальности выполняется, то условию оптимума удовлетворяет единственное управление. Также оно гарантирует строгую выпуклость множества достижимости.

Пусть P — выпуклый многогранник с непустой внутренностью имеет форму параллелепипеда

P = {u € R2laj < Uj < bj, j = 1, 2}, ii матрица B состоит из двух столонов b1 = [0, 0, 1/h1, 0]т 11 b2 = [0, 0, 0, 1/h2]T. то условие нормальности требует линейной независимости векторов из двух множеств: Mi = {b1, Ab1, ..., A3b1} 11 M2 = {b2, Ab2, ..., A3b2}. что представляет собой в точности условие полной управляемости.

После соответствующих преобразований матрицы Mi и M2 представятся в виде:

0 a1/h1 0 0 0 00 0 M1 = 0 1/h1 0 0 0 0 0 0 M2 = 0 0 a2/h2 0 00 0 0 . 0 0 0 0 1/h2 00 0 Действительно, матрицы M1 и M2 содержат нулевые столбцы. Значит, в каждой из матриц между столбцами устанавливается линейная зависимость. Следовательно, система (12) не удовлетворяет условию общности положения [12, 13]. Это означает, что хотя бы в некоторые граничные точки множества достижимости ведут различные траектории, управления которых отличаются на множестве положительной меры, и множество достижимости не является строго выпуклым.

3.    Постановка задачи

Задан функционал качества в интегральной форме

• ² т^{т                 2} т^т

^D = Ш Qi(t)e-^Stdt = У / _qi(t)Ni(t)e-^Stdt,                 (14)

1=1 -/о                       i=i -/о который определяет накопленную дисконтированную добычу газа.

Под дисконтированной добычей газа при постоянной цене мы понимаем будущие объемы добычи газа, приведенные через ставку дисконтирования к их текущей стоимости. Данный финансовый инструмент позволяет сравнивать ценность будущей добычи газа с ее настоящей стоимостью. При этом учитывается, что деньги, полученные в будущем, стоят меньше, чем деньги, полученные сегодня.

Использование в описании функционала единичной цены на газ в течение всего планового периода не меняет вид формулы (14), однако придает ей иной смысл. В этом случае мы исследуем накопленный дисконтированный доход от продажи добытого природного газа без учета инвестиционных затрат. При их учете доход соответствует прибыли.

Использование единичной цены на газ не сужает класс исследуемых задач. Для получения реалвного дисконтированного накопленного денежного потока достаточно в этом случае умножить значение функционала (14) на действительную цену, которая необязательно равняется единице.

В дальнейшем мы будем трактовать функционал (14) как накопленный дисконтированный доход.

Задача 1. Необходимо найти допустимые управления U1(t) и U2(t), удовлетворяющие ограничениям (4) и (5), которые за заданное время Т переведут систему (1)-(3) из начального состояния (6)-(8) в любое возможное терминальное состояние, и функционал (Ц) при этом будет иметь максимальное значение.

Рассматриваемая задача 1 является классической задачей оптимального управления со свободным правым концом и фиксированным временем Т. Из монографии [12] следует существование максимального решения задачи 1. Начнем его поиск. Для достижения этой цели мы применим подход, известный как принцип максимума Понтрягина [13, 14]. Для этого нам необходимо выписать гамильтониан и связанные с ним четыре сопряжённых уравнения:

Н(•) = [qiNi - ^iaiqiNi + ^1 U1- + q2N2 - ^«292^ + ^2U2]e-St;(15)

h1

■ф1 = 8ф1 + (арф1 - 1)Ni;(16)

^2 = ^^2 + («2^2 — 1)N2;(17)

Й = 5^1 + (арф1 - 1)qu(18)

Ф2 = 8^2 + («2^2 - 1)q2.(19)

Условия трансверсальности для задачи оптимального управления с фиксированным горизонтом и со свободным правым концом представятся в виде

Ф1(Т) = Р1(Т) = ^(Т) = ^(Т) = 0.(20)

Максимизация гамильтониана (15) приводит к трем возможным соотношениям между сопряженными переменными ^1 и ^2 с соответствующими весовыми коэффициентами 62 II h₁:

• 1)    пусть выполнено соотношение h2^1 = h1^2; тогда справедливо равенство U1 + U2 = и

• II управление U1 принимает знаношie в промежутке от 0 до и:

• 2)    пусть выполнено неравенство h2^1 > h1^2, тогда управление U1 принимает наибольшее значение U

• 3)    пусть выполнено неравенство h2^1 <  h1P2, тогда управление U2 принимает наибольшее значение U.

• 4.    Построение специальной оптимальной траектории

В конце предыдущего параграфа мы рассмотрели три возможных соотношения между сопряженными переменными ^1 и ^2 с соответствующими весовыми коэффициентами h2 11 h1. Используя принцип максимума. Понтряпша. и выполнение на. всем отрезке [0, Т ] соотношения 1

h2^1 = h1P2 ,                                        (21)

построим специальную оптимальную траекторию. Из (18) и (19) следует выполнение равенства

(«1Ф1 - 1)q1 = («2^2 - 1)q2 h1               h2

на том же временном промежутке.

Принимая во внимание (1), осуществляем преобразование (16) и (17). В результате приходим к следующим дифференциальным уравнениям:

|t [(o^ - 1)q1] = Sai'ipiqi;

[(5a2ihq2. at

Проведем операцию дифференцирования равенства (22) по переменной t. Далее сравниваем результаты данной операции с выражениями (23) и (24). В результате получаем ai^iqih2 = a222q2hi.

Принимая во внимание (22) и (25), получаем дополнительно еще два равенства:

qih2 = q2hi;(26)

«1^1 = U2^2.(27)

Продифференцируем равенство (26) по переменной t. Далее воспользуемся дифференциальными уравнениями (1) и равенством (26). В итоге получаем o1N1 = «2N2.(28)

Принимая во внимание (2), проведем операцию дифференцирования (28) по независимой переменной t. В результате приходим к равенству:

01721 = 02722, ГДе a2u                cuu h1a2 + h2a1,        h1a2 + h2a1

.

С учетом (2), (7) и (30) динамика фондов скважин определяется линейными функциями:

x          O2U                 .          O]_U

N1(t) = 7----2v---1; N2(t) =  ----Ц--- 1.                   (31)

h1«2 + h2«1             h1«2 + h2«1

В этом случае производительность буровых установок на каждом из двух месторождений остается неизменной и рассчитывается по следующим формулам:

h1o2u                h2o1u

h1o₂ + h₂o1 ’         h1o₂ + h₂o1

С учетом (31) проинтегрируем дифференциальные уравнения (1). В этом случае дебит скважины меняется в соответствии со следующими закономерностями:

q1^(t = q0 exp^[- —---1-^---- ^ut2^];                          (33)

2(h1o2 + h2o1)

q2^(t) = q^{0 ex}p^[-      ^o 1 ^o 2 —r ^ut2^].                           (34)

2(h1o2 + h2o1)

Заметим, что в начальный момент выполняется равенство (28). Действительно, o1N1(0) = o2N2(0) = 0.

Рассмотренную в данном разделе траекторию с начальными значениями дебитов, удовлетворяющих равенству q1h2 = q0h1,                                           (35)

и с нулевыми начальными значениями фондов скважин мы будем называть специальной оптимальной траекторией. Она удовлетворяет на плановом временном интервале [0, Т ] равенствам (21), (26)-(35) и условиям трансверсальности (20). Таким образом мы построили специальную оптимальную траекторию.

Иную оптимальную траекторию, на которой в начальный момент выполняется неравенство q0h2 = q0h1,                                           (36)

мы будем называть обычной оптимальной траекторией.

5.    Обособленность специальной оптимальной траектории

В данном разделе выявляется обособленность специальной оптимальной траектории от других оптимальных траекторий. Мы убеждаемся в отсутствии соприкосновений обычных траекторий, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, со специальной оптимальной траекторией.

Покажем, что нет другой траектории, которая начинается или заканчивается на специальной оптимальной траектории. В этом случае управления, относящиеся к другой траектории, удовлетворяют следующим равенствам: u1(t) = и и u₂(t) = 0; и ли u₂(t) = и и u1(t) = 0.

Исследуем специальную оптимальную траекторию в момент t. Соотношения (21), (26)(28) выполняются. С учетом (18) и (19) после несложных преобразований получаем

W1 - hi^2 = S(h2pi - hiv2) + h^ai^iqi - qi) - hi(a2^2q2 - ®).(37)

Три раза продифференцируем последнее уравнение. В результате получаем:

h^i - hip2 = 5(h2Дт - hi^2) + 6h2ai^iqi - 6hia2^2q2.(38)

h2

h2V(4 - hip^ = S(h₂ - hi^ + 5aih2[(S^iqi - SqiNi) + SaiqiN - 91^1]-

6a2hi[(52^2q2 - 6q2N2) + 6a2q2N2 - 72^2].(40)

Разложим функцию h2vi(t) - hi^2(6) в ряд Тейлора в окрестности точки t (At = 0):

h2Vi(t + At) - hiV2(t + At) = h₂^i(t) - hip2(t) +      ~^~¹—,—-^—— At^k + o(At⁴). (41)

k\ k=i

Проверим в момент t значения выражений в правых частях равенств (37)-(39). Они обращаются в нуль. При выполнении условия (30) выражение в правой части равенства (40) также обращается в нуль. Значит, движение протекает вдоль специальной оптимальной траектории.

Предположим, что выполнены равенства ni(t) = u/hi и n2(t) = 0, тогда из (40) вытекает, что h2vi4)  < hip^. Отсюда и из (41) вытекает строгое неравенство

ЬщдДЪ + At) < hiv2(t + At) для всех At = 0. Данный вывод противоречит условиям максимума гамильтониана. К такому же противоречию приходим при других значениях величин: иДб) = u/h2 и ni(t) = 0. Значит, через любую точку специальной оптимальной траектории проходит только одна единственная оптимальная траектория. Следовательно, отсутствуют другие оптимальные траектории, которые начинаются или заканчиваются на специальной оптимальной траектории.

Опираясь на текущий и предыдущий разделы, а также на существование оптимального решения для задачи 1, мы для оптимальной траектории приходим к следующим выводам, которые мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Пусть в начальный момент выполняются равенства (7) и (35), тогда существует на отрезке [0, Т] единственная оптимальная траектория, задаваемая функциями (31), (33) и (34) с постоянными управлениями (32). Данная траектория полностью обособленна, т. к. отсутствуют соприкосновения с другими траекториями, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимальности. Такую траекторию называют специальной оптимальной траекторией.

6.    Обычная оптимальная траектория

В конце раздела 4 мы дали определение обычной оптимальной траектории. В дальнейшем без потери общности вместо неравенства (36) мы будем использовать другое неравенство:

q1h2 > q2h1.

Здесь и далее в этом разделе мы будем предполагать выполнение неравенства (42).

В соответствии с условиями 2 и 3, сформулированными в конце третьего параграфа, сопряженные переменные удовлетворяют неравенству

У1(*)=У2ф hl =  h2

за исключением, возможно, некоторого количества точек, где они пересекаются.

Следует отметить, что если в некоторой точке t выполняются одновременно равенства (26) и (28), то исследуемая оптимальная траектория является специальной. В противном случае она является обычной.

С учетом (16), (17) и (20) получаем hi2(t) - hwi(t) =

= [hiq2(T) - h2qi(T)](T - t)e^-S(T-t) + 6 ^[h^ff) - h2qi(0)](0 - t)e^-S(e-t)d0.     (44)

Рассмотрим точки Ti,T2,... ,т_п, которые являются местами пересечения траекторий hnp2(t) и h2ipi(t). Эти точки расположены в порядке их убывания, то есть от наибольшей к наименьшей: T = To > Ti > T2 > • • • > т_п.

В соответствии с условиями, сформулированными в конце третьего параграфа, имеем:

• •    если выполнено строгое неравенство h₂^₁(t) > h₁^₁(t), то u₁ (t) = и и u₂(t) = 0;

• •    если выполнено строгое неравенство h₂^₁(t) < h₁^₁(t), то u₂(t) = и и u₁(t) = 0;

• •    в момент T1,T2,... ,т_п происходит скачкообразное изменение в управлении динамическим процессом и h₂^₁(T_i) = h₁^₂(T_i).

6.1.    Задача выбора одного месторождения

Обычная оптимальная траектория содержит полную информацию о порядке бурения месторождений. Сначала происходит бурение на одном месторождении, затем на другом. После завершения периода буровых работ на втором месторождении мы возвращаемся к продолжению бурения на первом месторождении. Затем, после некоторого вынужденного перерыва, переходим к бурению на втором месторождении и т. д. На каждом из двух месторождений мы наблюдаем периодическое чередование буровых работ и перерывов между ними. Таким образом, в динамике бурение на одном месторождении сменяется бурением на другом месторождении. Далее такой процесс смены может неоднократно повторяться.

Мы предлагаем следующий пошаговый алгоритм численного поиска оптимальной траектории. На каждом этапе мы находим максимум непрерывной функции на отрезке времени [0, T]. Оптимальную траекторию можно найти следующим способом. Сначала мы решаем задачу без переключений. Затем с одним переключением. Далее с двумя, и т. д. Пошаговая процедура завершается, когда при переходе к следующему этапу максимальные значения функций равны. В этом случае наибольшее значение функции совпадает с максимумом значения функционала, который существует.

Сформулируем следующую задачу.

Задача 2. Решается задача 1 при условии (4%)- При каких условиях оптимальным решением является разработка только одного месторождения'?

Пусть максимум задачи 1 достигается на первом месторождении. В этом случае выполняются следующие равенства:

ui(t) = и; Ni(T) = nT = ^T; N2(T) = 0; qi(T) = q0 exp[-«i-U-T2]; hi                                         2hi

U2(t) = 0; q2(T) = q0; ^(t) = 0.                             (45)

Рассмотрим поведение разности функций pi(t)h2 и p2(t)hi вблизи точки T. Для этого разложим разность pi(t)h2 — p2(t)hi в сколь угодно малой окрестности точки T(△t > 0) в ряд Тейлора:

pi(T — △t)h2 — p2(T — △t)hi = pi(T)h2 — p2(T)hi + [pi(T)h2 — p2(T)hi](—△) + o(M). (46)

С учетом (18), (19), (45) и условий трансверсальности (20) перепишем (46):

P1(T — △t)h2 — p2(T — △t)hi = [q2(T)hi — qi(T)h2](—At) + o(^t) = [qi(T)h2 — q2hi]^t + o(At).

При условии строгого неравенства q1(T)h₂ > q₂(T)h1 = q2h1 справедливы соотношения:

p_i(T — △t)h₂ > p₂(T — △t)h_i; u1 (T — △t) = и; u₂(T — △t) = 0.           (48)

Значит, в окрестности точки T при значениях 0 < t = T — △t < T и М > 0 мы максимизируем гамильтониан (15).

Пусть конечные значения дебитов удовлетворяют равенству: qi(T)h2 = q2(T)hi. Разложим разность функций pi(t)h2 — P2(t)hi в сколь угодно малой окрестности точки T (△t > 0) в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом третьим порядком:

pi(T — △t)h2 — P2(T — ^hi = pi(T)h2 — P2(T)hi + [p 1(T)h2 — dp 2(T)hi]( — M) +

• + \pi(T)h2 — P2(T)hi](—△t)2/2 + [pi(T)h2 — P2 (T )hi](—△t)3/6 + o(^t3).(49)

Умножаем сопряженные уравнения (18) и (19) на h2 и hi соответственно. Далее находим разность полученных результатов:

P1 h2 — p 2hi = 5(pih2 — P2hi) + (ai ^iqi — qi)h2 — (02^2 — q2)hi.(50)

Продифференцируем уравнение (50) no t. Воспользовавшись (23) и (24), приходим к следующему соотношению:

pi h2 — p2hi = d(pih2 — p 2hi) + dai^iqih2 — 6a2p2q2hi.(51)

Продифференцируем уравнение (51) no t. С учетом (1), (23) и (24) получаем:

pih2 — p2hi = 3(pih2 — p2hi) + Sai (Apiqi — qiN)h2 — da2(5^2q2 — q2N2)hi.(52)

С учетом (18), (19), (45), (50)-(52) условий трансверсальности (20) и равенства q_i(T)h₂ = q₂(T)h_i перепишем (49):

pi(T — At)h2 — p2(T — ^hi = Saiqi(T)Ni(T)h2^t3/6 + o(M3').(53)

При условии равенств qi(T)h2 = q2(T)hi, N2(T)  = 0 и строгого неравенства

Ni(T) > 0 справедливы соотношения (48). Значит, в окрсстностн тонки T при значениях t = T — М < T △ £> > 0 мы максимизируем гамильтониан (15).

Таким образом, для максимизации гамильтониана (15) требуется выполнение нестрогого неравенства: qi(T)h2 > q2(T)hi = q2hi. Покажем, что pазность функций pi(t)h2 — p2(t)hi всегда положительна для любых значений t (0 < t < T). Для этого воспользуемся формулой (44).

Функция, описывающая дебит скважины qi(t) первого месторождения, является убывающей функцией. Функция, описывающая дебит скважины q2(t) второго месторождения, является постоянной функцией, и она равна начальному значению дебита q⁰• Поэтому при условии выполнения соотношений qi(T)h2 > q2(T)hi = q2hi разность функций с весовыми коэффициентами (44) положительна при любых значениях t (0 < t < T). В этом случае разрабатывается одно месторождение.

Утверждение 1. Пусть выполнено неравенство qi(T)h2 = q0h2 exp[-ai^T2] > q⁰hi, тогда наибольшее значение дисконтированного накопленного дохода для задачи 1 достигается при разработке одного первого месторождения. Второе месторождение остается в резерве.

Если выполняется условие qi(T)h2 < q2(T)hi = q^hi, то для реализации оптимального управления требуется разработка двух месторождений. В этом случае задача 1 не решена. Необходимо продолжить поиск решения задачи 1.

6.2.    Последовательное бурение двух месторождений с одним переключением

Предположим, что поиск оптимального решения для задачи 1 не завершен. Для его решения требуется разработка двух месторождений.

Сформулируем следующую задачу.

Задача 3. Решается задача 1 при условии (4%)- При каких условиях оптимальным решением является последовательное бурение двух месторождений с одним переключением?

Опишем стратегию проведения буровых работ на двух месторождениях.

Пусть последовательно на временном отрезке [0, T] бурятся два месторождения. Сначала от нуля до момента т бурится первое месторождение, в работе на котором задействованы все буровые установки. В момент т происходит мгновенное перемещение всех установок с первого месторождения на второе месторождение. Затем от момента т до конечного значения T на полную мощность бурится только второе месторождение. Процесс бурения месторождений характеризуется всего одним переключением.

Требуется найти найти наибольший дисконтированный накопленный доход на временном отрезке [0, T].

Выпишем формулу, описывающую дисконтированный накопленный доход:

• , ainit²                             ainiT²

F(т) = q0 I exp[-----^t\nitdt + qi у exp[——--ainitT — дt]n1тdt+ а2П2 (t — т)

+q⁰J exp[--^--dt]n2(t — т) dt.                      (П)

Здесь n_i= u/h_i ii n₂= u/h₂.

Для ответа на поставленный в задаче 3 вопрос необходимо найти наибольшее значение функции (54), зависящей от одной переменной т и заданной на отрезке [0, T]. Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная функция, заданная на отрезке, достигает своего наибольшего значения. Продолжаем исследование задачи 3. Продифференцируем функцию (54) по переменной т. В результате получаем

F‘(т) = q0ni [ [1 — a1n1т(t — т)] exp[a1n1т2/2 — a1n1tт — dt] dt— г Т

—q₂n₂ / [1 - c₂n₂(t — т)²] exp[—a₂n₂(t — т)2/2 — 5t] dt.

Воспользовавшись полученной формулой (55) для вычисления первых производных от функции F(т). вычислим значения первых производных на копнах отрезка. [0, Т]:

Г Т                Т

F‘(0) = q0ni J e^-St dt + q^ J [c^n^t² —

1^_e^-_a2n²t^2/2^-St dt > 0; F‘(Т) = 0.       (56)

Вычислим вторую производную F‘‘(т) от функции F(т) и определим ее значение в конечных точках отрезка по отношению к нулю.

Учитывая (42), легко показать, что в начальной точке первая производная F‘(0) положительна, а вторая производная F‘‘(0) отрицательна. Мы делаем следующие выводы:

• •    если выполнено неравенство hiq2 > h2q1_e ^а1^п1^Т2^/2_; то в конечной точке отрезка [0, Т] функция F(т) достигает локального минимума;

• •    если выполнено неравенство hiq2 < h2q1e^-a1^niT2/2, то в конечной точке отрезка [0, Т] функция F(т) достигает своего максимального значения на отрезке [0, Т]. Данное заключение вытекает из утверждения 1, которое является решением задачи 1 при всех допустимых управлениях.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть выполнены неравенства h2q1(Т) = h2q1 exp[— ^a1^r2^T< hiq2 u h₂q1 > h1q2. тогда дисконтирован)ibiu накопленный доход F(т) в задаче 3 достигает своего максимума в точке те G (0, Т). В этом случае производная от функции F(т) в точке те обращается в нуль: F‘(те) = 0. Вторая производная от этой же функции меньше нуля: F‘‘(те) < 0.

Необходимо установить связь между решением задачи 1 и максимальным значением функции (14) на отрезке. Нужно выяснить, при каких условиях эти решения совпадают. Максимум задачи 3 ищется на множестве всех релейных функций с одним переключением. Переключение возможно в любой момент рассматриваемого временного периода. В момент переключения мгновенно прекращается бурение скважин на первом месторождении и больше оно не возобновляется. Добыча газа на первом месторождении продолжается вплоть до конца планового периода. В момент переключения в разработку и, соответственно, в добычу газа вступает второе месторождение. Бурение скважин и добыча газа на втором месторождении начинается с момента переключения и завершается в конце планового периода. Максимум в задаче 1 ищется на множестве всех кусочно непрерывных функций.

Перейдем к рассмотрению задачи 1. С учетом условий 2 и 3, сформулированных в конце третьего параграфа, дифференциальных уравнений (16) и (17), условий трансверсальности (20) найдем разность решений уравнений (18) и (19) с весовыми коэффициентами hi и ^h2:

h2^i(t) — h^t) = e^ ^ h q • ' — а_1Г11т(t — т)]e^-st dt—

:^St ^ hiq0e-^a2ⁿ2^(t-T)2^/2[1 — a2H2(t — т)²]e^-St dt.                    (57)

Выразим полученную разность функций (57) через производную от функции F(t), заданной формулой (55):

h2^i(t) — hi^2 (t) = — F ‘(t)e^ST.                           (58)

и

Пусть т1 G (0, Т) - момент переключения буровых работ с первого месторождения на второе месторождение. В этой точке функция F(т) достигает максимального значения на отрезке [0, Т]. Значит, в этой точке выполняются равенства: F‘(тД = 0 и h2^i(ri) = К1ф2(т1). Из решения задачи поиска максимального значения функции на отрезке вытекает решение задачи 1 при условии максимума гамильтониана. Рассчитываем конечные значения дебитов месторождений по формулам:

qi^(T) = q^e

ainiT2/2-ainiTiT

q₂(T) = q0e-“²ⁿ²(^T-T1 )2^/2.

Если выполнено неравенство hiq2(T) > h2qi(T) при конечных значениях дебитов и с учетом заданного ограничения (42) на начальные их величины, то все условия принципа максимума Понтрягина выполнены. Решения задач совпадает. В противном случае при условии hiq2(T) < h2qi(T) необходимо продолжить поиск оптимального решения для задачи 1 с увеличением количества точек переключений на единицу.

6.3.    Бурение двух месторождений с двумя переключениями

Сформулируем следующую задачу.

Задача 4. Решается задача 1 при условии (4%)- При каких условиях оптимальным решением является последовательное бурение двух месторождений с двумя переключениям.

Опишем стратегию проведения буровых работ на двух месторождениях.

Пусть последовательно на временном отрезке [0, T] бурятся два месторождения. Сначала от нуля до момента Т1 бурится первое месторождение. В момент Т1 все буровые мощности мгновенно перемещаются с первого месторождения на второе месторождение, II с момента Т1 до момента Т2 бурится второе месторождение. В момент Т2 все буровые мощности возвращаются на первое месторождение, и с момента Т2 вновь начинаются на нем бурения скважин вплоть до конца планового периода [0, T]. Добыча газа на первом месторождении не прерывается и протекает в течение всего планового периода [0, T]. На втором месторождении газ извлекается с момента Т1 до момента T.

Предполагается, что начальные дебиты удовлетворяют неравенству (42). Требуется максимизировать дисконтированный накопленный доход (14) на временном отрезке [0, T].

Цель данного подраздела - сравнить решение задачи 1 с максимальным значением функции (14), зависящей от двух точек переключений и заданной на отрезке [0, T]. С увеличениями количества точек переключения в рассматриваемых задачах значительно усложняются выводы формул. Они становятся длинными и громоздкими. Поэтому далее мы будем описывать решения задач без соответствующего подтверждения выводов длинными математическими выкладками.

Мы решаем задачу на максимум функции F(Т1, Т2), которая описывает накопленный доход с двумя точками переключений Т1 и Т2 на времени ом отрезке [0, T ]. Согласно теореме Вейерштрассе максимальное значение функции F(т_,Т2) существует. Для поиска максимального значения приравняем производные от функции F(т1 ,Т2) к нулю:

F^ (Т1 ,Т2) =0; FT2 (Т1, Т2) = 0.

Пусть точки переключений т* и т* определяют наибольшее значение функции F(т.,Т2) на отрезке [0, T]. Данные точки лежат внутри отрезка. Этот факт вытекает из результатов, полученных в предыдущих подразделах.

Решаем задачу 1 - практическую задачу оптимального управления. Мы максимизируем гамильтониан, который приводит к изменению управления в двух точках т* и т*. В этих точках выполняются два равенства: hi^^*) = h2^1(т*) и h1^2(т*) = h2^1(т*). Точки т* и т2 являются связующими звеньями между задачей 1 и поиском наибольшего значения функции F(т1,Т2) на отрезке [0, T] . Воспользовавшись точками т* и т*, вычисляем конечные дебиты qi(T) и q2(T). Если выполнено неравенство hiq2(T) < h2qi(T), то решения задач совпадают. Задача 1 решена. В противном случае поиск решения задачи 1 необходимо продолжить, увеличивая на единицу количество точек переключений.

6.4.    Бурение двух месторождений с несколькими точками переключений

При формулировке каждой следующей задачи мы на единицу увеличиваем количество точек переключений. Мы проделываем те же математические операции, что и в предыдущих подразделах. Мы решаем задачу нахождения наибольшего значения функции на отрезке. Полученное решение используем для поиска решения задачи 1, которая является задачей оптимального управления. Задача 1 является решенной при выполнении однго из следующих неравенств:

• •    ^1q2(Т) < h2qi(T) для четного количества точек переключений;

• •    hiq2(Т) < h2qi(T) для нечетного количества точек переключений.

6.5.    О количестве точек переключений на обычной оптимальной траектории 7. Приемлемые стратегии разработок двух месторождений

За конечное число шагов в соответствии с теоремой существования мы найдем решение задачи 1.

Число точек переключений на отдельной обычной оптимальной траектории конечно. Покажем, что это число может быть сколь угодно большим. Предположим, что число таких точек ограничено конкретным конечным значением К, т. е., какую бы мы ни взяли обычную оптимальную траекторию, количество точек переключений не превышает величины К. Пусть выполнено строгое неравенство h2q⁰ > hiq⁰. Фикснруем q0 ii устремляем сверху h₂q0 iс h1q⁰.

Для каждого начального значения дебита q⁰ с фиксированным q⁰, удовлетворяющих при этом неравенству h2q⁰ > hiq⁰, конструируем заведомо неоптимальные траектории, полагая выполнение равенств (30) при всех t G [0, Т]. Одновременно для каждых начальных значений дебитов q⁰ и q⁰ решаем задачу 1, получая таким образом оптимальные траектории.

С одной стороны, построенные таким образом неоптимальные траектории будут сходиться поточечно к специальной оптимальной траектории. С другой стороны, ограниченное число точек переключений для оптимальных траекторий приведет в пределе к меньшему значению функционала, чем значение функционала на специальной оптимальной траектории. Приходим к противоречию.

Значит, количество точек переключений на отдельной обычной оптимальной траектории может быть сколь угодно большим.

Следующие критические замечания касаются практической реализации оптимального решения задачи 1. При значительной разнице между начальными дебитами с весовыми коэффициентами разрабатывается одно месторождение или два с одним переключением. Такая политика реализации оптимального решения вполне допустима. При двух и большем количестве переключений, когда приходится неоднократно возвращаться к бурению на ранее разбуренных месторождениях, такая политика реализации оптимального решения совершенно недопустима.

При практической реализации специальной оптимальной траектории, когда приходится разбивать буровые мощности на две постоянные части и бурить одновременно оба месторождения, такая политика может быть приемлемой и неприемлемой. Для мелких месторождений с использованием небольшой буровой бригады такая политика является неприемлемой. Ее реализация может привести ко многим негативным последствиям. Для крупных месторождений с использованием крупного объединения буровых бригад такая политика может быть вполне приемлемой. Положительно то, что в начале работ для каждого месторождения выделяется определенное количество буровых установок, которое в течение всего долгосрочного планового периода не изменяется. Такая политика может быть оптимальным образом реализована.

Фиксируем начальное значение дебита скважин второго месторождения q2. Следовательно, оптимальным приемлемым способом может быть выполнена стратегия разработки двух месторождений при следующих начальных значениях дебитов первого месторождения:

<11 > 9°;^ “■^1п<11 = 9° j^ •

В первом случае оптимальным способом разрабатывается одно первое месторождение или два месторождения с одним переключением. Во втором случае реализуется специальная оптимальная траектория.

При условии 10 G (q2 ^, llmin) необходимо найти наилучшую стратегию с точки зрения ее практической реализации. Предлагается использовать два способа решения этой проблемы. При первом способе осуществляется поиск наибольшего значения функции с одним переключением на отрезке [0, Т]. Второй способ связан с распространением особенностей оптимальных управлений специальной траектории на другие исходные значения дебитов. Как первый, так и второй способ не приводят нас к полному решению задачи 1.

Подраздел 6.2 настоящей статьи посвящен поиску максимального значения дисконтированного накопленного дохода на плановом отрезке времени. Согласно утверждению 2, наибольшее значение функция достигает внутри отрезка [0, Т], что соответствует одному переключению. Таким образом, сначала все буровые мощности задействованы в работе на первом месторождении. Затем все они перемещаются на второе месторождение с дальнейшим бурением на нем скважин вплоть до конца планового периода. К бурению на первом месторождении они больше не возвращаются.

Второй способ связан с определением для каждого месторождения оптимального постоянного количества буровых установок. Решается задача на поиск максимума дисконтированного накопленного дохода.

Пусть Р — часть буровых установок, которая выделена для первого месторождения, а 1 — ^ — для второго месторождения. Выпишем формулу, описывающую дисконтированный накопленный доход:

• ²    ГТ                         „1         о^/ЗиТ² ,-„       ГТ   013^2 .

F(^) = 52 J  Q_i(t)N_i(t)e^^St dt = — [1 — е   ^2hi      — dje   ^2hi     dt] +

+12 [1

«2

- а2(1—3)иТ ²_-5T   $ ^tT - Q2(1-3)u*²_-5t

Первая производная от функции (60) задается следующей формулой, которую приравни ваем к нулю:

f-j¹            а^/иТ²

^F ’^ = ^^иТ^Т2е-  '

2^1

ST

Т a fint2

+ 5 I е   ^2hi     t² dt] —

-

1 <2е

а2(1-/)иТ² 2h2

-ST

Г^Т - оЩ-ЩиР _{-St q}

+ 5 I е ^2h2 t² dt] = 0.

Вычислим вторую производную от функции (60) и сравним ее с нулем:

F "^W = —    “^2[Т4е-

ai/иТ²

ai/nt² 2hi

-Stt4dt]—

10«2 2r. - ■   -.   ^ —ST w“[T e

Г^T_—a2(1-P)ut²

+ 5 I e     ^2h2

^Stt⁴ dt]< 0.

Очевидно, что при любых значениях (3 вторая производная от функции (60) отрицателвна. Отсюда вытекает единственность решения уравнения (61), и функция (60) в точке единственного решения уравнения (61) достигает своего максимального значения. Рассмотрим наименьшую предельную точку интервала (q⁰^1, 7°^) и приравняем ее к (/0. В результате получаем q1h2 = q2hi- При этих значениях начальных дебитов решаем уравнение (61). Отсюда вытекает

• 3    _    «2^1

«2hl + aih2 ’

Необходимо ответить на вопрос, как меняется оптимальный коэффициент 3 с увеличением начального дебита q¹. Воспользовавшись теоремой о неявной функции, легко показать, что с увеличением q° непрерывно увеличивается оптимальный коэффициент ft.

Решаем уравнение (61) при 3 = 1- Находим ql ’^in > qinin > q¹ ^-Пусть исходный дебит первого месторождения принадлежит следующему интервалу: ql ^ (q°Т12, qi’min) ^ (q271, /шиш)- ^^ы осуществляем поиск максимального значения совокупного накопленного дисконтированного дохода двумя способами. Далее на базе полученных решений выбираем наилучшую стратегию буровых работ.

Заключение

В статье рассматривается непрерывная динамическая приближенная модель освоения двух газовых месторождений. Модель представляется в упрощенном виде. Управление динамическим процессом осуществляется распределением имеющихся буровых мощностей среди двух месторождений. Таким образом, в динамике задается стратегия бурения месторождений. Для анализа эффективности освоения месторождений определяется критерий качества. Им является дисконтированный накопленный доход от продажи газа.

Исследуется система дифференциальных уравнений на общность положения и на управляемость. Выясняется, что, хотя система дифференциальных уравнений является управляемой, она не удовлетворяет условию общности положения. Как следствие последнего, множество достижимости может быть невыпуклым, и к некоторым граничным точкам ведут различные траектории.

Ставится задача оптимального управления, существование решения которой вытекает из известной монографии. Для получения конкретного решения задачи используется принцип максимума Понтрягина.

При равенстве начальных дебитов скважин с весовыми коэффициентами существует единственная специальная траектория, которая является оптимальной. Доказывается, что другие траектории, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, не входят и не исходят из нее. Бурение и добыча газа осуществляется одновременно на двух месторождениях. Буровые мощности на каждом месторождении постоянны и не меняются со временем.

При строгом неравенстве начальных дебитов скважин с весовыми коэффициентами используется другая оптимальная стратегия разработки месторождений. Сначала совершаются буровые работы на одном месторождении. Далее все буровые мощности переносятся на другое месторождение, и буровые работы происходят на втором месторождении. Затем все буровые мощности полностью возвращаются на первое месторождение.

Возврат буровых мощностей на первое месторождение является несвойственным и неприемлемым для буровых компаний. Вполне адекватным для них является одновременное осуществление буровых работ на двух месторождениях, или сначала проводятся буровые работы на первом месторождении, затем до конца всего планового периода — на втором месторождении.

За счет частичной потери оптимальности предлагается два способа решения возникших трудностей, полное описание которых дано в последнем разделе настоящей статьи.