Понятия в школьном курсе математики. Методика изучения математических понятий

При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности.

Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки.

Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм).

В каждом понятии различают его содержание и объем.

Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием. Основное содержание – достаточный набор свойств, т.е. все те свойства, каждое их которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны для отличия данного понятия от остальных.

Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие.

Например, понятие «тетраэдр». Содержание:   многогранник, ограниченный четырьмя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым , а второе – родовым .

Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию «многогранник».

Определение (дефиниция) понятия – это такая логическая операция, при помощи которой раскрывается основное содержание понятия или значение термина.

Определить понятие – это значит перечислить существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии.

В определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид, а затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие .

Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов.

В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами. Пример неявного определения – определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими .

Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения, образования, происхождения. Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции».

Остенсивные определения понятий и описательные описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств, вводятся с помощью непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальных классах и частично в 5-6 классах. Учитель, изображая треугольники на доске, знакомит учащихся с понятием треугольник. В средней школе преобладают вербальные определения.

Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать правила определения :

• 1.    Определение должно быть соразмерным , то есть определяемое и определяющие понятия должны быть равны по объему. Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и наоборот.

• 2.    Определение не должно содержать в себе « порочного круга ». Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое само определяется при помощи определяемого понятия.

• 3.    Определение по возможности не должно быть отрицательным . В определение должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет.

• 4.    Определение должно быть четким и ясным , не допускающим

Например, дано определение: «Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Проверим его: «Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм» – это неверно. Или: «параллельными прямыми называются прямые, которые не пересекаются» (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые).

двусмысленных или метаморфических выражений.

В методике преподавания математики выделяются два метода введения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный (термины введены русским методистом К.Ф. Лебединцевым).

Схема применения конкретно-индуктивного метода.

• 1.    Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение, …).

• 2.    Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют.

• 3.    Формулируется определение.

• 4.    Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров.

• 5.    Дальнейшее усвоение понятия и его определения проходит в процессе их применения:

• а)    распознавание понятия.

• б)    конструирование (нарисовать).

• в)    применение данного определения к решению задач.

• 2.    постройте лучи ОА 1 и ОВ 1 , противоположные данным.

• 3.    Какую фигуру образуют лучи ОА 1 и ОВ 1 ?

• 4.    Углы ∠ АОВ и ∠ А 1 ОВ 1 называются вертикальными.

• 5.    Попробуйте дать определение вертикальных углов.

• 6.    Нет ли на рисунке еще вертикальных углов?

• 7.    Назовите вертикальные углы.

• 8.    Как нарисовать два вертикальных угла?

Пример. Введение понятия – вертикальные углы.

Задания: 1. нарисуйте угол ∠ АОВ

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода.

• 1.    Формулируется определение понятия.

• 2.    Приводятся примеры и контрпримеры.

• 3.    Закрепляется понятие путём выполнения различных упражнений.