Полностью волоконный вентиль SWAP-CNOT для оптических вихрей

Многосторонние теоретические и экспериментальные исследования показали, что использование оптических вихрей (ОВ) [1] открывает новые практические возможности в различных областях: от генной инженерии [2, 3] и микроскопии [4] до оптики атмосферы и астрофизики [5–7]. Следует выделить высокий потенциал применения ОВ в инфокоммуникаци-онной сфере [8– 10], базирующийся на возможности кодировать информацию в значениях орбитального углового момента (ОУМ) ОВ [1, 11 – 13]. Технологии, основанные на использовании орбитальных степеней свободы оптического излучения, имеют существенные преимущества в передаче данных над традиционными способами кодирования информации. Техника ОУМ-мультиплексирования, в которой реализуется передача информации на ортогональных состояниях ОВ с разными значениями ОУМ, позволяет значительно увеличить пропускную способность канала связи [8, 14– 17]. Кроме того, передача информации в значениях ОУМ ОВ обеспечивает принципиально новый уровень защиты данных [18].

Практические возможности переносящих ОУМ ОВ проявляются также в области построения квантовых систем, оперирующих с квантовыми элементарными ячейками – кубитами. Классические состояния фотонов с ОУМ находят применение в моделировании квантовых алгоритмов для квантовых компьютеров. Такой подход позволяет проверить и отладить работу алгоритмов квантовых вычислений, избежав дорогостоящих экспериментов над квантовыми си-

стемами. Одной из основных задач данного направления исследований является проблема реализации логических вентилей (гейтов), выполняющих базовые логические операции над состояниями ОВ с разными значениями ОУМ. Ранее было установлено, что успешное решение подобных задач может осуществляться с помощью определенных типов оптических волокон, позволяющих передавать ОВ на расстояние, осуществлять контроль и управление их параметрами [19–27]. Так, на основе акустически-управляемых [19, 20] и мультигеликоидальных оптических волокон (МВ) [21] предложены способы реализации двуку-битного гейта CNOT (управляемое НЕ), в котором линейная поляризация оптического пучка является управляющим кубитом, а топологический заряд – управляемым. Недавние исследования [22] позволили установить возможность функционирования МВ как трехкубитного логического вентиля Тоффоли, в котором управляющими кубитами служат радиальное число и состояние поляризации, а управляемым – топологический заряд входящего ОВ. Также было показано, что гейт Тоффоли реализуется в скрученном анизотропном волокне (САВ), при этом циркулярная поляризация ОВ становится управляемым, а топологический заряд – управляющим кубитом. Отметим, что оптоволоконный подход к реализации логических элементов обладает рядом практических преимуществ, заключающихся в удобстве сопряжения чисто волоконных элементов друг с другом, включающем уменьшение потери мощности излучения и вносимых шумовых помех, а также в увеличении эффективности преобразования оптического пучка в волокне.

Упомянутые исследования обнаруживают перспективы практического применения ОВ, передаваемых в определенных типах оптических волокон, в области квантовых вычислений. Очевидно, что соблюдение принципов минимизации при построении логических устройств требует расширения набора операций над состояниями фотонов и оптимизации логических схем в оптических волокнах. В данной работе предлагается способ реализации волоконной схемы, состоящей из МВ и САВ (М-А), которая осуществляет сразу две двухкубитные операции SWAP и CNOT над оптическими вихрями.

1.    Резонансные модовые режимы в системе волокон М-А

Модель САВ (рис. 1 а ) описывается следующим тензором диэлектрической проницаемости [23]:

Б а ( Г , ф , z ) = Б ( Г ) 1 + Б Ан ( Г , ф , z ) + Б КМН ( Г , ф ) .      (1)

Первое слагаемое в выражении (1) б ( r ) = Б с (1 - 2 A f ( r )) описывает диэлектрическую проницаемость идеального волокна (ИВ), A = ( e _c - Б об ) / 2 б _с - высота профиля диэлектрической проницаемости, Б _c и Б об - значения диэлектрической проницаемости в сердцевине и оболочке волокна соответственно. В данной работе рассматриваются слабонаправляющие оптические волокна, для которых A << 1, что обуславливает параксиальный характер распространения оптических мод. Функция f ( r ) определяет распределение показателя преломления среды и для рассматриваемых оптических волокон со ступенчатым профилем показателя преломления имеет вид f ( r ) = © ( R -1), где © - функция Хевисайда, R = r / r 0 , r 0 – радиус сердцевины волокна. Используется цилиндрическая система координат ( r , ф , z ), ось z которой совпадает с осью волокна.

Рис. 1. Модель системы оптических волокон М-А: МВ с параметром симметрии τ = 4 и САВ

Второе слагаемое в выражении (1) описывает влияние линейной анизотропии материала волокна:

	г cos 2 9	sin 2 9	0"
Б Ан ( z ) 5б Ан	sin 2 9	- cos 2 9	0
	ч 0	0	-1y

где 5б дн = (1/2) ( б x - Б у ), 9 = qz = (2 п / H) z - угол поворота оси анизотропии, H – шаг скрутки волокна.

Третье слагаемое в (1) характеризует влияние крутильных механических напряжений (КМН):

БКМН (r, ф) = г 0      0 sin ф =5бкмнR 0      0 - cosф ,                   (3) sin ф - cos ф 0 , где 5бкмн = qp44Б2r0, p44 - элемент тензора фотоупругости в стандартных обозначениях.

Модели МВ (рис. 1 б ) соответствует тензор диэлектрической проницаемости следующего вида [21, 23]:

Б м ( r , Ф , z ) = Б ( r ) 1 + Б ф ( r , ф , z ) 1 + Б кмн ( r , ф ) .       (4)

Здесь второе слагаемое описывает влияние анизотропии формы волокна на диэлектрическую проницаемость:

Б ф ( r , ф , z ) = - 2 8Б ф rfr ( r ) cos т ( ф- qz ) ,            (5)

где т =2,4... - параметр симметрии поперечного сечения, 5б _ф = Б _с 5А , 5 << 1 - параметр деформации поперечного сечения, штрих означает производную по r .

В предыдущих исследованиях [21, 24] было установлено, что модами высшего порядка САВ и МВ при условии 5б _Ан , 5б _ф ^ 2 k ^{- 1} |3 q - | 1 | A / kr ₀ ² | оказываются циркулярно-поляризованные ОВ с 1 1 1 >  2:

11,^|), |1,^|}, |1,-^|), |-1,-^|\                             (6)

где

[ rF. п'F,| (r)] e ™M , a,У = —?=e'<фF< (r) 1,iст,У—

V2           e r

I = ± 2, ± 3... - топологический заряд ОВ, a = ± 1 описывает знак циркулярной поляризации, Т означает транспонирование. Радиальная функция F ^ ( r ) выражается через функции Бесселя J\ _t\ ( r ) и K \_t\ ( r ) в сердцевине и оболочке волокна соответственно [28]. Радиальное число здесь опущено для упрощения записи.

Отметим, что высшими модами с 1 1 1 = 1 рассматриваемых волокон оказываются не четыре циркулярно-поляризованных вихря, как в выражении (6), а два ОВ |1,1 ) , |-1,-1 ) , а также ТЕ- и ТМ-мода [23]. Поскольку в данной работе исследуется возможность осуществления логических операций над ОВ, мы ограничиваемся случаем 1 1 1 >  2, в котором представлены четыре независимых ОВ.

Постоянные распространения мод (6) имеют вид:

р_а/ =р_м +5в СО + ( a + fc ) aq ,                      (7)

где в _Z| - известная скалярная постоянная распространения [28], второе слагаемое

5Р СО = A ( F ' ( 1 ) -_С £ )/2р_м r o² ( R ) Q _z| ,              (8)

где f«

. 0 RF\fc| (R) dR, обусловлено оптическим спин-орбитальным взаимодействием (СОВ), а третье – влиянием скрутки, включая КМН, где a = 1 – εc |p44| /2.

Принципиально отметить, что зависимость постоянных распространения (7) от параметра скрутки q определяет степень влияния анизотропии (материала в случае САВ или формы в случае МВ) на структуру мод волокна. Так, поля (6) остаются модами САВ и МВ, пока спектр (7) является невырожденным. Однако при определенных резонансных значениях шага скрутки имеет место двукратное вырождение постоянных распространения (7) (рис. 2).

\V .'10 . м-'

1,46289

1,46288

1,46287

1,46286

1,46285

Рис. 2. Постоянные распространения (7) |ℓ| = 2 мод (6) как функция параметра скрутки q. Точки пересечения кривых – резонансные точки, вблизи которых влияние анизотропии материала (в точке q A ) или формы (в точке q m ) волокна приводит к новой структуре мод. Параметры волокна: волноводный параметр V = 6,58, ∆ = 0,01, r 0 = 5λ He-Ne , p 44 = 0,075

В таких точках резонанса степень влияния анизотропии материала или формы волокна резко возрастает и приводит к формированию новой структуры мод. Так, в САВ моды в резонансной точке q а = A | , | г ² (2 а в^ О м) - 1 имеют вид [22]:

| ^^(А)^ = cos а |1, |,|у + sin а|- 1, |,|/

| V 2А / = sin а 1 1, |,|- cos а | - 1, |,| ,                      (9)

I ^3А)) = |1, -|,|у |^4А/ = |-1, -|,|у где cos (2α) = aεA/ ГА, εA= q – qA, ΓA=(aεA)2 +Ω2A

Q _a = к ² 3s _Ah /2 в | < | , к — волновое число.

Постоянные распространения мод (9):

в (М) =в 1,| , ( q м ) - а S м ±Г м , в 3М4) = Р_М +8в“| , + ( - 1 ± И) aq ,

где cos (2 ц ) = а | , | S m / Г м , S m = q- q M ,

^Г м = ( ^а |^—I ^S m ) ⁺ ^ М ,

Q m = - к ² s _c аз/ 2в_м Г о² ( R ) JJ R^ , 2 ( R ) dR .

Выражения для мод (9) и (12) справедливы при условии 3s _Ah, 3s << 4 | , | A ( кг ₀) ^-2, когда влияние анизотропии (материала или формы) приводит к гибридизации только тех ОВ, чьи уровни пересекаются в резонансной точке.

Используя приведенные выражения (9)–(12), рассмотрим распространение циркулярно поляризованных ОВ | о , , ) в системе оптических волокон, состоящей из последовательно соединенного МВ и САВ, находящихся в резонансных режимах.

• 2.    Трансформация оптических вихрей в системе оптических волокон М-А

Пусть на входе первого в системе МВ вблизи резонансной точки q M возбуждается ОВ:

| V ( z = 0 )) = |а, , .                                  (13)

Это приводит к возникновению в МВ поля, представленного суперпозицией собственных мод МВ (11):

Ψ^{( М )} ( z ) = ∑ b i Ψ i ^{( М )} exp( i β i ^{( М )} z ).              (14)

Коэффициенты разложения в (14) легко найти из граничных условий к уравнениям Максвелла, которые в параксиальном приближении сводятся к непрерывности полей на входном торце волокна:

| G,, = £ bi |v (М) у i

В табл. 1 приведены коэффициенты b i для случаев возбуждения на входе МВ право- и левоциркулярно поляризованных ОВ с топологическими зарядами ± | , |.

в (А) =в 1,| , ( q a ) - a S a ±Г а , в 3А4) = в_М + Зв СО ±|, + ( ± 1 - И ) aq .

Моды МВ и их постоянные распространения вблизи резонансного значения параметра скрутки q _М = A г ₀ ² (2 а в , О , )' представлены следующими выражениями [21]:

Табл. 1. Коэффициенты разложения (14) ОВ для МВ

ОВ на входе МВ	b 1	b 2	b 3	b 4
11,| . | )	VV2	-1/42	0	0
|-1,Н )	0	0	1	0
11,-Н )	1/42	-1/42	0	0
|-1,-Н )	0	0	0	1

| ^ 1^(М)^ = cos ц |1, |,|^ + sin ц |1, - |,| У

| V 2^М)^ = sin ц |1, |.ф - cos ц |1, -|,| У                   (11)

I^ 3^М)) = |- 1, |-| у Ц 4^М)) = |- 1, - 1-| у

В следующем волокне рассматриваемой системы – САВ – поле записывается в виде суперпозиции мод (9):

Ψ^{( А )} ( z ) = ∑ с i Ψ _i ^{( А )} exp( i β⁽ _i ^{А )} z ).

Чтобы найти связь коэффициентов разложения (16) c i и (14) b i , используем условие непрерывности поля на границе МВ и САВ при z = z M ( z M – длина МВ):

£ b ^ / ^М))exp( i в^{( М )} z М ) = £ C i |^^(А)) exp( e А z м ). (17)

Коэффициенты c i получаем в виде:

c₁ = cos a exp( - i в ^(А) z _М ) [ b cos ц exp( i в ^(М) z _М ) + b 2 sin ц exp( i в 2^М) z _М ) + b ₃ tg a exp( i в 3^М) z _М ) ] , c 2 = sin a exp( - i в 2^А) z _М ) [ b cos ц exp( i в ^(М) z _М ) + b 2 sin ц exp( i в 2^М) z _М ) - b ₃ ctg a exp( i в 3^М) z _М ) J ,                     (18)

c з = exp( - i в 3^А) z м ) [ b i sin ц exp( i в ^(М) z м ) - b 2 cos ц exp( i в 2^М) z м ) ] , c 4 = b 4 exp( i ( в 4^М) -в 4^А) ) z м ).

Используя выражения для мод (9), запишем поле (16) в следующем виде:

|^^<А) ( z a )) = d i,| < I^1, ki)

⁺ d - i,|<|

I-1’l

+d 1,-1 <1|^1- И)⁺d-1,-1 <11^{-1, -} И),

где d 1,|< = c1 cos a exp(iв(А)zA) + c2 sin a exp(iв2А)zA), d_1,|< = c1 sin a exp(iв(А)zA) - c2 cos a exp(iв(2А)zA), d 1,-|<| = c3 exp(iв3А)zA), d-1,-1 < = c4 exp^4"’zA), zA - длина САВ. Коэффициенты da,t позволяют определить энергию Wз,£, сосредоточенную в соответствующем парциальном ОВ поля (19):

W_a,t = d_a,<| 2. (20)

В качестве примера рассмотрим случай, когда | < | = 2. На рис. 3а,б продемонстрирована зависимость величины энергии парциальных ОВ Wт, ± 2 на выходе системы М-А в зависимости от длины САВ. Параметры МВ и САВ в данном примере заданы в рамках диапазонов типичных значений оптических волокон. Величина скрутки такова, что оба волокна системы М-А находятся в резонансных режимах, в которых реализуется особая модовая структура: (9) в САВ и (11) в МВ при параметрах скрутки qA=60,5 м–1 и qM = 30,2 м–1 [22] соответственно. Рис. 3а соответствует случаю, когда на входе системы М-А возбуждается правоциркулярно поляризованный ОВ с отрицательным знаком топологического заряда |1,-2). Длина МВ фиксирована и выбрана равной zM = 0,25 м, что обусловлено особенностью распределения энер- гии в МВ на этой длине [22]. Действительно, оказывается, что благодаря связи правоциркулярно поляризованных ОВ с противоположным знаком топологического заряда в резонансных модах МВ (11) можно выбрать такие параметры волокна, что на некоторой длине МВ (zM = 0,25 м в рассматриваемом примере) энергия ОВ |1,-2) полностью аккумулируется в ОВ |1,2), и наоборот. Таким образом, если на вход системы М-А подается ОВ |1,-2), при указанной длине МВ на входе САВ оказывается ОВ |1,2) (см. рис 3а при zA =0). Аналогично из структуры мод САВ (9) видно, что ОВ |1,2) в САВ может быть преобразован в ортогональный ОВ с тем же знаком топологического заряда |-1,2). На рис. 3а показано, что на длине САВ zA=0,6 м вся энергия сконцентрирована в ОВ |-1,2). Таким образом, действие системы М-А сводится к преобразованию поля |1,-2) в ОВ с противоположным знаком циркулярной поляризации и топологического заряда:

11, -2) ^1-1,2). (21)

Соответствующие величины ОУМ, спинового (СУМ) и полного углового момента (ПУМ) поля на выходе системы М-А представлены на рис. 4а. Отметим, что инверсия ОУМ входного ОВ в системе М-А происходит вне зависимости от длины САВ.

На рис. 3б и 4б показано распределение энергии и величины угловых моментов поля (19) при возбуждении системы ОВ |-1,2). Такой ОВ является модой МВ, поэтому не преобразуется в первом волокне системы. При этом в САВ на длине zA =0,6 м входной ОВ полностью трансформируется в ОВ с ортогональной поляризацией:

|-1,2) ^ |1,2>. (22)

Рис. 3. Распределение энергии поля (19) по парциальным ОВ в системе М-А в зависимости от длины САВ, если на входе системы возбуждается ОВ: \1,-2) (а), 1—1,2) (б). Параметры волокон в системе М-А: волноводный параметр V=6,58, Л=0,01, ro=5XHe-Ne, p44=0,0 75, 5=10^-4, qM=3 0,2м^-1, zm=0,25м, 8ea_h=8-№⁷, qA=60,5м^-1

а)

Рис. 4. ОУМ, СУМ и ПУМ поля (19) в зависимости от длины САВ, если на входе системы М-А возбуждается ОВ: \1,-2>(а), \-1,2>(б). Параметры волокон в системе М-А: волноводный параметр V=6,58, Л=0,01, ro=5XHe-Ne, p44=0,0 75, 3=1^4, qM=3 0,2м^-1, zm=0,25м, 5sa_h=8-10^-7, qA=60,5м^-1

Кроме того, установлено, что энергия входящего ОВ |1,2>в рассматриваемой системе волокон полностью переходит в энергию ОВ с противоположным знаком топологического заряда:

11,2>^ 1 —2. (23)

Такая трансформация ОВ происходит в МВ на длине zM = 0,25 м, так что на входе САВ в этом случае оказывается его собственная мода - ОВ |1,-2>, поэтому конверсия (23) не зависит от длины САВ.

Отметим, что при отклонении величины шага скрутки от резонансного значения энергетическая эффективность преобразований (21 –23) снижается. В рассматриваемом примере в МВ энергетическая эффективность снижается на 5 %, если шаг скрутки отклоняется на 5 мм, а в САВ – при отклонении шага скрутки на 1 мм. При этом отклонение от оптимальной длины МВ на 1 см снижает эффективность трансформации ОВ на 0,4%. Отклонение величины длины САВ от оптимальной в рамках 1 см не оказывает заметного влияния (см. рис. 3а,б) – эффективность преобразования снижается менее чем на 0,1 %.

Наконец, ОВ |-1,-2>, являясь собственной модой как МВ, так и САВ, не претерпевает изменений в системе, состоящей из данных оптических волокон:

|-1, -2) ^|-1, -2). (24)

3.    Схема квантовых гейтов SWAP→CNOT

Используя установленные преобразования ОВ (21 – 24), покажем, что система волокон М-А может быть использована для реализации логической схемы для ОВ, эквивалентной последовательному выполнению двух фундаментальных квантовых логических вентилей SWAP и CNOT.

Логические элементы SWAP и CNOT имеют два входа и два выхода и могут быть описаны соответствующими таблицами истинности (табл. 2), где A, B обозначают сигнал на входе, A', B' – на выходе логического элемента.

Таблица истинности логической схемы, состоящей из вентилей SWAP и CNOT, записывается в форме, приведенной в табл. 3.

Табл. 2. Таблицы истинности SWAP и CNOT гейтов

SWAP				CNOT
A	B	A’	B’	A	B	A’	B’
0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
1	1	1	1	1	1	1	0

Табл. 3. Таблица истинности схемы последовательного выполнения SWAP и CNOT

A	B	A’	B’
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	1	1	0

В качестве входного кубита A будем рассматривать состояние поляризации ОВ на входе системы оптических волокон М-А, а в качестве кубита B – его топологический заряд. Пусть а =-1 соответствует A = 0, а = 1 - A = 1, / = -2 - B = 0, / = 2 - B = 1. Подавая на вход системы М-А с установленными длинами МВ (zм = 0,25м) и САВ (za = 0,6м) ОВ |-1,-2>, |-1, 2), |1,-2), |1, 2>, на выходе системы получим ОВ согласно выражениям (21 – 24). На рис. 5 показаны состояние поляризации и топологического заряда ОВ на входе и выходе М-А. Сравнивая полученный результат с табл. 3, можно заключить, что система М-А с установленными параметрами применима для реализации операции последовательного выполнения двух квантовых гейтов SWAP и CNOT. Анализ показывает (см. рис. 3), что точный подбор параметров оптических волокон в системе М-А позволяет добиться высокой энергетической эффективности преобразования ОВ (до 100%), требуемой для корректного выполнения предлагаемой логической схемы SWAP и CNOT гейтов.

Может показаться, что рассмотренная схема последовательного выполнения двух гейтов SWAP и CNOT сводится к реализации гейта SWAP в первом МВ системы, а гейта CNOT – во втором САВ. Однако это не является истиной. Более того, особенностью данной системы оказывается тот факт, что если придерживаться выбранного выше правила соответствия поляризации ОВ кубиту A, а его топологического заряда – кубиту B, то оказывается, что в МВ реализует- ся гейт CNOT [21], а не SWAP, как можно было бы предположить. При этих условиях в САВ не очевидна возможность реализации какой-либо базовой логической операции.

Вход

Выход

Рис. 5. ОВ на входе и выходе в системе М-А: реализация логической схемы двух квантовых гейтов SWAP и CNOT.

Параметры волокон в системе М-А: V=6,58, ∆=0,01, r0=5λHe-Ne , p44=0,075, δ=10^–4, qM=30,2 м^–1, zM=0,25 м, δεAн=8⋅10^–7, qA=60,5 м^–1

Заключение

В данной работе исследовано распространение ОВ, обладающих целым на фотон ОУМ, в системе последовательно соединенных оптических волокон: МВ и САВ. Показано, что при определенных резонансных режимах оптических волокон такая система позволяет осуществлять управление знаком топологического заряда и циркулярной поляризации выходного поля посредством изменения знака ОУМ и СУМ входного оптического вихря. На основе этого эффекта предложена полностью волоконная реализация логической схемы, состоящей из двух квантовых гейтов SWAP и CNOT. Численно установлены параметры МВ и САВ, позволяющие обеспечить эффективную реализацию логической схемы SWAP и CNOT гейта в системе М-А.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации, грант № МК-329.2020.2 (исследование управления угловым моментом оптических вихрей), и РФФИ, проект № 2047-910001 (численный подбор параметров волокон для реализации вентилей SWAP и CNOT).