Покрытие многогранников класса в

В работе [4] Хадвигер сформулировал гипотезу, согласно которой для покрытия любого выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве достаточно 2n тел меньших размеров, гомотетичных данному телу. В работе автора [1] все выпуклые многогранники трехмерного евклидова пространства были разбиты на четыре класса: A, B, C, D. В работах автора [2], [3] была осуществлена классификация многогранников класса A, и было выполнено покрытие многогранников этого класса их меньшими копиями. В работе [1] к классу B были отнесены выпуклые многогранники, поверхность которых содержит одну или несколько призматических частей. Настоящая статья посвящена покрытию любого выпуклого многогранника класса B образами этого многогранника при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы, в трехмерном евклидовом пространстве.

Все многогранники класса B можно разбить на три подкласса: B1, B2 и B3 по количеству призматических частей, лежащих на поверхности. Класс B1 представлен тремя подклассами: а) призмы; б) призмы с одним однолистником или одной шапочкой; в) призмы с двумя однолистниками или шапочками. В такой последовательности мы и рассмотрим покрытие многогранников класса B1.

В свою очередь, класс призмы подразделяется на четыре подкласса:

1)    обычные призмы; 2) усеченные призмы, 3) обычные призмы с отсечениями; 4) усеченные призмы с отсечениями. 1.    Покрытие обычных призм

Прежде всего остановимся на покрытии треугольной призмы образами этой призмы при гомотетии. В качестве центров гомотетий выберем вершины призмы. Все коэффициенты гомотетии выберем равными числами, близкими к единице. Очевидно, что исходная призма содержится в объединении полученных шести многогранников, гомотетичных данному многограннику. Итак, для покрытия любой треугольной призмы ее образами при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы, достаточно шести гомотетичных призм.

Пусть теперь многогранник M — обычная призма. Обычной призмой в настоящей работе назовем призму с основанием, которое не содержит параллельных сторон. Сколько обычных призм меньших размеров, гомотетичных данной обычной призме, достаточно для ее покрытия? Чтобы ответить на этот вопрос, опишем вокруг основания этого многогранника треугольник так, что на каждой стороне треугольника лежит одна сторона многоугольника, являющегося основанием обычной призмы. Аналогичное построение выполним в верхнем основании. Достроим треугольники до призмы. Мы описали вокруг данной призмы треугольную призму. Обозначим n-угольную призму M  A1A2...AnA1A2...An , а описанную вокруг нее треугольную призму RPQR1P1Q1.

Вершины треугольной призмы будут играть роль центров гомотетий. В качестве центра первой гомотетии выберем точку R. Коэффициент первой гомотетии k 1 получим следующим образом. Пусть

k max

RA 1   RA j 1

RA 2 ^; RA j ^.

k1   k0 (k1   1).

Обозначим M   H^{k 1} ( M ) . Здесь H^{k 1} — гомотетия с центром в точке R и коэффициентом k 1 .

Пусть A    H ^{k 1} ( A ) , A

Центром второй гомотетии

Обозначим

H R ^{k 1} ( A j ) .

пусть будет точка P. Коэффициент второй гомотетии выберем так.

PA

max

;

PA i

PA 1   ^; PA i 1   ^.

Пусть k     .

Обозначим M H^{k 2} ( M ) , A     H^{k 2} ( A ) .

Центром третьей гомотетии является точка Q. Коэффициент третьей гомотетии выберем большим, чем число , где    max

QA i 1 QA j

QA i ^; QA j 1

Обозначим M. = Hk ³ ( M ) . Из коэффициентов k 1 , k₂ и k₃ выберем наибольшее число и рассмотрим снова многогранники, гомотетичные многограннику M с новым коэффициентом. Обозначим новые многогранники, как и прежде, M 1 , M 2 и M 3 . Тогда боковые ребра всех трех призм M 1 , M 2 и M 3 будут равны, а объединением трех призм M 1 , M 2 и M 3 является призма, которая содержит часть призмы M и боковое ребро которой параллельно ребру A A , но меньше этого ребра. Далее рассматриваются еще три гомотетии точно так же, как и в случае покрытия треугольной призмы.

Итак, для покрытия обычной призмы образами призмы при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы, достаточно шести гомотетичных призм.

2.    Покрытие усеченных призм

Определение 1. Пусть M – выпуклая призма. Рассмотрим плоскость, которая пересекает все боковые ребра призмы во внутренних точках и не параллельна основаниям призмы. Эта плоскость разбивает призму на два многогранника, каждый из которых назовем усеченной призмой.

Так же, как и призма, усеченная призма имеет два основания и боковые грани.

Пусть усеченная призма M имеет в основании треугольник, обозначим усеченную призму ABCA1B1C1. Пусть все боковые ребра усеченной треугольной призмы имеют разную длину, причем ребро AA1 имеет наибольшую длину. Для покрытия такой призмы достаточно четырех гомотетичных усеченных призм меньших размеров. Для того чтобы убедиться в этом, выполним следующие построения. Найдем точку S — точку пересечения прямых AC и A1C1 и точку Q — точку пересечения прямых AB и A1B1. В качестве центров гомотетии выберем точки S, Q, A и A1. Гомотетия с центром в точке S отображает многогранник ABCA1 B1C1 в усеченную призму A B C A1 B1 C1 , которая покрывает вершины C и C1. Коэффициент гомотетии k1 выбираем близким к единице. При гомотетии с центром в точке Q образом призмы будут покрыты вершины B и B1. При выборе коэффициента гомотетии k2 следует учесть, что точка пересечения отрезков BC и A B должна быть покрыта при гомотетии с центром в точке Q. Покрытие вершин A и A1 осуществляется точно так же, как это было сделано при покрытии треугольной призмы ее образами при гомотетии. Итак, для покрытия усеченной треугольной призмы, все боковые ребра которой имеют разную длину, достаточно четырех гомотетичных ей многогранников меньших размеров.

Замечание 1. Пусть теперь одна из боковых граней усеченной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , например ABB 1 A 1 , является параллелограммом, причем длина CC 1 меньше, чем длина AA 1 . Очевидно, что для покрытия такой усеченной треугольной призмы достаточно пяти гомотетичных многогранников меньших размеров.

Нетрудно убедиться в том, что если в основании усеченной призмы лежит произвольный выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма и треугольника, то для покрытия такого многогранника достаточно также четырех или пяти гомотетичных многогранников меньших размеров. Для этого достаточно воспользоваться идеями, рассмотренными при покрытии произвольной призмы и усеченной треугольной призмы.

Итак, для покрытия усеченной призмы с произвольным основанием, отличным от параллелограмма, образами усеченной призмы при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы, достаточно четырех или пяти гомотетичных многогранников меньших размеров. Если в основании усеченной призмы лежит параллелограмм, то для покрытия такой усеченной призмы достаточно пяти или шести многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

3.    Покрытие обычных и усеченных призм с отсечениями

Чтобы получить обычную призму с отсечением , достаточно выбрать какую-либо вершину обычной призмы и провести плоскость, пересекающую все ребра, исходящие из этой вершины, во внутренних точках. Эта плоскость отсекает от обычной призмы треугольную пирамиду. Полученный новый многогранник и есть обычная призма с отсечением. Отсечение, которое было выполнено, назовем отсечением первого вида.

Пусть теперь многогранник M — обычная призма с отсечениями . Рассмотрим сначала самый простой случай: M — треугольная призма с одним отсечением. Как покрыть такую призму ее меньшими копиями при гомотетии?

Пусть ABCB C EDF — треугольная призма с одним отсечением при вершине A 1 ; точки E, D и F лежат соответственно на ребрах A 1 C 1 , A 1 A и A 1 B 1 . Достроим эту призму с отсечением до треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ . Покрытие призмы с отсечением осуществим так же, как и треугольной призмы.

Центры гомотетий — это вершины A,B, C, A , B , C . Коэффициенты гомотетии будем выбирать так же, как выбирали для покрытия призмы. Отличие только в случае, когда центром гомотетии является вершина A1. В качестве коэффициента этой гомотетии выберем число, большее числа k0, где k0

max

J AE и A 1 F 1.1 AD \i A 1 C 1 ^; i A 1 B 1 ^; I AA

Образ многогранника M при гомотетии с центром в точке A 1 и коэффициентом, большим числа k 0 , покроет вершины E, F, D многогранника M.

Итак, для покрытия треугольной призмы с одним отсечением достаточно шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Замечание 2. Очевидно, что если отсечения первого вида выполнены в нескольких вершинах треугольной призмы (при каждой вершине выполнено по одному отсечению), то для покрытия такой призмы достаточно шести гомотетичных призм меньших размеров.

Пусть M – обычная призма. Выберем любую вершину этой призмы и выполним первое отсечение первого вида. Вместо одной вершины призмы появились три новые вершины нового многогранника – призмы с одним отсечением. Для каждой из трех новых вершин снова выполним отсечение первого вида. Продолжим этот процесс конечное число раз. Получена обычная призма, при одной вершине которой выполнено конечное число отсечений первого вида.

Пусть теперь M — треугольная призма, при вершине A 1 которой выполнено конечное число отсечений первого вида. Как и выше, достроим треугольную призму с отсечениями до треугольной призмы. Вершина A 1 треугольной призмы, восстановленная после достраивания до призмы, является для многогранной поверхности, полученной отсечениями, центром гомотетии, а сама многогранная поверхность, полученная в результате конечного числа отсечений первого вида, является шапочкой. Понятие шапочки введено в работе автора [2]. В работе [3] доказано, что для покрытия всех внутренних вершин шапочки достаточно одного многогранника, гомотетичного данному многограннику.

Итак, для покрытия треугольной призмы с отсечениями, выполненными при одной вершине, достаточно шести гомотетичных тел меньших размеров. Очевидно, что количество гомотетичных тел, достаточных для покрытия треугольной призмы с отсечениями, выполненными более чем при одной вершине, не увеличится.

Нетрудно убедиться в том, что если в основании обычной призмы с отсечениями лежит некоторый выпуклый многоугольник, отличный от треугольника и параллелограмма, то для покрытия такой обычной призмы с отсечениями достаточно шести гомотетичных тел меньших размеров.

Выше, в пункте 2, рассмотрено покрытие усеченных призм их образами при гомотетии. Аналогично можно убедиться в том, что для покрытия усеченных призм с отсечениями достаточно четырех или пяти гомотетичных тел меньших размеров.

Имеет место

Теорема 1. Для покрытия обычной призмы или обычной призмы с отсечениями достаточно шести многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Для покрытия усеченной призмы или усеченной призмы с отсечениями, в основании которой лежит выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, достаточно четырех или пяти многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Замечание 3. Нетрудно убедиться в том, что если в основании усеченной призмы или усеченной призмы с отсечениями лежит параллелограмм, то для покрытия такой призмы достаточно пяти или шести гомотетичных тел меньших размеров.

4.    Покрытие призм с одним однолистником или одной шапочкой

В работе [2] были введены понятия однолистника и шапочки.

Определение 2. Пусть имеется призма или усеченная призма. К одному из оснований призмы или усеченной призмы «приклеим» обычный однолистник. Новый выпуклый многогранник назовем призмой с одним однолистником или усеченной призмой с одним однолистником.

Сначала рассмотрим покрытие треугольной призмы с одним однолистником. Пусть M — это выпуклый многогранник, который получен склеиванием треугольной призмы ABCA B C и обычного однолистника с основанием A B C . Поверхность этого многогранника может быть представлена в виде объединения четырех поверхностей. Первая из них – обычный однолистник, точнее, боковая поверхность обычного однолистника. Вторая поверхность – шапочка, которую мы обозначим U; этой шапочке принадлежит ребро AA 1 , грани AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, ABC и те грани однолистника, которые имеют вершиной точку A 1 или содержат ребра A 1 B 1 и A 1 C 1 . Третья поверхность – шапочка, которую обозначим V (устроена так же, как и шапочка U, ей принадлежит ребро BB 1 ). Четвертая поверхность - шапочка, которую мы обозначим W (устроена аналогично и «связана» с ребром CC 1 ). Как доказано в работе [3], каждый из этих четырех объектов может быть покрыт образами многогранника при гомотетии. Итак, для покрытия многогранника M достаточно четырех гомотетичных тел меньших размеров.

Пусть теперь M — усеченная треугольная призма с одним однолистником. Выше, в пункте 3, было доказано, что для покрытия усеченной треугольной призмы достаточно четырех или пяти многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику. Возможны два случая.

• 1    случай. Поверхность многогранника допускает представление в виде объединения одного одно-листника и трех шапочек, попарные пересечения которых не пусты, то есть такое же, как и в случае треугольной призмы с однолистником. Для покрытия такого многогранника достаточно четырех многогранников меньших размеров.

• 2    случай. Количество многогранников, достаточных для покрытия данного многогранника, увеличится на один. В этом случае поверхность многогранника можно представить в виде объединения одного однолистника и четырех или пяти шапочек. Для покрытия такого многогранника достаточно от четырех до шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Объединяя оба случая отметим, что для покрытия усеченной треугольной призмы с одним одно-листником достаточно от четырех до шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Если призма, к которой «приклеен» однолистник, является параллелепипедом или усеченным параллелепипедом, то все рассмотрения можно повторить с тем лишь отличием, что шапочек в этом случае будет на одну больше. Поэтому и гомотетичных многогранников потребуется на один больше, то есть от пяти до семи.

Рассмотрим призму, в основании которой лежит многоугольник, отличный от треугольника и параллелограмма. К одному из оснований этой призмы «приклеим» обычный однолистник. Обозначим полученный выпуклый многогранник M. Чтобы покрыть этот многогранник его меньшими копиями при гомотетии, опишем вокруг призмы треугольную призму ABCA1B1C1. Тогда призматическая часть поверхности данной призмы будет разбита боковой поверхностью треугольной призмы на три части. К первой части поверхности исходной призмы отнесем грань β, которая лежит в плоскости AA1B1B, и грань δ, которая лежит в плоскости AA1C1C. К этой же части отнесем все грани многогранника M, которые заключены между гранями β и δ. Аналогично получаются еще две части боковой поверхности исходной призмы. Попарные пересечения частей боковой поверхности призмы непустые. Дальнейшие рассмотрения аналогичны тем, которые выполнены для треугольной призмы с одним однолистником. Тогда для покрытия призмы с одним однолистником достаточно от четырех до шести гомотетичных многогранников меньших размеров. Нетрудно убедиться в том, что и для покрытия усеченной призмы с одним однолистником, в основании которой лежит произвольный выпуклый многоугольник, достаточно также от четырех до шести многогранников меньших размеров.

Если вместо однолистника к призме или усеченной призме приклеить шапочку, то результат не изменится, так как все рассуждения можно повторить.

Отсечения первого вида, примененные к вершинам свободного от однолистника основания призмы, не изменят количество гомотетичных фигур, достаточных для покрытия исходного многогранника; мы рассмотрели эту зависимость при изучении проблемы покрытия призм.

Итак, имеет место

Теорема 2. Для покрытия призмы (или усеченной призмы) с одним однолистником или одной шапочкой достаточно от четырех до шести многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику. Для покрытия параллелепипеда (или усеченного параллелепипеда) с одним однолистни-ком или одной шапочкой достаточно от пяти до семи многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

5.    Покрытие призм с двумя однолистниками или шапочками

Все призмы с двумя однолистниками или шапочками разделим на три подкласса: 1) призмы с двумя однолистниками; 2) призмы с однолистником и шапочкой; 3) призмы с двумя шапочками.

Определение 3. Рассмотрим призму или усеченную призму. К каждому из оснований призмы или усеченной призмы «приклеим» обычный однолистник. Новый выпуклый многогранник назовем призмой с двумя однолистниками или усеченной призмой с двумя однолистниками.

Для того чтобы покрыть призму с двумя однолистниками ее образами при гомотетии, рассмотрим призматическую часть многогранника M и те грани, которые имеют с призматической частью общие ребра или вершины. Обозначим грани призматической части а₁₉а₂ ,...,с^ (n > 3). Добавим к призматической части многогранника те грани однолистников, которые имеют с призматической частью общее ребро или вершину. С каждой боковой гранью (i=1,2…,n) призматической части связаны, по крайней мере, две грани, по одной от каждого однолистника (граней может быть и больше, если соприкосновение осуществляется в вершине).

Возможны следующие два случая.

• 1    случай. Каждый набор граней, описанный выше, принадлежит одной шапочке.

• 2    случай . Найдутся такие наборы граней, описанные выше, для которых шапочка не существует.

Призмы с двумя однолистниками, удовлетворяющие первому случаю, отнесем к первому подклассу, а удовлетворяющие второму случаю — ко второму подклассу.

Замечание 4. Если многогранник получен склеиванием призмы и двух однолистников, то он относится к первому подклассу. Если многогранник получен склеиванием усеченной призмы и двух одно-листников, то он может принадлежать первому подклассу, а может принадлежать и второму подклассу.

Поверхность призмы с двумя однолистниками первого подкласса можно представить в виде объединения трех многогранных поверхностей с краем: двух однолистников и призматической части.

Для покрытия вершин боковых поверхностей однолистников достаточно двух гомотетичных многогранников меньших размеров, при этом вершины оснований однолистников остаются непокрытыми.

Если рассмотреть сечение призматической части плоскостью, непараллельной направлению призматической части так, чтобы плоскость пересекала каждое ребро призматической части во внутренней точке, то в сечении может получиться один из трех многоугольников: 1) треугольник; 2) параллелограмм; 3) выпуклый многоугольник, отличный от треугольника и параллелограмма.

Если в сечении призматической части получен треугольник , дальнейшее покрытие многогранника осуществим следующим образом. Ребра призматической части многогранника обозначим AB, CD и MN. Рассмотрим три шапочки. Первой шапочке принадлежит ребро AB, две грани призматической части, прилежащие к AB, а также те грани однолистников, ребра которых исходят из вершин A и B. Аналогично получаем две другие шапочки, связанные с ребрами CD и MN. Такие шапочки существуют, так как многогранник принадлежит первому подклассу. Итак, если в сечении призмы с двумя однолистниками первого подкласса получен треугольник, то для покрытия призмы с двумя однолистниками достаточно пяти гомотетичных многогранников меньших размеров.

Если в сечении призмы с двумя однолистниками получен параллелограмм, то все рассуждения предыдущего случая остаются в силе с той лишь разницей, что необходимо рассмотреть не три шапочки, а четыре. Для покрытия параллелепипеда с двумя однолистниками первого подкласса в этом случае достаточно шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Если в сечении призмы с двумя однолистниками получен выпуклый многоугольник , отличный от треугольника и параллелограмма, то поступим следующим образом. Вокруг призматической части поверхности многогранника опишем треугольную призматическую поверхность. Разбиение призматической поверхности на три попарно пересекающиеся части осуществляется точно так же, как и в случае с призмой с одним однолистником. Далее можно повторить рассуждения, проведенные в случае, когда сечением призматической части является треугольник. Итак, для покрытия призмы с двумя однолистни-ками первого подкласса достаточно пяти или шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Пусть теперь M — призма с двумя однолистниками второго подкласса. Как покрыть такой многогранник его образами при гомотетии с коэффициентами меньше единицы? Выше, в пункте 4, было доказано, что для покрытия усеченного параллелепипеда достаточно пяти или шести многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику. Если к каждому из оснований усеченного параллелепипеда «приклеить» однолистник, то для покрытия такого выпуклого многогранника достаточно от шести до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику, так как для покрытия вершин каждого из однолистников потребуется дополнительно два гомотетичных многогранника.

Рассмотрим теперь усеченную призму с произвольным основанием, отличным от параллелограмма. Пусть к основаниям усеченной призмы «приклеены» однолистники. Нетрудно убедиться в том, что для покрытия такой усеченной призмы достаточно от пяти до семи многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Мы рассмотрели покрытие призмы с двумя однолистниками и усеченной призмы с двумя одно-листниками образами этих геометрических тел при гомотетиях с коэффициентами, меньшими единицы. Для покрытия призмы с однолистником и шапочкой и призмы с двумя шапочками все рассмотрения аналогичны.

Имеет место

Теорема 3. Для покрытия призмы (усеченной призмы) с двумя однолистниками или шапочками достаточно от пяти до семи многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику. Для покрытия параллелепипеда с двумя однолистниками или шапочками достаточно от шести до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

6.    Покрытие многогранников класса B2

Выпуклый многогранник отнесен к классу B2, если его поверхность содержит две призматические части. Каждая грань, принадлежащая первой призматической части, параллельна прямой q. Каждая грань второй призматической части параллельна прямой m. Прямая q не параллельна прямой m. Нетрудно убедиться в том, что две призматические части многогранника класса B2, пересекаются, причем их пересечение состоит из двух граней, не имеющих общих точек. Если из поверхности многогранника класса B2 вычесть объединение призматических частей, то полученная разность может содержать максимум четыре компоненты связности. За основу классификации многогранников класса B2 выберем количество компонент связности, на которые призматические части разбивают поверхность многогранника. Каждую из компонент связности назовем луночкой. Таким образом, выделим пять подклассов класса B2: многогранник класса B2 с четырьмя луночками, с тремя луночками, с двумя луночками, с одной луночкой и без луночек. Покрытие каждого из подклассов мы и рассмотрим.

Пусть M — многогранник класса B2, поверхность которого содержит четыре луночки. Пусть призматическая часть, каждая грань которой параллельна прямой q, вертикальна. Пусть в сечении этой призматической части плоскостью, пересекающей все боковые ребра во внутренних точках, получен выпуклый многоугольник. Нормали граней этой призматической части лежат на экваторе единичной сферы. Нормали граней, лежащих выше первой призматической части, находятся внутри верхней полусферы. Поэтому все грани многогранника, лежащие выше граней первой призматической части, принадлежат одной шапочке. Этой же шапочке принадлежит часть граней второй призматической части.

Аналогично все грани многогранника, лежащие ниже граней первой призматической части, принадлежат одной шапочке, отличной от первой. Итак, поверхность многогранника класса B2 с четырьмя луночками может быть представлена в виде объединения двух шапочек и призматической части. В работе автора [3] было рассмотрено покрытие шапочек, а в пункте 5 было рассмотрено покрытие многогранника, граница которого состоит из призматической части и двух шапочек. Этот многогранник — призма с двумя шапочками. Для покрытия такого многогранника достаточно от пяти до семи многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику (теорема 3).

Рассмотрим теперь такой многогранник класса B2, у которого сечение первой призматической части – это параллелограмм, а сечение второй призматической части – это выпуклый многоугольник. Ана- логично тому, как это сделано выше, можно убедиться в том, что многогранник класса B2 с четырьмя луночками в этом случае представляет собой параллелепипед с двумя шапочками. Выше, в пункте 5, доказано, что для покрытия такого многогранника достаточно от шести до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Если в сечениях каждой из призматических частей получен параллелограмм, то достаточно восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику класса B2, имеющему четыре, три, две или одну луночку.

Если многогранник класса B2 содержит три луночки, две луночки, одну луночку или не содержит луночек, то все рассмотрения, проведенные выше, можно перенести на эти подклассы. Снова одна из призматических частей выбирается в качестве первой, или основной. Все грани многогранника, которые не принадлежат этой призматической части, принадлежат двум шапочкам. Рассматривается покрытие призматической части и покрытие шапочек. Для покрытия призматической части, имеющей в сечении выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, достаточно трех или четырех гомотетичных многогранников меньших размеров. Если же в сечении призматической части получен параллелограмм, то для покрытия призматической части достаточно пяти или шести многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику. Для покрытия шапочек потребуется еще два гомотетичных многогранника.

Имеет место

Теорема 4. Для покрытия любого многогранника класса B2 достаточно от пяти до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

7.    Покрытие многогранников класса B3

К классу B3 отнесены те выпуклые многогранники, поверхности которых содержат три и более призматических частей. В настоящей работе в пункте 6 рассмотрено покрытие многогранников класса B2. Следует отметить, что покрытие многогранников класса B3 осуществляется точно так же, как и многогранников класса B2.

Выделяют, как и выше, одну призматическую часть границы многогранника. Эта призматическая часть разделяет все остальные грани многогранника на две части, каждая из которых топологически эквивалентна кругу и представляет собой шапочку. Если поверхность многогранника содержит три призматические части, то каждая из шапочек содержит некоторые грани этих призматических частей. Далее покрытие многогранника класса B3 осуществляется точно так же, как и покрытие многогранников класса B2.

Выделим один частный случай многогранников класса B3 - это параллелепипеды. На параллелепипед можно смотреть как на многогранник класса B3 без луночек, каждая из трех призматических частей которого содержит по четыре грани. Для покрытия параллелепипеда достаточно восьми гомотетичных многогранников меньших размеров.

Имеет место

Теорема 5. Для покрытия любого многогранника класса B3 достаточно от пяти до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Подводя итоги, отметим, что имеет место

Теорема 6. Для покрытия любого многогранника класса B его образами при гомотетии достаточно восьми многогранников меньших размеров.