Понятие функции: к проблеме существования объектов математической теории

Проблема существования математических объектов на протяжении всей истории математики имела решающее значение для развития математики. Практически общепринятым в настоящее время является представления о том, что объект математики существует иначе, чем теоретический объект естественных наук. Что значит, что математический объект существует? Можно ли говорить о существовании математического объекта только в том случае, когда он математически точно определен, представлен в знаково-символическом формализме или о существовании можно говорить в некотором более общем смысле и рассматривать объект до его представления в форме знакового конструкта?

Рассмотрим проблему существования математических объектов на примере становления и развития понятия функции, одного из фундаментальных математических понятий, которое является основой математического анализа, теории функций, функционального анализа, играет важную роль в топологии, алгебре, математической логике. На протяжении всего периода становления и развития понятия функции именно эта дилемма лежит в основе споров и разногласий.

Появление понятия функции было подготовлено всем ходом исторического развития математического знания и явилось ответом на те задачи, которые математическая мысль уже поставила. В XVII в. К появлению идеи функциональной зависимости в качестве самостоятельного объекта математического исследования все было подготовлено: разработана алгебраическая символика, алгебра, появляется аналитическая геометрия, широкое распространение получил аппарат степенных рядов. Тем не менее, не выходя за рамки внутреннего развития математики, объяснить появление этого понятия невозможно. Попытки некоторых историков математики обнаружить понятие функции не только в средневековой, но даже и в античной математике неосновательны. Исходя из современного понятия функции мы можем, конечно, говорить о наличии в математике до XVII в. довольно большого запаса функциональных соответствий. Однако в предшествующей новому времени математике не производится соответствующей абстракции, не выделяется идея, составляющая основу понятия функции. Каждая конкретная зависимость рассматривается ими как нерасчлененное целое, никак не связанное с другими, как соответствие между множествами постоянных величин, в то время как понятие функции не мыслимо без понятия переменной.

Возникновение понятия функции невозможно объяснить только решением внутриматематических проблем. Примечательно обстоятельство, на которое указывает академик А.Д. Александров: идея, которая легла в основу понятия функции и привела к разительным переменам в математическом знании, на первый взгляд кажется довольно простой, а вместе с тем появляется только в Новое время [1, с. 41—43].

Идея, составляющая основу понятия, сформировалась при исследовании реальных проблем, имеющих непосредственное отношение к изучению природы. Важным конструктивным фактором в становлении и развитии понятия функции является решение естественнонаучных познавательных задач, прежде всего механики. В XVII—XVIII вв. в рамках концепции закона природы разрабатывается механистическое представление, которое потребовало преобразования стиля научного мышления в сторону количественно-математического характера исследования природы. Одним из главных завоеваний научной революции явилась идея о мире как системе движений. А изучение движения предполагает его математическое выражение, создание математической теории движения. Предельной идеализацией объекта, посредством которой объяснялись явления механики, становится математический образ движущегося тела. Причем математический анализ выступает не просто как язык, на котором описываются физические явления, не просто как средство объективации содержания, но как теория, позволяющая вскрывать глубинные механические свойства для изучения движения. Именно в этом направлении создается необходимый понятийный аппарат, прежде всего понятие переменной и понятие функции, разрабатывается и оттачивается язык, необходимые вычислительные приемы. Поэтому задачи математического анализа долгое время формулируются как задачи механики, а понятие функции и другие объекты анализа выступают в механическом облачении.

Становление понятия функции связано с поисками различных подходов к нему, с поисками тех вариантов, которые были бы эффективными в плане решения задач математического естествознания, обладали бы хорошими операциональными и конструктивными возможностями, и кроме того были бы достаточно гибкими в плане установления связей с другими разделами математики.

На протяжении длительного времени понятие функции соотносится попеременно с двумя теоретическими образами — геометрической кривой и аналитическим выражением. Первоначально роль

Л.М. Гриаорьева универсального средства выражения функциональных зависимостей в соответствии с математической традицией выполнял образ геометрической кривой. Геометрический способ задания давал наглядность, позволял судить об области определения и области задания функции, но вместе с тем и привязывал к геометрическому образу. Следует отметить, что опора на механический и геометрический смысл в разработке математических объектов имеет двойственную природу. С одной стороны, физические соображения стимулировали и давали жизнь новой области исследования, но с другой стороны, задерживали или направляли исследование в ложном направлении, оказывались консервативными и сковывали творческую мысль.

В силу прикладного характера классического математического анализа в нем преобладал вычислительный аспект. Открытие, сделанное в XVII в. предшественниками Ньютона (Менголи, Валлис, Барроу) и самим Ньютоном — представление функций бесконечными степенными рядами — стало революционным. Оно позволило выражать функции в виде формулы, определяющей совокупность действий, которые нужно проделать в определенном порядке над значениями аргумента и константами, чтобы получит значение функции. Можно сказать, что задание функций в форме аналитического выражения представляло собой алгоритм, задающий вычислительный процесс. Новый способ задания функций обладает богатыми операциональными характеристиками, дающими ему веские преимущества перед геометрической кривой. Формульное задание делает функцию легко обозримой, позволяет оперировать с ней по правилам алгебры, совершать с ней операции интегрирования и дифференцирования, т. е. предоставляет возможности работать с функциями чисто формально. Вместе с тем полного отхода от геометрических и кинематических представлений не произошло. Понятия анализа, в том числе и понятие функции, не были выделены в отвлеченной математической форме, а математический анализ не стал автономным по отношению к тому конкретно-научному знанию, которое он обслуживал. Точнее сказать математический анализ Нового времени, с одной стороны, был господином в математическом естествознании, с ругой стороны, выступал в нем в роли слуги. Многие выдающиеся математики, внесшие большой вклад в становление и развитие понятия функции, работали также в области астрономии, механики, гидродинамики и некоторых других областях естествознания и получили здесь важные результаты, более важные, чем собственно в математике.

На тот период времени представление функций в виде бесконечных степенных рядов позволило представлять все известные функциональные зависимости. Для того времени это был достаточный уровень общности. Благодаря своей эффективнос-

Понятие функции: к проблеме существования объектов математической теории ти этот способ задания позволил стать понятию функции центральным понятием анализа и математического естествознания. Бесконечные степенные ряды делаются важнейшим и как думали еще долгое время, универсальным средством аналитического выражения и исследования функций.

Но с середины XVIII в. постепенно выясняется, что определение функции как аналитического выражения. Начинает отставать от тех требований, которые предъявляет к нему математическое естествознание. В связи с задачами астрономии, теории колебаний, теории теплоты и некоторыми другими разделами математического естествознания появляются функциональные зависимости, которые не выражались степенными рядами. Представление функций степенными рядами, долгое время служившее надежным средством, стало тормозом дальнейшего развития понятии. Назревал вопрос об уточнении понятия. Большое значение для выхода из этих проблем сыграла полемика о колеблющейся струне. Некоторые математики даже придерживаются мнения, что понятие функции и возникло собственно в этой полемике [2, с. 329]. Сущность спора можно свести к обсуждению вопроса о природе произвольной функции. Это обсуждение имело большое значение для глубокой разработке многих математических и целых отделов анализа — теории функций с частными производными, теории тригонометрических рядов и, конечно, теории функций. «Вопрос, поставленный спором, — согласно академику Н.Н. Лузину — касался отношения между аналитическим определением функции и определением до некоторой степени физическим: если отклонить произвольно струну от ее положения равновесия, то существует ли формула, дающая в точности начальное положение струны?» [2, с. 329].

Начало спору положили Эйлер и Даламбер, но постепенно в орбиту спора вовлекаются многие математики того времени. Среди активных участников спора следует упомянуть Д. Бернулли, Ж. Лагранжа, Ж.-Б. Фурье. В споре о колебании струны, когда пришлось глубже вникнуть в понимание природы функции, сложилась любопытная ситуация. На протяжении всего XVIII в. Усиливается аналитизация понятия функции и образ геометрической кривой отступает на второй план или даже старательно избегается (например, Эйлером и Лагранжем). Но когда математики столкнулись с функциями более общей природы, те же Эйлер и Лагранж берут за основу представления о функции геометрическое представление.

Эйлер и Даламбер по-разному понимали смысл понятия функции. Для Даламбера функция — это произвольное аналитическое выражение. Он считает, что на те функции, которые не поддаются решению средствами современного анализа, должны быть наложены ограничения: «Движение струны не может быть подвергнуто никакому вычислению и

Философия.

не может быть представлено никакой конструкцией», «сама природа здесь останавливает вычисления» [4, с. 21].

Эйлер, стремясь к наиболее общему решению дифференциального уравнения, посредством которого выражалась задача о колеблющейся струне, не накладывает никаких ограничений. Он понимает под функцией произвольно начертанную кривую. Произвольная кривая, согласно Эйлеру, является более общим понятием, чем аналитическое выражение: не всякой кривой соответствует аналитическое выражение. Он считает, что решение этого уравнения допускает графическое представление и выражается любыми кривыми, какие только можно описать «свободным движением руки». При этом Эйлер считает, что «знание геометрической линии совершенно достаточно для знания движение, без того, чтобы нужно было прибегнуть к вычислениям» [4, с. 21]. В 1755 г. Эйлер вводит определение функции, имеющее чрезвычайно общий характер, «оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других» [5, с. 38]. Отличительной чертой этого определения является то, что оно выводит функцию за рамки аналитичности и включает «все способы» задания функции. Для современников это фактические означало отождествление функции с образом геометрической кривой. Но отождествление понятия функции и с геометрической кривой и с аналитическим выражением в конечном счете оказалось тормозом для дальнейшего развития понятия функции и не являлось методологически оправданным Ж.-Б. Фурье, занимаясь исследованиями по теплопроводности, встречал функции самой различной природы, в том числе и функции, имеющие конечное число разрывов, т. е. функции, которые при непрерывном изменении аргумента совершают скачкообразные изменения [3, с. 45]. Такие функции невозможно описать свободным движением руки. ■

Переломной в полемике о колеблющейся струне явилась работа Фурье «Аналитическая теория тепла» (1822 г.). Фурье показал кривую, которая может быть начертана произвольным движением руки или кривую, которая состоит из комбинаций различных дуг различных кривых, можно охватить единым аналитическим выражением —тригонометрическим рядом. Открытие Фурье разрушило всякую связь между различными частями кривых. В этой же работе Фурье вводит чрезвычайно общее определение функции, которое он уже не связывает с аналитической представимостью. Предшествующая история развития понятия функции показала подвижность, изменчивость средств и способов представления функциональных зависимостей, а согласно Фурье, ограничить характер функций, значит закрыть себе путь к изучению естественных явлений при помощи анализа. Отличительной чертой определения Фурье является представление о функции как о произвольной зависимости между переменными величинами. Отличительной чертой определения Фурье является представление о функции как о произвольной зависимости между переменными величинами, которые не обязательно подчинены общему закону: «они могут следовать совершенно произвольно, и каждая из них задается так, как если бы она была единственной величиной» [6, с. 430].

Отличительной чертой этого определения является представление о функции как о произвольной зависимости между переменными величинами. Если начальные этапы становления понятия функции связывались со способом задания функциональных зависимостей, то здесь понятие вводится в форме дескриптивного определения, т. е. объект вводится без его предъявления, сводится к абстракции. У нас еще нет средств, чтобы его построить, и нет, и нет уверенности в том, что он существует. Вместе с тем, это определение открывает новые направления и тенденции развития содержания этого понятия, позволяет выйти за рамки наличной практики математического и естественнонаучного познания. В этом определении выражается одна из основных характеристик, свойственных математическим объектам. Это проявляется в том, что развитие понятия идет от преобразования под воздействием противостоящих фактов и попытки их ассимилировать, до активного включения субъекта в процесс этих преобразования, к теоретическому моделированию возможного опыта.

Введение общего понятия функции, выход за пределы традиционных дл классического анализа осмысления математических объектов заставил математиков обратить внимание на логическое оформление понятий анализа. Это определение открывало простор для развития понятия функции, но, вместе с тем поставило перед математикой и целый ряд проблем, повлекших за собой уточнение содержания понятия функции и других понятий анализа. К началу XIX в. математический анализ оказался в странной ситуации: его успехи превзошли самые смелые ожидания и в то же время он был лишен логического фундамента, не было уверенности в правильности выкладок. Математики поняли, что многие определения понятий страдают расплывчатостью, в математических рассуждениях и доказательствах немало проблем. Нельзя сказать, что математики XVII—XVIII вв. не обращали внимание на корректность математических выкладок. Проблеме обоснования математического анализа на протяжении XVII—XVIII вв. волновала математиков и они предпринимали неоднократные попытки в этом направлении, которые вместе с тем не могли увенчаться успехом. Понятийная система не может быть логически обоснована раньше, чем она достигнет определенной степени зрелости. До открытия Фурье понятие функции и аналитического выражения казались совпадающими. Эйлер и его

Л.М. Гриаорьева современники, понимая функцию как аналитическое выражение, имели достаточно оснований считать ее аналитической функцией. Различие между этими понятиями было установлено Вейерштрассом в понятии «аналитическая функция». Само понятие аналитической функции не могло быть точно определено в виду неразработанности в XVIII в. теории функций действительного переменного. Эйлер ошибочно считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для не единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной», т. е. представляться на разных отрезках разными формулами. В XVIII в. казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всем его протяжении.

Неясность и неопределенность в отношении таких основополагающих понятий анализа как функция, производная, непрерывная функция даже в начале XIX в. порождали заблуждения в доказательствах, казалось, что непрерывная функция при всех значениях аргумента функция является всюду дифференцируемой. Но в 1872 г. Вейерштрасс представил пример непрерывной функции, непрерывной, но не дифференцированной ни при одном значении аргумента. Такая функция недоступна интуиции, в то время как Эйлер и другие его современники, исходя из интуитивных представлений, пытались строить доказательства чисто логическим путем.

Введение общего понятия функции постепенно привело к осознанию того, что математические объекты не имеют независимого существования вне рамок математического языка. Они доступны для исследования только через язык математики и опе-

Понятие функции: к проблеме существования объектов математической теории рирования с математическими объектами это оперирование со знаками, эти объекты представляющими. Знаки говорят о том, как их можно употреблять в соответствии с заданными правилами,, без опоры на интуицию, диктуемую математической практикой. Математическое рассуждение не только дополняет интуицию и подтверждает ее, но и в некоторых случаях превосходит ее. Ясное осознание необходимости отказа от представления об основных математических объектах как об абстракциях от реально существующих предметов явилось одним из самых важных завоеваний методологии математики. ■