Получение оптимальных редукционных моделей прогноза для аэрокосмических снимков

Получение карт различного назначения для поверхности Земли невозможно без решения задачи координатной привязки, предполагающей определение координат объектов в некоторой опорной системе. Аэрокосмические снимки получили широкое распространение при построении соответствующих карт.

Задача координатной привязки, решаемая по аэрокосмическим снимкам, по постановке ничем принципиально не отличается от астрофотогра-фической [1–5]. Тем не менее, в ряде случаев, в особенности при создании карт, диапазон ее применения гораздо шире – в систему опорной сети могут переводить не только геодезические пункты, но и множество точек контуров различных изображений (береговой линии, лесных массивов и т.д.).

В связи с этим, представляется интересным рассмотреть вместо прямой задачи координатной привязки задачу калибровки или учета систематических искажений в координатах на фотоснимках, получаемых в фотограмметрии [6–10]. Последняя, по сути, является также задачей координатной привязки.

Распространенной и важной процедурой при обработке измерений на аэрокосмических снимках является оценивание параметров математических моделей, используемых в частности для преобразования изображений.

Вместо классического подхода к оцениванию параметров предлагается использовать методологию регрессионного моделирования (РМ) [11, 12], предусматривающая для решения задач получения моделей (задач МНК (метода наименьших квадратов)) регрессионный анализ [13], проверку соблюдения предположений, адаптацию в случае их нарушения. Для автоматизации процесса вычисления и анализа было разработано специальное программное обеспечения – пакет «Система поиска оптимальных регрессий» (СПОР) [14, 15, 16].

Авторами поставлена задача исследовать эффективность СПОР при решении новой для РМ-подхода задачи координатной привязки на аэрокосмических снимках.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Этапы, предваряющие получение на конечной стадии геодезических координат объектов, включают процедуру преобразования координат из одной системы в другую с использованием опорных точек.

Координатная привязка к опорной системе осуществляется с помощью математической модели трансформации (преобразования) координат, числовые параметры которой определяются из решения переопределенной системы алгебраических уравнений. Точность прогноза, т.е. точность определения положения объекта в принятой за стандартную системе, полностью зависит от адекватности этой модели наблюдениям, по которым определены ее параметры. При этом точность координат опорных объектов и измерений известна и контролируема.

Таким образом, при осуществлении координатной привязки, выполняемой по астрофо-тографическим и аэрокосмическим снимкам, возникает актуальная задача выбора (поиска) редукционной модели, адекватной наблюдениям, т.е. модели, учитывающей геометрию трансформации координат и разнообразные систематические ошибки, обусловленные фотографической системой, фотоэмульсией и другими условиями эксперимента. Качественное решение этой задачи обеспечивает повышение точности определения положений при координатной привязке.

Классическим подходом к решению задачи является применение так называемых редукционных формул, в которых учитывается геометрия перехода и вводятся поправки за систематические ошибки в измеренные координаты объектов. Предварительно эти ошибки тщательно исследуются по одному или нескольким снимкам. В рамках этой традиционной методики используются различные редукционные модели в виде линейных по оцениваемым параметрам алгебраических полиномов, включающие аддитивные составляющие, ответственные за те или иные систематические искажения. Правомочность применения соответствующей модели вначале подтверждают, как и ранее, на небольшом наблюдательном материале. Обобщая, можно сказать, что в классическом подходе, выявив систематические ошибки при специальном исследовании или по отдельным снимкам, применяют затем жестко фиксированную модель для всей серии наблюдений. К сожалению, как показано в работе [11], систематические ошиб- ки меняются существенным образом от снимка к снимку, о чем свидетельствуют различия в структурах (по виду и количеству слагаемых) аппроксимирующих полиномов при применении подхода регрессионного моделирования (РМ). Отсюда следует, что при координатной привязке объектов помимо задачи получения модели преобразования координат, адекватной наблюдениям, необходимо решить задачу повышения эффективности процесса поиска такой модели.

Не останавливаясь на деталях, отметим, что отдельные элементы системного подхода (подхода РМ) реализованы и в фотограмметрии, в частности, при решении задачи калибровки снимков: 1) в ряде работ отмечается, что ввиду изменения искажений калибровке должен подвергаться каждый снимок ряда [17, 18]; 2) есть предложение использовать ортогональные полиномы специального вида, что, как известно, приводит к соблюдению предположения о независимости параметров на этапе формирования модели; 3) предлагаются новые методы оценивания, в частности, метод коллокации для разделения вектора оцениваемых параметров на основные и коллокационные; 4) делались попытки [10, 19] устранить из модели незначимые слагаемые и т.д. Представляется интересной работа [8], где решается задача калибровки фототелевизионных снимков. Анализируя результаты исследований, автор приходит к выводу об эффективности полиномов второго и третьего порядков.

Изложенные выше соображения по задачам калибровки аэрокосмических снимков, а также основные положения об аппроксимирующих полиномах и их применении в математической картографии, позволяют на первом этапе решения проблемы малых выборок сформулировать следующий путь обработки аэрокосмических снимков (с целью перевода измеренных координат в ту или иную картографическую проекцию): 1) выбор меры качества математической модели; 2) выбор исходного полинома высокой степени; 3) поиск оптимального полинома малой размерности на базе исходного путем полного или неполного перебора конкурирующих структур на основе подхода регрессионного моделирования [20].

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Ниже рассматриваются результаты применения подхода РМ в рамках пакета СПОР к решению задач трансформации координат по малым выборкам опорных точек на кадровых и сканерных аэрокосмических снимков; анализируется эффективность данного подхода.

Математическое и программное обеспечение пакета СПОР, с помощью которого получены результаты, описаны в [14,15].

В качестве исходного описания принят полином третьей степени по измеренным координатам x, y, описывающий зависимость координат объекта в той или иной картографической проекции от измеренных; x, y, x2, xy, y2, x3, x2y, xy2 – регрессоры, в дальнейшем имеющие обозначения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В качестве метода оценивания применен МНК. Поиск наиболее информативного набора регрессоров осуществлялся методами полного и неполного перебора переопределенных и нормальных систем.

Обработка кадровых аэрокосмических снимков методом РМ. Основная цель исследований – получение оптимальных редукционных моделей прогноза для снимков с малым количеством опорных объектов.

Ниже описываются основные результаты, полученные на четырех малых выборках, содержащих по шесть опорных точек, и на таком же количестве контрольных выборок с 30 объектами на каждом кадровом снимке. В качестве основной статистики критерия при переборе структур использовалась стандартная ошибка по контрольной выборке σ _∆ [14].

Стандартный подход. Нормальная система. Для описания координатных преобразований стараются использовать алгебраический полином максимально высокой степени. В таблице 1 приведены результаты в виде оценок точности для редукционной модели «полином второй степени по двум переменным» (П2). Эти результаты приняты за стандартные и использованы при сравнении с подходом РМ.

В первом столбце таблицы приведены номера выборок и координаты ( ξ , η ), по которым строится модель; во втором – максимальные значения остатков по контрольной выборке ∆x, ∆y, полученные как разности между “наблюденными” и “вычисленными” значениями координат контрольных точек; в третьем – усредненные значения модулей этих остатков |∆x|, |∆y|; в четвертом – стандартные ошибки σ _∆x, σ _∆y.

Подход с применением РМ (условный перебор переопределенных систем) . В таблице 2 приведены результаты частичного применения РМ. На основе полинома третьей степени (П3) по измеренным координатам x, y формировались различные модели, обязательно включающие свободный член уравнения и по количеству слагаемых p не превышающие количество опорных точек минус единица (p=5). В этом случае формировался банк переопределенных систем; после решения последних формировался банк результатов, из которого по критерию σ _∆ выбирались оптимальная структура модели и различные характеристики, включая приведенные в таблице 2, характеристики точности.

Судя по данным таблицы 2, результаты, полученные РМ, либо лучше, либо совпадают с результатами стандартного подхода в 18 случаях из 24 или в шести моделях из восьми. Улучшение (в 2-5 раз) заметней всего в моделях по координате ξ . Однако для двух последних выборок результаты РМ по координате η существенно хуже. Следовательно, модели с числом неизвестных равным количеству наблюдений, тоже

Таблица 1. Стандартный подход. Нормальная система

Номер снимка	А	I А |	оа
1      5	-1002	222	297
п	-500	85	128
2      5	-157	54	69
п	248	65	83
3     5	-3952	840	1243
п	967	137	233
4     5	4158	1661	2060
п	-1803	334	557

Таблица 2. Условный перебор переопределенных систем

Номер снимка Оптимальная структура А IА | ОА 1     5 1,2,3,4 -256 53 80 п 1,2,4,5 -273 71 101 2     5 2,3,7 77 21 29 п 1,2,3,4 267 69 88 3    5 1 -598 209 257 п 1,2,3,4 1564 278 421 4    5 2,4 -2036 1004 1289 п 1,2,3 -2174 854 1031 можно включать в множество конкурирующих структур.

Подход с применением РМ (условный перебор нормальных систем). С учетом этого важного вывода был осуществлен перебор нормальных систем, возможных на основе П3. В таблице 3 приведены соответствующие результаты при p=6.

Из данных таблицы 3 следует, что:

• -    в результате перебора нормальных систем можно найти модели, обеспечивающие еще более высокую точность прогноза, чем при решении переопределенных систем (обе модели для первой выборки);

• -    стандартные (нормальные) модели П2 оказываются оптимальными по критерию σ _∆ среди всевозможных моделей только по координате η , для наклонных и полученных для гористой местности снимков.

Оптимальные модели. Объединяя модели, полученные в результате перебора всех возможных структур на базе П3, включая П2 как частный случай, получим таблицу 4.

В целом применение РМ в отдельных случаях обеспечивает по сравнению со стандартным подходом повышение точности прогноза до 7 раз.

Обработка сканерных аэрокосмических снимков. Как и в предыдущем случае, обрабатывался подходом РМ экспериментальный материал, представляющий собой имитацию аэрокосмического снимка (сканерного с однострочным линейным развертыванием при вер- тикальном визировании). Массив измерений для 54 объектов был представлен четырьмя парами малых и контрольных выборок. Малые выборки содержали по 6 объектов, контрольные – соответственно 48, 20, 22, 20 объектов. В качестве основной статистики критерия использовалась стандартная ошибка по контрольной выборке σ∆. Ниже описываются основные результаты.

Стандартный подход. В таблице 5 приведена результаты в виде оценок точности для модели П2. Эти результаты приняты за стандартные и использованы при сравнении с подходом РМ.

Подход с применением РМ (условный перебор переопределенных систем). В таблице 6 приведены результаты применения РМ – при формировании конкурирующих структур на основе П3 и выборе оптимальной структуры по критерию минимум σ _∆.

Судя по данным таблицы 6 точность прогноза по моделям, полученным по РМ, в подавляющем числе случаев выше, чем при стандартном подходе П2 (в 21 случаях из 24). Если оценивать качество моделей по стандартной ошибке прогноза σ _∆, то РМ предпочтительней во всех рассмотренных случаях.

Подход с применением РМ (условный перебор нормальных систем). Включая различные модели с числом неизвестных, равным количеству опорных точек, т.е. шести, в множество конкурирующих структур и осуществляя поиск опти-

Таблица 3. Условный перебор нормальных систем

Номер снимка	Оптимальная структура	А	I А |	Оа
1      5	1,2,3,4,7	114	31	42
п	1,2,4,5,9	182	42	55
2      5	3,4,5,6,9	75	28	34
п	1,2,3,4,5	248	65	83
3     5	1,3,4,5,7	-1007	359	443
п	1,2,3,4,5	967	137	233
4     5	3,6,7,8,9	-3754	980	1375
п	1,2,3,4,5	-1803	334	557

Таблица 4. Оптимальная модель

Номер снимка		Оптимальная структура	Д	1 Д |	О д
1	5	1,2,3,4,7	114	31	42
	п	1,2,4,5,9	182	42	55
2	5	2,6,7	77	21	29
	п	1,2,3,4,5	248	65	83
3	5	3	-598	209	257
	п	1,2,3,4,5	967	137	233
4	5	2,4	-2036	1004	1289
	п	1,2,3,4,5	-1803	334	557

Таблица 5. Стандартный подход

Номер снимка	А	1 А\	О а
1 е	-155971	3418	22513
л	-92233	2203	13317
2 е	351	115	145
л	209	76	102
з е	-152829	6980	32583
л	-98944	4540	21094
4 е	2088	623	810
л	3153	965	1233

Таблица 6. Условный перебор переопределенных систем

Номер снимка	Оптимальная структура	А	I А |	О А
1 е	2,5,6,7	15373	5210	6236
л	2,6,7,8	14590	2808	3873
2 е	2,3,4,9	297	80	119
л	2,3,4,5	121	45	55
з е	4,7,8,9	33144	8798	11201
л	5,6,9,10	6041	1506	2168
4 е	2,3,4,9	83	31	41
л	2,3,4,8	114	39	52

Таблица 7. Условный перебор нормальных систем

Номер снимка Оптимальная структура А IА | ОА 1 е 5,7,8,9,10 88216 11357 17654 л 2,5,6,7,8 -17403 2572 3861 2 е 2,3,4,6,9 212 53 76 л 2,3,4,9,10 -129 43 55 з е 2,4,6,7,8 20830 6877 8614 л 3,4,5,9,10 11881 2460 3630 4 е 2,3,4,6,9 -90 23 32 л 2,3,4,8,9 -95 21 30 мальной, были получены следующие результаты (таблица 7).

Сравнивая данные таблиц 5, 6, 7, приходим к следующим выводам:

• -    как и при обработке кадровых снимков, при переборе нормальных систем можно найти модели, обеспечивающие более высокую точность прогноза по σ _∆, чем при решении переопределенных систем (четыре модели из восьми);

• -    ни в одном из восьми случаем стандартная модель П2 не оказалась оптимальной.

Оптимальные модели. Объединяя оптимальные модели из таблиц 6 и 7, сведем данные в таблицу 8.

Повышение точности по σ _∆ в сравнении со стандартным подходом приведено в таблице 9.

Таким образом, метод РМ обеспечивает получение моделей преобразования координат по малым выборкам с точностью прогноза, в 2–40 раз превышающей точность при стандартном подходе (использование известных аппроксимирующих полиномиальных моделей).

ВЫВОДЫ

Экспериментально подтверждена эффективность РМ-подхода для решения новой по его применению задачи трансформации координат на аэрокосмических снимках земной поверхности; его применение позволяет в ряде случаев повысить точность прогноза в 2–40 раз по сравнению со стандартным подходом.

Повышение точности при использовании РМ-подхода обеспечивается процедурой структурной идентификации. Реализация последней

Таблица 8. Оптимальная модель

Номер снимка	Оптимальная структура	А	I А |	оа
1      5	2,5,6,7	15373	5210	6236
п	2,5,6,7,8	-17403	2572	3861
2      5	2,3,4,6,9	212	53	76
п	2,3,4,5	121	45	55
3     5	2,4,6,7,8	20830	6877	8614
п	5,6,9,10	6041	1506	2168
4     5	2,3,4,6,9	-90	23	32
п	2,3,4,8,9	-95	21	30

Таблица 9. Оптимальные модели

Номера выборок Модель по 1 2 3 4 5 3.6 1.9 3.8 25.3 п 3.5 1.9 9.7 41.1 предполагает формирование множества конкурирующих структур на основе исходной перспективной модели и поиск оптимальной структуры по заданному критерию качества.